2020年中考数学压轴解答题02因动点产生的直角三角形问题(学生版)

1、压轴解答题直面高考备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便.【方法揭秘】我们先看三个问题：1 .已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形 ABC有

2、多少个？顶点 C的轨迹是什么？2 .已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？3 .已知点A(4,0)，如果 OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点 B的坐标.图1图2图3如图1,点C在垂线上，垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形，除了 O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B,共6个.如图4,已知A(3, 0),B(1,4)，如果直角三角形 ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标.我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C.如果作 BDy轴于D,那么 AO

3、CsCDB .设OC=m，那么3 ± m 1这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点.【典例分析】【例1】如图1,已知抛物线Ei: y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于 y轴的对称点分别为点 A'、B'.(1)求m的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图1,在第一象限内，抛物线E1上是否存在点 Q,使得以点Q、B、B'为顶点的三角形为直角三角形？若 存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合白一点，连结OP并延长与抛物线 E2相交于点P

4、',求 PAA与 P'BB'的面积之比.图1图2精品资源战胜高考【例2】已知在平面直角坐标系 xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A (-3,0) ,B (0,3).,171CE1D(1)如图1,已知。P经过点。，且与直线li相切于点B,求。P的直径长;(2)如图2,已知直线l2：y=3x别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线12上的一个动点，以Q为圆心，2正为半径画圆.当点Q与点C重合时，求证：直线li与OQ相切；设O Q与直线li相交于M,N两点，连结QM,QN.问：是否存在这样的点Q,使得4QMN是等腰直角三角形，若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【例3

5、】 如图1,在Rt ABC中,/ACB=90° ,AB = 13,CD/AB,点E为射线 CD上一动点(不与点 C重合) 联结AE交边BC于F, / BAE的平分线交 BC于点G.(1)当 CE = 3 时，求 Smef ： Smaf 的值；(2)设CE = x,AE = y,当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式；(3)当AC =5时，联结EG,若 AEG为直角三角形，求BG的长.图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等折纸活动也伴随着 我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形

6、位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩 一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B' C和AD相交于点E,连接 B' D.解决问题(1)在图1中，B' D和AC的位置关系为 ;将4AEC剪下后展开，得到的图形是 ;(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB丰BC)如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小

7、红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ;拓展应用(4)在图2中，若/ B=30 ,AB=4 J3,当AB' D恰好为直角三角形时,BC的长度为【例5】如图，已知二次函数畜用图(2)点D为抛物线的顶点，试判断ABCD的形状，并说明理由;y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于 A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(1)求此二次函数解析式;(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M,N两点(点M在y轴的右侧)，当4AMN为直角三角形时，求t的值.【例61如

8、图抛物线y=mx2+nx - 3 (廿0)与x轴交于A( - 3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C,直线y = - x与该抛物线交于 E,F两点.(1)求点C坐标及抛物线的解析式.(2) P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH XEF于点H,求PH的最大值.(3)以点C为圆心，1为半径作圆，OC上是否存在点 D,使得4BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.【变式训练】1 .如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N,y轴上是否存在点 P,使得AMNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有(提示：直角三角形斜边上的中线

9、等于斜边的一半)A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2 .如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x=- 5和x轴上的动点，CF = 10, 点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当 ABE面积取得最小值时,tan / BAD的值是()8A .一177B.17D.的直角三角形时，AP的长为()3 .如图,在4ABC中，AB=2, AO=BO , P是直线 CO上的一个动点,/ AOC=60° ,当 PAB是以BP为直角边A.屈,1,2B.五,0,2C,馅木,1 D. vTO, 24 .如图A3是。的直径，弦&C =2cm,F是

10、弦3匚的中点 小灰=6寸.若动点E以七口1%的速度从4点出发沿着A B一5方向运动，设运动时间为Msj小玉WV的，连结EF,当ABEF是直角三角形时,(s)的值为7711A. 4 B. 1 C.4或1D. 4或1或4一一 j 12,5 .若D点坐标(4,3),点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数y (x 0)图象上的动点，若 PDQ x为等腰直角三角形，则点P的坐标是.6 .如图，长方形 ABCD 中，/A=/ABC=/BCD = /D=90°, AB=CD=6, AD=BC=10，点 E 为射线 AD 上的一个动点,若 "BE与BE关于直线BE对称，当BC为直角三角

11、形时，AE的长为.7 .如图，AB为e O的直径，C为e O上一点，过B点的切线交 AC的延长线于点D , E为弦AC的中点，AD 10, BD 6,若点P为直径AB上的一个动点，连接EP ,当 AEP是直角三角形时，AP的长为8 .如图,RtAABC中，/C=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且 CD=1,点P是线段DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt AOP .当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为9 .如图，AB是。O的直径，弦BC=6cm , AC=8cm ,若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B-A的方向运动，点Q以1cm/

12、s的速度从A点出发沿着A-C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动.设运 动时间为t(s),当那PQ是直角三角形时，t的值为10 .定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A (a,b) ,B (c,d)若点T (x,y)满足X=旦三>=立;詈 那 33么称点T是点A,B的融合点.例如：A (-1,8) ,B (4,-2)，当点 T (x,y)满足 x= 1 4 =1,y= 8 ( 2) =2时，则点 T (1,2)是点 A,B33的融合点.(1)已知点A (T,5) ,B (7,7) ,C (2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.(2)如图，点D (3,0),点E (

13、t,2t+3)是直线l上任意一点，点T (x,y)是点D,E的融合点.试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H.当4DTH为直角三角形时，求点E的坐标.11 .如图，在矩形ABCO中,AO=3,tan / ACB= 4,以。为坐标原点，OC为x轴,OA为y轴建立平面直角坐标 3系.设D,E分别是线段AC,OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点 A向点C运动点E以每秒1个单位的速度从点 C向点O运动，设运动时间为t秒.(1)求直线AC的解析式；(2)用含t的代数式表示点 D的坐标；(3)当t为何值时,ODE为直角三角形？(4)在什么条件下，以RtAODE的三个顶点能确定一条

14、对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，12 .如图顶点为M的抛物线yax2 bx 3与x轴交于A 3,0 , B 1,0两点，与y轴交于点C .(1)求这条抛物线对应的函数表达式;(2)问在y轴上是否存在一点 P,使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA OA,过D作DG x轴于点G，设 ADG的内心为I ,试求CI的最小值.13.如图，在等腰RtVABC中，ACB90o,AB 14J2 .点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转 90o得到EF .图1图2(1)如图1,若AD BD，点E

15、与点C重合,AF与DC相交于点O.求证：BD 2DO .(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD BD,CE 2,求DG的长.若AD 6BD,是否存在点E,使得4DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.14.已知在平面直角坐标系xOy中，直线11分别交x轴和y轴于点A 3,0 ,B 0,3(1)如图1,已知e P经过点。，且与直线11相切于点B ,求e P的直径长;(2)如图2,已知直线: y 3x 3分别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线b上的一个动点，以Q为圆 心，2,2为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线11与e Q相切；设e Q与直线11相交于M , N两

16、点，连结QM ,QN .问:是否存在这样的点Q ,使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由15.如图1,已知抛物线y=3 2 3，与y轴交于点C.一 x x+3与x轴交于A和B两点，(点A在点B的左侧)84(1)求出直线BC的解析式.(2) M为线段BC上方抛物线上一动点，过M作x轴的垂线交BC于H,过M作MQ LBC于Q,求出AMHQ周长最大值并求出此时 M的坐标；当4MHQ的周长最大时在对称轴上找一点R,使|AR-MR|最大，求出此时R的坐标.分为直角三角形，若存在请求出BT的长若不存在，请说明理由.(3) T为线段BC上一动点，将AOCT沿边OT翻折得到O

17、CT,是否存在点T使AOCT与AOBC的重叠部16 .在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+ (k-1) x-k与直线y=kx+1交于A,B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时，直接写出A,B两点的坐标;(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方,试求出9BP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2,抛物线y=x2+ (k1)x- k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧) 在直线y=kx+1上是否存在唯一一点 Q,使得/ OQC=90 ?若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.217 .在平面直角坐标系中，抛物线y x 2x 3与

18、x轴父于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴父于点C,顶点为D.(1)请直接写出点 A,C,D的坐标；(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得4CDE的周长最小，求点E的坐标;(3)如图(2) ,F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得那FP为等腰直角三角形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.0)的对称轴为直线x218.如图，已知抛物线 y ax bx c(a1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点淇中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y mx n经过b、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴 x 1上找一点M使点M到点A的距离与到点 C的距

19、离之和最小，求出点M的 坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x 1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点 P的坐标.19.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分另U交于点 A (0,6) ,B (6,0) ,C (- 2,0),点P是线段AB上 方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，APAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE / x轴交抛物线于点 E,连结DE,请问是否存在点P使4PDE为等腰直角三角形？若存在 ，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.20.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点 A (0,3)、B (1,0)淇对称轴为直线l: x=2，过点A作AC/x轴交抛物线于点 C,/AOB的平分线交线段 AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m.圉 医(1)求抛