现代控制理论知识点汇总

1、4.状态空间表达式的建立1.状态空间表达式n阶x Ax Buu:r 1 y:m 1 A:n n B:n r C:m n D:m r y Cx DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；E为输入或控制矩阵，表示 输入对每个状态变量的作用情况； C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成 关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2. 状态空间描述的特点 考虑了“输入状态输出这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状 态的变化，而状态决定了输出。 状态方程和输出方程都是运动方程。 状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有 n 个状态变量可以选择。 状态变量的选

2、择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为适宜。 建立状态空间描述的步骤： a 选择状态变量； b 列写微分方程并化为状态变量的 一阶微分方程组； c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3. 模拟结构图积分器加法器 比例器状态空间描述， 绘制模拟结构图的步骤： 积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状 态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 由系统框图建立状态空间表达式： a 将各个环节

3、放大、积分、惯性等变成相 应的模拟结构图； b 每个积分器的输出选作 xi ，输入那么为 xi；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 由系统的机理出发建立状态空间表达式： 如电路系统。 通常选电容上的电压和电 感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输出动态方程式微分方程或传递函数，建立系统的状态空 间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程 系统函数 模拟结构图 状态空间表达式。 熟练使用梅森公 式。注意： a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续 其他工作。b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反应点之前。 p

4、28c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5. 状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征 值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量Pi的求解：也就是求iI Ax 0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型A为任意矩阵：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。 b有重根时，设3阶系统， i = 2, 3为单 根，对特征矢量 pi，P3求法与前面相同，P2称作i的广义特征矢量，应满足 1I AP2 P1。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数局部分式展开 模拟结构图状态空间表达式6. 由状态空间表达式求传递函数阵 W(

5、s)W(s) C(sI A) 1 B D m r的矩阵函数Wj Wj表示第j个输入对第i个输 出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)是不变的。子系统的并联、串联、反应连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵 W(s)。方法: 画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。7. 离散系统的状态空间表达式及实现(模拟结构图)8. 时变系统：四个矩阵是时间 t有关的。非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。利用泰勒级数可以线 性化。第二章控制系统状态空间表达式的解一. 线性定常系统齐次状态方程(x Ax )的解：x(t) eAtx0二. 矩阵指数函数一一状态转移矩阵1

6、.(t) eAt表示x(0)到x(t)的转移。5个根本性质2. eAt的计算:a定义；b变换为约旦标准型(或J) T 1AT , eAt Te tT 1或TeJtT 1线性定常系统非齐次方程(x Ax Bu )x(t)t(t)x(0)0 (t)Bu( )d。可由拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的1丄1at1nn! , at1.丄(t)1;1(t)-;t2;e;tnten 1 )2 ;sin tsss as(s a)c用拉氏反变换eAtL 1(sI A) 1记忆常用的拉氏变换对;cos t sd应用凯莱-哈密顿定理求解思路)。求解步骤：先求(t) eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊鼓

7、励下的解。四. 线性时变系统的解1 .状态转移矩阵用(t,to)来表示。ttt2. (t,to)的计算：当 A(t)t0A()d t0A( )d A(t)时，(t,to) ex) t0A( )d ;通常不等。不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：3 解为：x(t)(t,to)x(to) : (t, )B( )u( )dt0五. 离散时间系统状态方程的解(递推法和Z变换法)1 .递推法(k) Gk为状态转移矩阵；满足 (k 1) G (k); (0) Ik 1k 1解为，x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j)d 或 x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu(j)dj 0j

8、 0直接计算(k) Gk有一定困难，可采用这样的步骤：先将原状态方程化为约旦标准型，求变换矩阵T，x(k) T(k)，再求出(k)，再得到x(k)。当然(k)x1 .假设A的特征值互异，线性变换x Tz 为对角线标准型，T 1 AT ，能观性x(k) Z 1(zI G) 1zx(0) Z 1(zI G) 1 Hu(z)；可见 (k)Gk = Z 1(zIG)1z；计算x(k)的用到的内容：局部分式展幵(先除z后乘zZT对k1(k) Gk T (k)T Z变换法公式不用记忆，现推最好 z1;k 01 az z a连续时间状态空间表达式的离散化1 .定常系统的离散化x Ax Bux(k 1) G(

9、T)x(k) H 仃)u(k)a.y Cx Duy(k) Cx(k) Du(k)。六.ATT AtG(T) e ; H(T) 0 e dt Bb. 近似离散化 x(k 1)T) (TA I)x(kT) TBu(kT) 即 G(T) TA I;H(T) TB y(k) Cx(k) Du (k)2 .时变系统的离散化略第三章 线性控制系统的能控性和能观性一. 能控性及能观性定义线性连续定常、时变系统，离散时间系统二. 线性定常系统的能控性判别具有一般系统矩阵的多输入系统 判别方法一 ：通过线性变换 x Ax Bu z T 1ATz T 1Bu1 .假设A的特征值互异，线性变换x Tz 为对角线标准

10、型，T 1AT，能控性充要条件：T 1B没有全为0的行。变换矩阵T的求法。2 .假设A的特征值有相同的，线性变换x Tz 为约当标准型，J T 1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的局部，每个约当块对应的T 1B中最后一行元素没有全为0的。T 1B中对应于互异特征根局部，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。 但线性变换比拟复杂， 关键是求 T 、T 1 、 T 1B。判别方法二：直接从A，B判别x Ax Bu 能控的充要条件是能控性判别矩阵 MB,AB,A2B, An 1B 的秩为n。在单输入系统中， M 是一个n n 的方阵；而多输入系统， M 是一

11、个 nnr的矩阵，可通过 rankMrankMMT三. 线性定常系统的能观性判别判别方法一 ：通过线性变换Axz T 1ATzCxy TCzQc(t)(Bi(t),B2(t),Bn(t)，其中 Bi(t) B(t) , Bi(t)A(t)B(t)B： &)CCACAx(k 1) Gx(k) Hu (k)y(k) Cx(k) Du (k)能控性充要条件 NCCG的秩为 nCGn12 .假设A的特征值有相同的，线性变换(x Tz )为约当标准型，J T 1AT，能控 性充要条件：对应于相同特征值的局部，每个约当块对应的TC中第一列元素没有 全为0的。对应于互异特征根局部， 对应的TC中各列

12、元素没有全为0的。 变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。 但线性变换比拟复杂， 关键是求 T 、T 1 、 TC 。判别方法(二)：直接从A, C判别的秩为 n。能观性的充要条件是 能观性判别矩阵 N在单输入系统中，N是一个n n的方阵；而多输入系统， N 是一个 nm n 的矩阵，可通过 rankM rank(MM T)四. 离散时间系统的能控性与能观性 能控性充要条件M (H,GH,G2H, Gn1H)的秩为n五. 时变系统的能控性与能观性(与定常系统不同)1. x A(t)x B(t)u在t°,tf上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵Wc(t°,tf)非奇

13、异。Wc(t°,tf)ttf (t°,t)B(t)BT(t) T(t°,t)dt(to,t)与(t,t°) 一样么？t0 这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，那么失去工程意义。2 .使用A(t) B(t)信息如果存在某个时刻tf 0 ,使得rankQc(tf) n ,那么系统在0,tf上是状态完全能 控的。3 .能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵Wo(to，tf),但工作量太大。Ci(t)可使用 A(t) C(t)信息：R(t)C2，其中 Ci(t) C(t) , Bi(t) A(t)Ci i(t) Ci i(t)Cn(t)如果

14、存在某个时刻tf 0 ,使得ran kR(tf) n ,那么系统在0,tf上是状态完全能观 测的。六. 能控性与能观性的对偶原理1 假设 A2 AT , B2 C： , C2 B：，贝V i(Ai, Bi,Ci)与 2(A2,B2,C2)对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。2. 1与2对偶，那么1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。时变系统的对偶原理？ ？七. 能控标准型和能观标准型对于状态反应，化为能控标准型比拟方便；对于观测器的设计及系统辨识，能 观标准型比拟方便。1. 能控标准I型(如果系统的状态空间表达式)判别系统的能控性。计算特征多项式| I

15、 A| n ani n1 aia。，即可写出PA。求变换矩阵TciPlA , pi 0,0, ,1b, Ab, An 1B 1。求 Td 1，计算PiA10b Tc1cAn 1b 0 ，ccTc1，也可以验证是否有 A Td 1ATd2. 能控标准U型判别系统的能控性。计算特征多项式I I A|a1a。，即可写出A 0求变换矩阵Tc2b, Ab, , An 1b。求1，计算Tc2 1bCTc2，也可以验证是否有A1Tc2 ATc2。3. 能观标准I型判别系统的能观性。计算特征多项式|A|ana1a0，即可写出A。求变换矩阵To1c1Ca。求To1，计算bT01 1b，.n 1cA也可以验证是否

16、有A4.能观标准U型判别系统的能观性。计算特征多项式| IA|an 1a1a0，即可写出求变换矩阵To2T1，AT1， ,An 1T1 , T1ccA求T02，计算bT02b，cT020 01，也可以验证是否有A1To2 ATo2 05.如果传递函数阵，可直接写出能控标准I型和能观标准U型的状态空间表达。0i00000i00能控标准I型：Abc0in i 000i0aoaia2an ii0 00a。0i 00aii能观标准U型：A0 i0a2bc 00i0 0ian in 2n i八.线性系统的1结构分解i.按能控性分角军状态不完:全能控，即卩ran kMni n，通过非奇异变换x Rc?完成

17、。Rc Ri R2RniRn，前ni个列矢量是M中小个线性无关的列，其他列矢量保证Rc非奇异的条件下是任意的。2. 按能观性分解状态不完全能观，即ran kN n1 n，通过非奇异变换x Ro:?完 成。RiR2Ro 1，前ni个行矢量是N中ni个线性无关的行，其他行矢量保证 Ro 1非奇异RniRn的条件下是任意的。3. 按能控性和能观性分解系统是不完全能控和不完全能观的，采用逐步分解法， 虽然烦琐，但直观。步骤：首先按能控性分解Xc能控状态，Xc不能控状态。对不能控子系统按 能观性分解Xco不能控能观状态，X&不能控不能观状态。将能控子系统按能观 性分解Xco能控能观状态，Xc.能

18、控不能观状态。综合各步变换结果，写出最后 的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。九.传递函数阵的实现问题1. 实现的定义：由 W(s)写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函 数阵的实现问题。条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵D iim W(s)。s2. 能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W(s)是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标 准1型和能观标准2型实现。多输入多输出系统，W(s)是矩阵，将W(s)整理成和单入单出系统传递函数相

19、类n 1n 2似的形式，即W(s) nJ" nF n2理；此时的0!n1是s an 1 san 2 sas a°m r维常数阵。其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I，常数变为常数乘单位矩阵，即a。a°l。注意：能控标准型实现的维数是 n r ;能观标准型实现的维数是 n m。3. 最小实现(维数最小的实现)x Ax Bu为W(s)最小实现的充要条件是 (A,B,C)是完全能控能观的。y Cx步骤：对给定的 W(s)，初选一种实现(能控标准型或能观标准型) ，假设选能控标 准型，判断是否完全能观测，假设完全能

20、观测那么就是最小实现； 否那么进行能观性分解， 进一步找出能控能观局部，即为最小实现。注意：传递函数阵 W(s) 的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。 十传递函数 W(s) 中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件 是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消 只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控 能观的( p147 例 3-19 )。对单输入单输出系统，假设传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能 控还是不能观，还是既不能控又不能观。第四章 稳定性与李雅

21、普诺夫方法一 稳定性的定义 李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。1平衡状态x f(x,t)为齐次状态方程。满足对所有t ,都有f(Xe,t) 0成立的状态矢量Xe称为 系统的平衡状态。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。 2稳定性的几个定义 李雅普诺夫意义下稳定，(相当于自控里的临界稳定)；渐近稳定，(相当于自 控里的稳定)；大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只 有一个平衡状态；不稳定。二 李雅普诺夫第一法(间接法) 1线性定常系统的稳定判据 状态稳定性：平衡状态xe 0渐近稳定的充要条件是 A的所有特征值具有负实部。输出稳定

22、性：充要条件是传递函数的极点位于 s 的左半平面2. 非线性系统的稳定性线性化处理。x Ax ; A ，假设A的所有特征值具有负实部，那么原非线X x Xe性系统在平衡状态xe渐近稳定。假设A的所有特征值至少有一个具有正实部，那么原非 线性系统在平衡状态Xe不稳定。假设假设A的所有特征值至少有实部为零，那么稳定性不 能有特征值的符号来确定。三.李雅普诺夫第二法(直接法)借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。1. 预备知识V(x)是由n维矢量x定义的标量函数，且在 x 0处，恒有V(x) 0，对任何非 零矢量x，如果V(x) 0，贝V称之为正定；如果V(x) 0，那么称之为负

23、定；如果V(x) 0 那么称之为半正定或非负定；如果 V(x) 0那么称之为半负定或非正定；如果 V(x) 0或 V(x) 0，那么称之为不定。V(x) xTPx为二次型标量函数，P为实对称阵。要判别V(x)的符号只要判别P的 符号即可。P的定号判据(希尔维特斯判据)：首先求出P的各阶顺序主子式i,假设所有的i 0,那么P (V(x)正定；假设i偶数的i 0，i奇数的i 0那么P (V(x)负定；2. 李雅普诺夫函数对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x)，而V(x)是负定的，那么这个系统是渐近稳定的，这个标量函数V(x)叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅

24、普诺夫函数V(x)的问题。3 .稳定性判据 设x f(x)，平衡状态为xe 0，如果存在标量函数V(X)是正定的，即x 0时，有 V(x) 0, x 0时，有V(x) 0,且满足V(x) 0,贝9称原点平衡状态是渐近稳定的;如果当x 时，V(x)，那么系统是大范围渐近稳定的。 设x f(x)，平衡状态为xe 0，如果存在标量函数V(x)是正定的，即x 0时，有V(x) 0， x 0时，有V(x) 0，且满足V(x) 0，但除x 0外，即x 0，V(x)不恒 等于0,那么称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当 x 时，V(x)，那么系统是大范围渐近稳定的。 设x f(x)，平衡状态为Xe 0，如果存

25、在标量函数V(x)是正定的，即x 0时，有V(x) 0， x 0时，有V(x) 0，且满足V(x) 0，但任意的x 0，V(x)恒等于0， 那么称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 设x f(x)，平衡状态为Xe 0，如果存在标量函数V(X)是正定的，即x 0时，有 V(x) 0， x 0时，有V(x) 0，且满足V(x) 0，贝V称原点平衡状态是不稳定的。需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到适宜的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。如果V(x)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。V(x)最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的

26、二次型。构造V(x)需要较多技巧。四.李雅普诺夫方法在线性系统中的应用1 .线性定常连续系统渐近稳定判据定理：x Ax，假设A是非奇异的，原点Xe 0是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定 的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q,李雅普诺夫方程ATp PAQ，存在唯一的对称正定解P。该定理等价于A的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。步骤：选定正定矩阵Q,通常为Q I，代入李雅普诺夫方程，确定出 P，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。2 .线性时变连续系统渐近稳定判据 定理：x A(t)X，在平衡点Xe 0大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q(t)，李雅普诺夫方程 P(t)

27、A(t)TP(t) P(t)A(t) Q(t)，存在唯一的对称正定解P(t)。3 .线性定常离散系统渐近稳定判据定理：x(k 1) Gx(k)在平衡点xe 0渐近稳定的充要条件是，对任意对称实正定矩阵Q,离散李雅普诺夫方程 GTpG P Q,存在唯一的对称正定解 P o该定理等价于G的特征值均在单位圆内。步骤：选定正定矩阵Q，通常为Q I，代入离散李雅普诺夫方程，确定出P，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。五非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析1. 雅可比矩阵法步骤：x f(x)，写出f(x)，计算雅可比矩阵J(x)，对给定正定矩阵P (通x常P I )，Q(x)J(x)TP PJ(x)为

28、正定的。并且V(x) fT(x)Pf(x)为系统的一个李雅普诺夫函数。2 .变量梯度法第五章线性定常系统的综合综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下到达最优。一. 线性反应控制系统的根本结构及其特性1 .状态反应将系统的每一个状态变量乘以相应的反应系数，然后反应到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反应增益阵，r no 设原受控系统(A,B,C)，D =0o状 态 反 馈 闭 环 系 统 的 状 态 空 间表 达 式x (A BK)x Bv y CxK (A BK,B,C)简称与原受控系统 0 (A,B,C)比拟，状态反应增益阵

29、K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。x (A BHC)x Bvy Cx2输出反应由输出端 y 引入输出反应增益阵H( r m )，然后反应到输入端与 参考输入相加， 作为受控系统的控制输入。 状态空间表达式为 简称 H (A BHC,B,C)通过H的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自 由度远比K小(通常m n )。3 .从输出到状态变量导数 x的反应从输出y引入反应增益阵G ( n m )到状态变 量的 导数 x ， 所得状态 空 间表达式为x (A GC)x Buy Cx简称H (A GC,B,C)通过G的选

30、择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。以上三种反应的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次， 反应增益阵都是常数矩阵，反应为线性反应。4 .闭环系统的能控性与能观性a状态反应不改变受控系统0 (A,B,C)的能控性，但不保证系统的能观性不变b输出反应不改变受控系统° (A,B,C)的能控性和能观性。二. 极点配置问题就是通过选择反应增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。只讨论单输入单输出系统1.采用状态反应对系统° (A,b,c)任意配置极点的充要条件是 °完全能控给定o (A,b,c)，给定期望的极

31、点，设计状态反应控制器的方法:能控标准型法，适合于n 3。首先判断是否完全能控，是，那么存在状态观测器。 通过线性变换x TciX化为能控标准1型，得到(A,b,C)。参加状态反应增益矩阵K ko，ki， ,kn 1,得到闭环系统 二(A bK,b,c)状态空间表达式，求出对应 的闭环特征多项式f( ) | I (A bK)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特 征多项式f*( )( i*)。将f()与f*()比拟，即可得到K ko，ki， ,kn 1。把对应与的K，通过K KTci 1ko,ki, ,km。进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3，可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反应

32、增益矩阵K ko,ki, ,kni，不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能控， 是，那么存在状态观测器。参加状态反应增益矩阵K ko，ki，,kn，得到闭环系统K (A bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f( ) | I (A bK)|。 由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*( )(i*)。将f()与f*()比拟，即可得到K ko,ki, ,kni。进一步画出模拟结构图。注意，如果给定的是传递函数，那么先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。2. 采用输出反应不能任意极点配置，正是输出线性反应的根本弱点。3. 采用从输出到x的反应

33、 对系统0 (A,b,c)任意配置极点的充要条件是0完全能观。设计o从输出到x的反应阵G的问题就是其对偶系统o设计状态反应阵K的问题。方法：(1)能观标准型法，适合于 n 3。首先判断是否完全能观，是，那么存 在输出反应G。通过线性变换x T02X化为能观标准2型，得到(A,b,c)。加表达式，求出对应的闭环特征多项式f( ) | I (A Gc)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*( )( i*)。将f()与f*()比拟，即可得到G go，gi， ,gniT。把对应与 的 G，通过 G T“G go,gi, ,gni。进一 步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3，可直接由反映物

34、理系统的A,c矩阵求状态反应增益矩阵G g0, gi, , gn i，不通过非奇异变换，使设计工作简单。首先判断是否完全能观，是，那么存在输出反应G。参加从输出到x的反应增益矩阵G g°,gi，,gn，得到闭环系统g (A Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f( ) | I (A Gc)| o由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式 f*( ) ( i*)。将f()与f*()比拟，即可得到G g°,gi, ,gni。进一步 画出模拟结构图。三. 系统镇定问题所谓系统镇定，是对受控系统 0 (A, B,C)通过反应使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定

35、。镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧，而并不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。状态反应能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。输出反应能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反应能镇定 的，其余子系统是渐近稳定的。输出到x的反应实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。四. 系统解藕问题1. 目的是寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题 称为解藕问题。2.定义：假设系统(A,b,c)m维输入m维输出，其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩阵，

36、那么称该系统是解藕的。3 .方法：前馈补偿器解耦：待解耦系统° (A,b,c)的传递函数阵Wo(s)，在其前面串接一个前馈补偿器传递函数为Wd(s),使整个系统的传递函数阵为 W(s) Wd(s)W°(s)，满足对角线有理多项式特点。其中 Wd(s) W° 1 (s)W(s)。状态反应解藕。如何设计K和F,使系统从v到y是解藕的。设计步骤。五. 状态观测器作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反应 但状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重 构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反应成为

37、一 种可实现的控制律。1 定义：动态系统？以°的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量 X逼近 于 x ，即 lim |x x?| 0，那么称 ? 为 0的一个状态观测器。构造原那么： 0必须是完全 能观或不能观子系统是渐近稳定的； ？的输出5?应以足够快的速度渐近于 x ; ?在 结构上尽可能简单(具有尽可能低的维数) ，以便于物理实现。2. 等价性指标动态系统x? Ax? Bu y cx?原系统 °x Ax Bu y cxx x? A(x x?) 得到 x x? eAt(x°x?°)只要系统是稳定的，即A的特征值具有负实部，就可做到?与x是稳态等价

38、的3. 重构状态方程原因：系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有x逼近于x:不一定能保证A的特征值均具有负实部。克服这个困难，用对输出量的差值y ?的测量代替对状态误差x X>的测量，当im |x刻0 ,有 tlim | y ?| lim| cx c?l lim |c(x X) | 0。同时，引入反应阵G,使系统的特征值具有负实部。状态重构方框图为p213 (a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。状态观测器方程为? A? Bu G(y(A GC)x Gy Bu 记为 ? cx>? (A GC,B,G)这里的G称为输出误差反应矩阵。可以证明，如果 A GC的特征值

39、具有负实部， 那么状态误差x ?将逐渐衰减到0，即估计状态 x逼近于实际的状态x。逼近的速 度取决于G的选择，即A GC的特征值的配置。4. 观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是°不能观子系统是渐近稳定的。5 .观测器的极点配置定理：线性定常系统° (A,B,C)，其观测器？ (A GC,B,G)可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充要条件是° (A,B,C)完全能观测。极点配置方法：(1)能观标准型法，适合于 n 3。首先判断是否完全能观， 是，存在观测器可以任意极点配置。通过线性变换x Tx化为能观标准2型，

40、得到(A,b,C)。参加输出误差反应阵 G g0,g1, ,gn1T,得到闭环系统状态空间 表达式x (A Gc)? Bu Gy)，求出对应的闭环特征多项式f( ) I I (A Gc)|。 由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*( )( i*)。将f()与f*()比拟，即可得到G go,6, ,gn iT。把对应与的G ,通过G TGgo,gi, ,gni。得观测器方程，? (A Gc)? Bu Gy或？ A? Bu G (y <?, 进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3，可由特征值不变原理求状态反应增益矩阵 G go, gi, gn i，不通过非奇异变换，使设计工作简单

41、。首先判断是否完全能观，是，那么存在观测器可以任意极点配置。引入输出误差反应矩阵 G go,gi, ,gni,得到观测器系统？ (A Gc,B,G)状态空间表达式 ? (A Gc)? Bu Gy。求出对应的闭环特征多项式f( ) | I (A Gc)|。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*( )( i*)。将f()与f*()比较，即可得到G g°,g1, ,gm。得观测器方程，进一步画出模拟结构图。5. 降维观测器观测器维数与受控系统相同，称为全维观测器。如果有些状态变量能由输出y直接获得，那么仅对其余的状态变量用降维观测器进行重构即可。步骤：通过线性变换把状态按能检测性分

42、解。 (n-m)维状态变量x1需要重构， m维状态变量X2由直接获得。对X1构造(n-m)维观测器。 详细步骤通过实例熟 悉。六. 利用状态观测器实现状态反应的系统(带观测器的状态反应闭环系统) 1.系统的结构与状态空间表达 结构框图要非常熟悉 p221 图前提：受控系统完全能控能观，状态反应闭环系统和观测器都可以任意极点配置受控系统0(A, B,C)x Ax Buy cx*1式状态观测器 G( A GC,B,G)x? Ax? BuG(y? (A GC)X Gy Bu *2y?Cx?式反应控制率u v Kx?*3式整理得整个闭环系统的状态空间表达式x x?yAx BKxGCx ( ACxBvG

43、C)x? Gy Bv也可写成矩阵形式显然，这是一个2n 维的闭环控制系统。2闭环系统的根本性质 1别离性 复合系统由观测器构成的状态反应闭环系统其特征多项式等于 矩阵 A BK 和 A GC 特征多项式的乘积。即闭环系统的极点等于直接状态反应 A BK 的极点和状态观测器 A GC 的极点总和，且相互独立。所以输出误 差反应阵 G 和状态反应阵 K 可以分别进行设计。2传递函数矩阵的不变性可以推出复合系统的传递函数为 Ws CsI A BK 1 B ，等于直接状态反应 闭环系统的传递函数。或者说它与采用观测器反应无关。3观测器反应与直接状态反应的等效性稳态时，两者等价。选择K,可以改变闭环系统

44、的极点到期望极点，从而改善系统性能。选择G,可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差x?衰减到0。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点 A BK 的极点略负，既保证状态误差有较 快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。3 .设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)：判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，贝y状态反应阵k和观测器输 出误差反应阵G存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。设计状态反应阵K:求A BK的特征多项式fK()，由期望的闭环极点得期望的特征多项式 fK*(), 比拟系数，从而得到K。设计观测器输出误差反应阵G:求 A GC的特征多项式 fG( ) ，由观测器期望的配

45、置极点得期望的特征多项式 fG*( )，比拟系数， 从而得到 G。给出观测器方程即*2式。结合* 1式和* 3式，画出相应的模拟结构图。第六章 最优控制 三种设计最优控制系统的方法：古典变分法、极小值原理、动态规划一. 概述在最优控制系统中，由于受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数， 所以这是动态最优化问题。 这时目标函数不再是普通的函数， 而是时间函数的函数， 称为泛函。在t°,tf上目标泛函为J f Lx(t),u(t),tdt，根本约束条件是受控对象的状态方t0程 x fx(t),u(t),t，J 是标量泛函数， L 标量函数(是矢量 u(t),x(t) 的函数)，

46、x(t) 是 n 维状态矢量， u(t) 是 r 维控制矢量。二. 研究最优控制的前提条件(1) 给出受控系统的动态描述， 即状态方程 连续 x fx(t),u(t),t 离散 x(k 1) fx(k),u(k),k(2) 明确控制作用域(3)明确初始条件通常to给定，假设x(to)给定，称为固定始端。假设 x(to)任意，那么称谓自由始端。(4) 明确终端条件固定终端自由终端 可变终端(5) 给出目标泛函即性能指标tN 1连续 J x(tf) tf Lx(t),u(t),tdt 离散 J x(N)Lx(t),u(t),t0k ko等式右边第一项反映对终端性能的要求，称为终端指标函数。第二项L

47、为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料消耗的要求等，称为动态指标函数。假设不考虑 终端指标函数，仅有第二项那么称为拉格郎日型(或积分型)。假设仅有第一项，那么称为终端型(梅耶型)。最优控制问题就是在约束条件下寻求最优控制U(t)，受控系统在to，tf上，从初始状态x(to)转移到终端状态x(tf)时，性能指标J取极值。满足条件的U(t)称为最优控制u (t)，这时状态方程的解称为最优轨线x (t)，此时的性能指标J称为最优指标J。三. 静态最优化问题的解(1) 多元函数的极值J f (u)这里u (比,u2, , un)T取极值的必要条件是0，取极小值还需满足二0海赛矩阵正定。uu(2) 具有

48、等式约束的极值a嵌入法先从目标函数解出一个变量，代入目标函数，即成为没有目标约束的函数。b拉格朗日乘子法将约束条件乘以，与目标函数相加，构成一个新的可调整的没有约束的多元函数。目标函数J f(x,u)约束条件g(x,u) 0，新函数H f(x,u) Tg(x,u) 是与g 同维的列矢量 目标函数存在极值的必要条件是卫0 上 0 上0xu四. 泛函及其极值一一变分法动态最优控制中的目标函数是一个泛函数，因此动态最优化问题可以归结为求泛函极值问题。1 .变分法概念在控制系统中，自变量是t，宗量函数是状态矢量x(t)，因此J tfLx,x,tdt ,t0而x f x,u,t，所以，J可以写成J f

49、Lx(t),u(t),tdt，是积分型泛函。J的值取决 t0于函数u(t)，所以J是u(t)的泛函。求最优控制u (t)，就是寻求使性能泛函J取极值的u(t) 0泛函的变分：泛函jy(x)的变分定义为，J Jy(x) a y(x)aa 0多元函数的变分：J 一 Jyi a yi, y2 a y?, , y. a y.aa 0多元函数取极值的必要条件是 J 02 .泛函极值的必要条件一一欧拉方程求泛函Jtf Lx,x,tdt的极小值，就是确定x(t)使J到达极小值。t0定理：设曲线x(t)的始点为X(t。) X。，终点为x(tf) Xf，那么使性能泛函Jtf Lx,x,tdtt0取极值的必要条件

50、是：X(t)是二阶微分方程LXdt(L)0的解。Ld ( L)0xdt x称为欧拉方程。其中d ( L) d Lx,x,tL dxL dxL dt其中dt ( X) dtxXx dt xx dttx dt实例熟悉步骤。欧拉方程是二阶微分方程，求解时有两个常数待定。对固定端 点问题，给定x(tg) Xo， x(tf ) Xf边界条件，可以确定常数。对于自由端点问题, 应有横截条件来补足。00X tX t3 .多元泛函的极值条件欧拉方程组J(Xi,X2, , Xn)LXi ,X2, ,Xn,Xi,X2, ,Xn,tdt 取极值的必要条件是：Xi (t)是二to阶微分方程组d(丄)o的解。实例熟悉步骤。p252Xi dt Xi4.可变终端问题和综合型性能泛函的情况略五. 用变分法求解连续系统最优控制问题有约束条件的泛函极值前面讨论的是没有约束的泛函极值问题。有约束条件的泛函极值，解决思路：应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函，转 化为没有约束条件的极值问题。1 .