数学建模方法导引

1、 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物来的原型的替代物 3. 按照精密程度按照精密程度 集中参数模型、分布参数模型集中参数模型、分布参数模型 4. 按照研究方法和对象的数学特征按照研究方法和对象的数学特征 初等模型初等模型 优化模型优化模型 逻辑模型逻辑模型 稳定性模型稳定性模型 扩散模型扩散模型 统计模型统计模型 模拟模型等模拟模型等数学建模示例数学建模示例示例示例1. 椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析问题分析: 把椅子往不平的地面上一放，把椅子往不平的地面上一

2、放，通常只有三只脚着地（通常只有三只脚着地（放不稳放不稳），但），但只需挪动几次，就可以使四只脚同时只需挪动几次，就可以使四只脚同时着地（着地（放稳了放稳了）。我们能否将这个问）。我们能否将这个问题抽象出用数学语言给以描述并证明题抽象出用数学语言给以描述并证明之？之？ 模型假设模型假设 四条腿一样长，椅脚与地面点接四条腿一样长，椅脚与地面点接 触，四脚连线呈正方形，椅子中心不动触，四脚连线呈正方形，椅子中心不动 地面高度连续变化，可视为数学上的地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。少三只脚同时着地。

3、 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来系表示出来椅子位置椅子位置椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，椅子位置的改变对应于正方形绕中心的椅子位置的改变对应于正方形绕中心的旋转，于是可以用旋转角度这一变量表旋转，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置（如图）。示椅子的位置（如图）。四只脚着地四只脚着地可以各椅脚离地面的距离表示，椅脚着可以各椅脚离地面的距离表示，椅脚着地距离为零；在地面平滑一定的情况下，地距离为零；在地面平滑一定的情况下，各椅脚离地面的距离是其位置的函数；各椅脚离地面的距离是其位置的函数；由于正方形的中

4、心对称性，只要设两个由于正方形的中心对称性，只要设两个距离即可。距离即可。ABCDOA B C D xyf( )A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( ) 表示表示B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 地面为连续曲面地面为连续曲面f( ) , g( )是是连续函数连续函数椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地对任意对任意 , f( ), g( )至少至少一个为一个为0已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) =

5、 g( 0) = 0.模型求解模型求解将椅子将椅子旋转旋转 ，即即对角线对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函据连续函数的基本性质数的基本性质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.090数学建模示例数学建模示例 示例示例2. 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题

6、问题(智力游戏智力游戏) 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由它们自己划行。随从们密约纳二人，由它们自己划行。随从们密约, 在河的任一岸在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货就杀人越货. 但是乘船渡河的但是乘船渡河的方案由商人决定方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析 多步决策过程多步决策过程状态状态 某一岸的人员状况某一岸的人员状况决策决策 船上的人员状况船上的人员状况问题可表述为在状态的允许变化范围内（即安问题可表述为在状态的允许变化范围内（即安全渡河

7、条件），确定每一步的决策，达到渡河全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的的目的模型构成模型构成 第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数 第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数kxkyk=1,2, , =0,1,2,3; =( , ) 过程的状态过程的状态kSS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2kxkykxky 第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数kukvk=1,2, , =0,1,2；kukv =( , ) 表示决策表示决策kukvkd允许允许决策决策集合集合 D=(u

8、 , v) u+v=1, 2 状态转移律状态转移律 1( 1)kkkkSSd 多步决策问题多步决策问题 求求 ，使，使 , 并并按按转移律转移律由由 到到 达达 (1,2,., )kdD knkSS1(3,3)S 1(0,0)nS穷举法穷举法kdxy3322110d11d1允许决策允许决策 是是沿方格线移动沿方格线移动1或或2格，格， 为奇为奇数时向左、下数时向左、下方移动，方移动， 为偶为偶数时向右、上数时向右、上方移动，方移动，kk数学建模示例数学建模示例示例示例3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长问题的背景：问题的背景： 人口增长是当前世界上普遍关注的问题，我们经常看到或听到有关人口

9、增长的预报，说到本世纪末，或下世纪中叶，世界（或某地区）人口将达到多少多少亿，这些说法是否可信？有何依据？下面就建立数学模型来探讨这个问题。问题的提出：已知过去几十年世界（或某地区）人口统计数问题的提出：已知过去几十年世界（或某地区）人口统计数据，试建立适当的数学模型预测今后几年或几十年的人口状据，试建立适当的数学模型预测今后几年或几十年的人口状况。况。世界人口增长概况世界人口增长概况 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964

10、1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0年年17901800181018201830184018501860人口人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年年18701880189019001910192019301940人口人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年年195019601970198019902000人口人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4 美国人口统计数据美国人口统计数据一、指数增长模型一、指数增长模型马尔萨斯提

11、出马尔萨斯提出 (1798)指数增长模型指数增长模型2. 基本假设：基本假设：0(0)xx记记 x(t) 第第t年的年的人口人口总数总数 r 人口人口(相对相对)增长率增长率()( )( )xx ttx trx ttt由基本假设得由基本假设得()(1) ( )x ttr t x t 或或 (1)0(0)xx0(1)1)xr x（20(2)(1) (1)(1)xr xrx0( )(1)tx tr x (2)0t dxrxdt0(0)xx （3）0( )rtx tx e （4） 如果如果r很小（很小（r1) 时，则时，则1rer 00( )()(1)rttx tx exr （5）（4）式表示人口按

12、指数规律随时间增长，称为）式表示人口按指数规律随时间增长，称为指数增长模型指数增长模型（5）式表明最简单的人口预测模型）式表明最简单的人口预测模型（2）是指数增长模型（）是指数增长模型（4）的离散近似形式。）的离散近似形式。r0 xyrta如何利用已有数据估计如何利用已有数据估计 和和 ？将（将（4）式取对数得）式取对数得lnyx0lnax（5） 利用最小二乘拟合，经利用最小二乘拟合，经MATLAB软件计算得软件计算得以以1790年至年至1900年的数据拟合结果年的数据拟合结果 00.2743/104.1884rx年， 以以1790年至年至2000年的数据拟合结果年的数据拟合结果 00.202

13、2/106.0450rx年， 指数增长模型拟合图形指数增长模型拟合图形 （a）1790年至年至1900年年 （b）1790年至年至2000年年可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不能预测可用于较长期的人口增长不能预测可用于较长期的人口增长 过程过程 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律二、阻滞增长模型二、阻滞增长模型(Logistic模型模型)且阻滞作用随人口数量增加而变大，且阻滞作用随人口数量增加而变大，r( )x t( )r x( ),(0,0)r xrsx rsr 称为称为固有增长率固有增长率(x很小时很小时)(2) 自然资源和环境条件年容纳的最

14、大人口自然资源和环境条件年容纳的最大人口 数量数量mx（6）mxx()0mr xmrsx( )(1)mxr xrx于是于是 （7）模型（模型（3）变为）变为0(1)(0)mdxxrxdtxxx （8）0( )1 (1)mrtmxx txex （9）/2mxmx Logistic模型模型 曲线曲线/dx dtx Logistic模型模型xt曲线曲线mxr/dx dtrsxxmrsx （10）r=0.2557, =392.1mx利用利用MATLAB软件计算得软件计算得 阻滞增长模型拟合图形阻滞增长模型拟合图形(2000)267.94x 实际数据实际数据 281.4 误差误差 4.8% 6. 模型应

15、用模型应用 预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490, =434.0mx x(2010)=306.0问题分析假设数学模型模型求解模型分析模型检验模型应用符合实际符合实际 不符合实际不符合实际 问问题题分分析析了解实际背景了解实际背景明确建模目明确建模目的的 搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设 用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题模模型型建建立立发挥想像力发挥想像力尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具模模型型求求解解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型模型应用应用用已建立的模型分析、解释已用已建立的模型分析、解