整数的整除性

1、.蒄羇肃膁蚆螀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肃膁蚆螀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肃膁蚆螀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇芄蝿羃肃芃葿螆罿

2、节薁羂芇节蚄螅膃芁螆羀聿莀蒆螃羅荿薈羈袁莈蚀螁芀莇蒀肇膆莆薂衿肂莆蚅肅羈莅螇袈芆莄蒆蚁膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄袀蒀薃蚇艿蒀蚅羃膅葿螈螅肁蒈蒇羁羇蒇薀螄芆薆蚂罿膂薅螄螂肈薄蒄羇肃膁蚆螀罿膀蝿肆芈腿蒈衿膄膈薀肄肀膈蚃袇羆芇螅蚀芅芆蒅袅膁芅薇蚈膇 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的整除的基本概念与性质30除以6得到的商是5，我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能

3、被6整除。一般地，所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下定义 设a，b是整数，b0如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作ba如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若ba，cb，则ca性质2 若ca，cb，则c(a±b)性质3 若ca，cb，则c(a±b)性质4 若ba，dc，则bdac性质5 若a=bc，且ma，mb，则mc性质6 若ba，ca，则b，ca(此处b，c为b，c的最小公倍数)特别地，当(b，c)=1时，bca(此处(b，c)

4、为b，c的最大公约数)性质7 若cab，且(c，a)=1，则cb特别地，若p是质数，且pab，则pa或pb性质8 若ab，n是自然数，则(a-b)(an-bn)性质9 若a-b，n是正偶数，则(ab)(an-bn)性质10 若a-b，n是正奇数，则(ab)(anbn)常见数的整除特征给出一个整数A，要求判断这个数能否被某个非零整数m整除，这是在整除问题中常常需要解决的问题。因此，就要研究数能被某些非零整数整除的特征。 能被2,4,5,8 整除的数的特征显然易见,当A的个位数能被2整除时,A能被2整除;反之,若A能被2整除,则能被2整除,即（结论1）同样有 （结论2）（结论3）（结论4）前两个结

5、论比较明显,对于结论3作如下证明。由100能被4整除，所以，于是当时，；反之，当时，结论4的正确性请同学们类似地证明。 能被3,9 整除的数的特征如果A的各位数之和能被3 (或9)整除,那么A也能被3 (或9)整除;返过来,如果A能被3 (或9)整除,那么A的各位数字之和也能被3 (或9)整除。下面以四位数为例，对于多位数只要进行类似的推理就可以了。设 ，则显然， 能被3（也能被9）整除。若能被3（或9）整除，则A能被3（或9）整除；反之，若A能被3（或9）整除，则能被3（或9）整除。 能被11整除的数的特征仍以四位数为例.对于多位数可类推.显然, 能被11整除，于是若 ，则 ；反之，若，则

6、。 能被7（11，13）整除的数的统一特征。若A的末三位与A去掉末三位尾数后数之差是7（或11，13）的倍数，则A能被7（或11，13）整除。 连续整数的乘积的整除性。对于两个连续整数 n和n+1， 其中必有一个偶数，因此乘积能被2整除。对于三个连续整数n, n+1,和n+2，其中必有一个偶数，也必有一个能被3整除，因而乘积 能被整除。一般地可以推导，k个连续整数的乘积能被整除。说明 1·2·3k，可称作k的“阶乘”，记作k！2证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法下面举例说明例1、 N=是一个被1

7、7整除的四位数，求x。解 因, 17|（122+6x）所以 而x为09的整数,故只有当x=2 时,才有可能。故x=2为所求。例2、 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11（7x+2y-5z），求证：11（3x-7y+12z）。证明4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而        1111(3x-2y+3z),且      11(7x+2y-5z),     

8、0; 114(3x-7y+12z)又       (11,4)=1        11(3x-7y+12z).例3、    一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明  a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.2.a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，8|4k（k+1）

9、，即8|（a2-1）.又（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），3a，3|（a2-1）.3与8互质, 24|(a2-1),即a2+23能被24整除.例4、 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n3+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例5、 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整

10、除，但不能被24整除分析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可证 设三个连续的奇数分别为2n-1，2n1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2+1又n2+n1=n(n1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2n+1是奇数，故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2+1例6、 若x，y为整数，且2x+3y，9x5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除证 设u=2x3y，v=9x5y若17u，从

11、上面两式中消去y，得3v-5u=17x所以 173v因为(17，3)=1，所以17v，即179x5y若17v，同样从式可知175u因为(17，5)=1，所以17u，即172x3y例7、若p，q，都是整数，并且p>1,q>1，求pq的值解 若p=q，则不是整数，所以pq不妨设pq，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5所以pq=3×5=15 例8、 已知，且能被9整除，求。解 由于能被9整除，所以5+y+9=14+y 能被9整除，又因为，所以y=4。本题的等式变为 +326=549，即=549-326=223因而 ，=6例9、已知七位数是的倍数（其中、是阿拉伯数字），试求的

12、值。（北京市“希望杯”竞赛试题）分析：由×，知被和整除。解：根据题意，被和整除，则被整除，或；（）（）被整除， 或。由 ，解得，。 ××例10、 若4b+2c+d=32，试问 能否被8整除？请说明理由。分析 要说明能否被8整除，根据被8整除的数的特征，只要判断能否被8整除。解 由 =100b+10c+d=96b+8c+=96b+8c+32=知 ，从而 聿薅蝿袈聿芄薂螄肈莇螇肃肇葿薀罿膆薁螅袅膅芁薈螁膄莃螄蚆膃薆薆肅膃芅袂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂艿节蒆羈芈莄蚁袄芇蒆蒄袀芇芆螀螆芆莈薂肄芅蒁螈羀芄薃薁袆芃芃螆螂莂莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇羃莀荿袃衿羆蒂蚆螅羅薄袁肃羅芄蚄罿羄莆衿袅肃蒈蚂螁肂薀蒅肀肁芀蚀肆肀蒂蒃羂聿薅蝿袈聿芄薂螄肈莇螇肃肇葿薀罿膆薁螅袅膅芁薈螁膄莃螄蚆膃薆薆肅膃芅袂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂艿节蒆羈芈莄蚁袄芇蒆蒄袀芇芆螀螆芆莈薂肄芅蒁螈羀芄薃薁袆芃芃螆螂莂莅蕿肁莁蒇螄羇莁薀薇羃莀荿袃衿羆