电动力学高教第三版2ppt课件

1、第二章第二章 静电场静电场 本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：静电势及其满足的微分方程及边值关系、分别变量法、镜象法分别变量法柱坐标静电场的标势、及其微分方程和边值关系，静电场的能量分别变量法、镜象法本章主要内容本章主要内容独一性定理的内容及意义21()0neEE21()neDDl 边值关系：l 由静止电荷产生的场，不随时间变化由静止电荷产生的场，不随时间变化0 E D1 1静电势的引入静电势的引入0EE静电场标势简称电势 取负号是由于电场方向从高电势指向低电势取负号是由于电场方向从高电势指向低电势满足迭加原理 E 的选择不独一，可相差一个常数，只需即可确定知道)(2121221121E

2、EEEE2 2、电势差、电势差空间某点电势无物空间某点电势无物理意义，两点间电理意义，两点间电势差才有意义势差才有意义电势差为电场力将电势差为电场力将单位正电荷从单位正电荷从P P移移到到Q Q点所作功负值点所作功负值)(PQ)(PQ 电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升电场力作负功，电势上升 )0(Ll dE 两点电势差与作功的途径无关 l dEl ddQPPQl dE等势面：电势处处相等的曲面E与等势面垂直与等势面垂直点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面l 参考点参考点通常选无穷远为电势

3、参考点通常选无穷远为电势参考点 )(0Q1 1电荷分布在有限区域，电荷分布在有限区域，PPldEP P点电势为将单位点电势为将单位正电荷从正电荷从P P移到移到电场力所做的功。电场力所做的功。2 2电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点， 否那么积分将无穷大。否那么积分将无穷大。1 1点电荷点电荷 rQrrQdl drrQPPP02030444)(2 2电荷组电荷组niiirQP104)(rQff04Q 产生的电势 PQrQPP04 产生的电势 rQrQQfPfPf440) 1(0fPQQ3 3无限大均匀线性介质中点电荷无限大均匀线性介质中点电荷 r

4、Q4 点电荷在均匀介质中点电荷在均匀介质中的空间电势分布的空间电势分布Q Q 为自在电荷为自在电荷4 4延续分布电荷延续分布电荷 VrVdxP04)()(二、静电势的微分方程和边值关系 电势满足的方程电势满足的方程2适用于均适用于均匀介质匀介质l 泊松方程l 导出过程导出过程 2El 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 20适用于无自在适用于无自在电荷分布电荷分布的均匀介质的均匀介质DEED,2 2静电势的边值关系静电势的边值关系(1) (1) 两介质分界面两介质分界面QPPQl dE0 P QQP12QP12neSSS21SSnn1122nnEE1122nEn21()neDDnnDD12ED由于导体外

5、表为等势面，因此在导体外表上电势为一由于导体外表为等势面，因此在导体外表上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并思索导体内部电场为零，那么可以得到第界面上，并思索导体内部电场为零，那么可以得到第二个边值关系。二个边值关系。2 2导体外表上的边值关系导体外表上的边值关系常数s|snnEdSndSQSS三静电场的能量三静电场的能量DEw21 能量密度能量密度 , 假设知假设知 总能量为 VdVW2121 不是能量密不是能量密度度总能量总能量 dVDEW21仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质)()(DDDDDEdVDdVW)(2121

6、导出过程：导出过程：10SD dSrD dSr dVW21该公式只适宜于静电场情况。该公式只适宜于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。且存在于整个场中。r121rD2rdS()SD dVD dSS0E求均匀电场求均匀电场的电势的电势解：均匀电场可看作由两无限大平解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。由行板组成的电容器产生的电场。由于电荷分布在无穷区域，可选空间于电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原任一点为参考点，为方便取坐标原点电势点电势0yzxPR0E0000000)(PPPREl dEl dEl dEP)c

7、os()(000000REZEREP 电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势)11(4)(0rrQPP P点电势：点电势：无穷远为零点无穷远为零点l 2解：电偶极子：解：电偶极子： 两个相距为两个相距为的同量异号点电荷构成的的同量异号点电荷构成的系统偶极矩系统偶极矩 zeQlP2rrzxyl 2R-Q-QQ Q)(RlPcos2222RllRrcos)cos2211 (/cos21lRRlRRlRrcoslRr同理同理 2222cos2coscos211RllRlrrrrrr30302044cos24cos2)(RRpRQlRRQlPxy平面为等势面平面为等势面Z = 0Z = 0的平面的平面求

8、近似值：求近似值：假设电偶极子放在均匀介质假设电偶极子放在均匀介质中无限大介质：中无限大介质：)(Rl 34RRP留意：思索了束缚电荷，就不能再思索介质留意：思索了束缚电荷，就不能再思索介质 ，而，而00pE用真空中的用真空中的。这由。这由 决议。QQp)1 (0PeQlelQPzzPp) 1(220303030304)1(1 444RRPRRPRRPRRPp均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自在点电荷附近，均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自在点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自在偶极子与束缚偶极子产生的介质中电偶极子产生的势为自在偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设势的迭加，设 为束

9、缚电荷，为束缚电荷，pQ3 3带电带电Q Q的导体球半径为的导体球半径为a a产生的电势。产生的电势。电荷分布在有限区，参考点电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当电势也应具有球对称性。当思索较远处场时，导体球可思索较远处场时，导体球可视为点电荷。视为点电荷。) 0( rBrA)(02ar满足满足 aQP)0(03rrr0,rrAB0)(443020arrrQrrQE此题也可用高斯定理积分方式求解。此题也可用高斯定理积分方式求解。 2202004aaAdSaAdSrQar2rArn04

10、QA )(40arrQ内表面)(40araQ = = ), 2 , 1(2miii、泊松方程和边境条件、泊松方程和边境条件假定所研讨的区域为假定所研讨的区域为V V，在普通情况下，在普通情况下V V内可以有多种介内可以有多种介质或导体，对于每一种介质本身是均匀线性各向同性的质或导体，对于每一种介质本身是均匀线性各向同性的设设V V内各分区电势为内各分区电势为 ，它们满足泊松方程，它们满足泊松方程iSSnSndSnQSSS两类边境条件：两类边境条件： 边境边境S S上，上，为知，假设为导体为知，假设为导体= =常数。常数。 边境边境S S上，上，为知，为知，给定给定定总电荷定总电荷Q Q。它相当

11、于。它相当于假设是导体要给假设是导体要给ijijSiiSjjnn内边境条件边值关系内边境条件边值关系注：在实践问题中，注：在实践问题中，由于导体内场强为由于导体内场强为零，可以不包含在零，可以不包含在所求区域所求区域V V内。导内。导面子上的边境条件面子上的边境条件可视为外边境条件。可视为外边境条件。ijijSjSiijijSiiSjjnnneji：V V内两介质分内两介质分界 面 上 自 在界 面 上 自 在电荷为零电荷为零1 1均匀单一介质均匀单一介质2电场独一确定。电场独一确定。S分布知，分布知，满足满足假设假设V边境上边境上知，或知，或V V边境上边境上知，那么知，那么 V V 内场静

12、内场静区域内区域内Sn证明：证明： 211222假定泊松方程有两个解假定泊松方程有两个解，有，有 S1S2SSn1Sn2在边境上在边境上sn21令令022122SnSn102Sn由第一格林公式由第一格林公式 021SSS 令令 那么VSSddV)(2202VdV0)(2由于由于0)(2积分为零必然有积分为零必然有021常数常数VSSddV)(20SSSd00Sn0S211 1假设给定的是第一类边境条件假设给定的是第一类边境条件 即常数为零。即常数为零。电场独一确定且电场独一确定且电势也是独一确定的。电势也是独一确定的。虽不独一，但电场虽不独一，但电场0Sn2121,E2 2假设给定的是第二类边

13、境条件假设给定的是第二类边境条件 常数，常数，相差一个常数，相差一个常数，是独一确定的。是独一确定的。 介质分区均匀不包含导体介质分区均匀不包含导体i2SSnijijSjSi知，知， 成立，给定区域边境上的值或或。在分界面上，满足和和V 内内证明见书证明见书P. 44sv123区域区域V V内电场独一确定内电场独一确定ijijSiiSjjnn 均匀单一介质中有导体证明见P. 45总电荷总电荷Q1Q1、Q2Q2为知，那么区域为知，那么区域 V VSSn知，及导体上的知，及导体上的或或内电场独一确定。内电场独一确定。当当0E， 内的电荷分布导体中导体中VdSnQsQ2Q1SS1S2V 对于所得解，

14、只需该解满足泊松方程和给定边境条件，对于所得解，只需该解满足泊松方程和给定边境条件，那么该解就是独一的正确解。因此对于许多具有对称那么该解就是独一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不用用繁杂的数学去求解泊松方程，性的问题，可以不用用繁杂的数学去求解泊松方程，而是经过提出尝试解，然后验证能否满足方程和边境而是经过提出尝试解，然后验证能否满足方程和边境条件。满足即为独一解，因此独一性定理具有非常重条件。满足即为独一解，因此独一性定理具有非常重要的适用价值。要的适用价值。 独一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度独一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度 指明了方向。指明了方向。

15、 四、运用举例 半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。Q0S解：点电荷解：点电荷 Q Q 放在球心处，壳接地放在球心处，壳接地02)0(R因此腔内场独一确定。因此腔内场独一确定。0S不满足不满足知点电荷产生的电势为知点电荷产生的电势为 RQ014aQS014但它在边境上但它在边境上要使边境上任何一点电势为要使边境上任何一点电势为0 ，RQ04aQ04设设020S它满足它满足根据独一性定理，它是腔内的独一解。根据独一性定理，它是腔内的独一解。)(430aRRRQE可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。有关。Q2. 2. 带电

16、荷带电荷Q Q 的半径为的半径为a a 的导体球放在均匀无限大介质中，的导体球放在均匀无限大介质中， 求空间电势分布。求空间电势分布。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外外表上。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外外表上。假定电场也具有球对称性，那么电势与坐标假定电场也具有球对称性，那么电势与坐标,无关。无关。0因电荷分布在有限区，外边境条件因电荷分布在有限区，外边境条件导体外表电荷导体外表电荷Q知，电场独一确定。设知，电场独一确定。设BRA3RRARA)(03aRRRA02R0R0B 满足满足，在导体边境上在导体边境上22244SSR aAAaQdSdSARaa 3两种均匀介质 和 充溢

17、空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上球心 在界面上，求空间电 势分布。1212aQ)(44aRRQQA)(43aRRRQE210(),PneEEE 利用利用QQP) 1(0束缚电荷只分布在导体与束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在空间也具有对称性。而在介质分界面上介质分界面上 ，所以可思索球外电场仍具所以可思索球外电场仍具有球对称性。有球对称性。21EE试试探探解解002222212111drcdrc12aQP2E1ES2S1给定，所以球外

18、场独一确定。给定，所以球外场独一确定。0解：外边境为无穷远，电荷分布在有限区解：外边境为无穷远，电荷分布在有限区导体上导体上Q Q21RQ4场对称场对称 对称性分析：对称性分析：21场仍对称！场仍对称！在两介质分界面上：在两介质分界面上：ttnnEEDD2121,012pnnEE0p212211SarSardSrdSrQ121222SSccdSdSaa22122222ccaaaa122 ()c 确定常数确定常数0021ddrSS21ccc21在介质分界面上在介质分界面上 )(221QcrQ)(2211rQ)(2212下半空间下半空间上半空间上半空间12()2 ()Qrar 导体球面上面电荷分布

19、：导体球面上面电荷分布：2211111)(2aQrar2212222)(2aQrar下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布1101) 1(P2102) 1(P束缚电荷分布：束缚电荷分布：21 1、空间、空间 ，自在电荷只分布在某些介质或导体外，自在电荷只分布在某些介质或导体外表上，将这些外表视为区域边境，表上，将这些外表视为区域边境， 区域内电势满足拉普拉区域内电势满足拉普拉斯方程。斯方程。0一、拉普拉斯方程的适用条件一、拉普拉斯方程的适用条件2 2、在所求区域的介质中假设有自在电荷分布，那么要求自、在所求区域的介质中假设有自在电荷分布，那么要求自在电荷分布在

20、真空中产生的势为知。在电荷分布在真空中产生的势为知。 普通所求区域为分区均匀介质，那么不同介质分界面上有普通所求区域为分区均匀介质，那么不同介质分界面上有束 缚 面 电 荷 。 区 域束 缚 面 电 荷 。 区 域 V V 中 电 势 可 表 示 为 两 部 分 的 和 ，中 电 势 可 表 示 为 两 部 分 的 和 ，即即 ， 为知自在电荷产生的电势，为知自在电荷产生的电势， 不满不满足足 ， 为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程方程020200但留意，边值关系还要用但留意，边值关系还要用 而不能用而不能用SS二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的方式二、拉

21、普拉斯方程在几种坐标系中解的方式02222222zyx1 1、直角坐标、直角坐标 )()()(),(zZyYxXzyx1令令 1122( )( )( )sincosk xk xXxAeBek yk yYyCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd222212221,kkkkk),(yx2 2假假设设 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,3 3假设假设 ，与，与 无关。无关。 BAxdxd022002222YdyYdXdxXd留意：在留意：在1、2两种情况中假设思索了某些边境条两种情况中假设思索了某些边境条件后，件后， 将

22、与某些正整数有关，它们可取将与某些正整数有关，它们可取1，2，3， ，只需对它们取和后才得到通解。，只需对它们取和后才得到通解。kkk,21022,kk01)(1222222zrrrrr 柱坐标柱坐标 ),(r讨论讨论 )()(),(grfr，令，令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12( )sincosgaa )(rfrr 有两个线性无关解 、)2()0(n周期性要求周期性要求 ， 只能取整数，令只能取整数，令1( , )()(sincos)nnnnnnnrC rD rAnBnlnrBABrr0)(1rrrr假假设设 )(r，1( , , )()(cos)co

23、snmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos)sinnmnmnmnnnmdcRPmR3球坐标 )(cosmnP缔合勒让德函数连带勒让德函数缔合勒让德函数连带勒让德函数nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1l 假设假设 不依赖于不依赖于，即，即具有轴对称性，通解为具有轴对称性，通解为 ) 1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-为勒让德函数为勒让德函数RbaR)(, l 假设假设 与与均无关，均无关，具有球对称性，具有球对称性，通解：通解：三解题步骤三解题步骤 根据详细条件确定常数根据详细条件确定常数 选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点

24、 坐标系选择主要根据区域中分界面外形，坐标系选择主要根据区域中分界面外形， 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；参考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；中的通解；1 1外边境条件：外边境条件： 电荷分布有限电荷分布有限 0留意：边境条件和边值关系是相对的。导体边境可视为外留意：边境条件和边值关系是相对的。导体边境可视为外边境，给定边境，给定 接地接地 ，或给定总电荷，或给定总电荷 QQ，或给定或给定 。S0SzeEE0zErE00cos电荷分布无限，电势参考点普通选在有限区。如均匀场中，电荷分布

25、无限，电势参考点普通选在有限区。如均匀场中， 直角坐标或柱坐标，电势参考点可选在坐标原点。2 2内部边值关系：介质分界面上内部边值关系：介质分界面上SSSSnn221121普通讨论分普通讨论分界面无自在界面无自在电荷的情况电荷的情况四运用举例四运用举例1 1、两无限大平行导体板，相距为、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势差为，两板间电势差为V V ( (与与 无关无关) )，一板接地，求两板间的电势，一板接地，求两板间的电势 和和 。lzyx,EOVlxyz2 2上极板上极板 处处解：解：1 1边境为平面，故应选边境为平面，故应选直角坐标系直角坐标系下板下板 01S，取为参考点lzVyx

26、,导体板为无限大平面，因此导体板为无限大平面，因此与与无关。无关。(4) 定常数定常数000zBz lVVAl)0(lzzlV(5) 电势、电场电势、电场lVEelVedzdEzz常数常数电势：电势：(3) 列出方程并给出解列出方程并给出解BAz 方程的解：方程的解：)0(lz02220dd z 一对接地半无限大平板，相距为一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极板电，左端有一极板电势为势为 V常数，求两平行板之间的电势。常数，求两平行板之间的电势。bxyzV222220(0, 0)xybxyz0, 0,xybV2轴平行于平板，且轴平行于平板，且z),(yx与与无关，可设无关，可设解：解：1

27、边境为平面，选直边境为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；有取为参考点；有0 x00yy b( )( ) ( )( )sincoskxkxX xAeBeX x Y yY yCkyDky( , )()(sincos)kxkxx yAeBeCkyDky3确定常数确定常数 A，B，C，D，k00, 0Dy,0sin0ybkb(1,2,3,)nkbnknb00nAx1sinnxbnnnCyeb解为：解为：1sin0nnbynCVVx04cos2sin2sin2000mVymVydymbbVdybymVbCmmbmm = 奇数奇数m = 偶数偶数(21)/041

28、(1)( , )sin21nx bmVmyx yenb00 xy b yn) 12(0n 半径半径 a a，带有均匀电荷分布，带有均匀电荷分布的无限长导体圆柱，的无限长导体圆柱，求导体柱外空间的电势和电场。求导体柱外空间的电势和电场。解：选柱坐标系，电荷分布在无限远，电势零点可选在有限解：选柱坐标系，电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导面子区，为简单可选在导面子 r = a r = a 处，即处，即 。(0)r a对称性分析：对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，分布，一定与一定与无关。无关。 柱外无电荷，电场线从柱面柱外无电荷，电场线从柱面发出

29、后，不会终止到柱面，只发出后，不会终止到柱面，只能终止到无穷远，即电场沿能终止到无穷远，即电场沿 方向，且导体圆柱为无限长可方向，且导体圆柱为无限长可以为以为 与与z z无关，无关，re)(rxyzoa210()0ddrr drdrararln)(0( )lnrrCaDrCrln)(0)(aaCDln0rredaEedrr 0aCaCarCadrdarar0001在导面子上在导面子上reaE0)(解：解：(1)(1)边境为柱面边境为柱面, ,选柱坐标系。选柱坐标系。均匀场电势在无穷远处不为零，故均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点坐

30、标原点0r常数或常数或0yzxO0E(1)(1)(1)(1)11 (sincos)(sincos)nnnnnnnrAnBnrCnDn(2) (2) 思索对称性电势与思索对称性电势与z z无关，设柱内电势为无关，设柱内电势为 ，柱外为，柱外为 它它们分别满足们分别满足 , , 。通解为：。通解为：12210(0)r a 220 ()ra4 4一半径为一半径为 a a，介电常数为，介电常数为 的无的无 限长电介质圆柱，柱轴沿限长电介质圆柱，柱轴沿 方方 向，向， 方向上有一外加均匀电方向上有一外加均匀电 场场 ，求空间电势分布和柱面，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。上的束缚电荷分布。0Ez

31、exe(2)(2)(2)(2)21(sincos)(sincos)nnnnnnnrAnBnrCnDn(3) (3) 确定常数确定常数 由于有外加均匀场，它们对由于有外加均匀场，它们对x x轴对称，可思索轴对称，可思索 、 也也 相对相对x x轴对称轴对称 为偶函数，所以为偶函数，所以 中不应包中不应包 含含 项，故：项，故：12)(12、nsin(1)(2)(1)(2),nnnnAACC均为零。均为零。10r 常数或零，有限，故1nr0)1(nD中不应有中不应有 项。2均匀场电势，均匀场电势，中不含中不含 项项(2)(2)100nBEB，得，得nr1n因此因此cos02rEr1)2(021)

32、1 (1coscos0cosnnnnnnranrDrEarnrB11)1()2(0001)1(11)2(0)1(cos)(coscoscoscoscosnnnnnnnnnnnnnaDnEnanBnaDaEnaB两边两边 为恣意值，为恣意值， 前系数应相等前系数应相等 cos, 2 , 1n(1)(2)1101(1)(2)2100011B aE aDanBEDa (2)20100(1)01002DE aBE(1)(2)(1)1(2)(1)01 (1)nnnnnnnnB aDannnB anDa (1)(2)0(1)0nnBnD121200aarrraraar 时，arrE0cos20001raE

33、rarEcoscos0200024 4解为解为 5柱内电场：柱内电场：)cos(20001xrxE01011020 xyzEEEE00012EE仍沿仍沿x方向方向120001EE x0E00000001EEEEEP6柱面上束缚面电荷分布柱面上束缚面电荷分布0)(120EEnPcos)(2cos2coscos)()(000000000000120120EEEErrEEarnnP7 7假设圆柱为导体，可用上述方法重新求解假设圆柱为导体，可用上述方法重新求解cos2coscos00002021EErarE5 5如下图的导体球带电如下图的导体球带电Q Q和不带电荷的导体球壳，用分别和不带电荷的导体球壳

34、，用分别变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。解：解：(1)(1)边境为球形，选球坐标系，边境为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选0r假设将假设将Q Q移到壳移到壳上，球接地为上，球接地为书中书中P48P48例题例题2 2设球壳内为设球壳内为I I区，壳外为区，壳外为IIII区。区。 球壳内球壳内: :220 210 球壳外球壳外 电荷在球上均匀分布，场有球对称电荷在球上均匀分布，场有球对称性，性，, 与与无关无关23112()()dcRRRbaRRRR2R3R1RQOI I3 3确定常数确定常数RRR101

35、, 导体壳为等势体导体壳为等势体3221SS30214dQaRR 在导体壳上在导体壳上 23230SSQdSdS23120230SSnn 2312000SSdSdSnn231200SSdSdSRR1121001214SR RbQdSRRR 04Qb2200dRcR neRne)11(4230RRQa4 2304QRRR112003211()44QQRRRRRR5球壳上的感应电荷球壳上的感应电荷0 QQ以上结果均与高斯定理求解一致。以上结果均与高斯定理求解一致。04404Qbddb 23220SSdSdSbdRR3320214SSQQdSdSQRR 壳外面壳外面 22110SSQdSRdSnQ壳

36、内面壳内面 求解泊松方程的难度、镜像法的概念和适用条件、镜像法的概念和适用条件 普通静电问题可以经过求普通静电问题可以经过求解泊松方程或拉普拉斯方程解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情得到电场。但是，在许多情况下求解比较复杂。本节引况下求解比较复杂。本节引见一种较为简单的求解静电见一种较为简单的求解静电场的方法。场的方法。QQ2. 2. 以独一性定理为根据以独一性定理为根据 在独一性定理保证下，在独一性定理保证下，采用试探解，只需保证解满采用试探解，只需保证解满足泊松方程及边境条件即是足泊松方程及边境条件即是独一正确解。独一正确解。 特别是对于只需一个或特别是对于只需一个或几个自在

37、点电荷时，可以将几个自在点电荷时，可以将导面子上感应电荷分布等效导面子上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。给出尝试解。 镜像法概念、适用情况镜像法概念、适用情况镜像法：镜像法：用假想点电荷来等效地替代用假想点电荷来等效地替代导体边境面上的面电荷分布，导体边境面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。电荷迭加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： a)所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，界面上的感应电荷普通可以界面上的感应电荷普通可以用假想替代。用假想替代。b)导体边境面外形比较规那么，导

38、体边境面外形比较规那么，具有一定对称性。具有一定对称性。 c) 给定边境条件给定边境条件留意：留意：a做替代时，所研讨区域的泊松方程不能被改动即自在做替代时，所研讨区域的泊松方程不能被改动即自在 点电荷位置、点电荷位置、Q 大小不能变。所以假想电荷必需放在大小不能变。所以假想电荷必需放在 所求区域之外。所求区域之外。b不能改动原有边境条件实践是经过边境条件来确定假不能改动原有边境条件实践是经过边境条件来确定假 想电荷的大小和位置。想电荷的大小和位置。c一旦思索了假想电荷，不再思索界面上的电荷分布。一旦思索了假想电荷，不再思索界面上的电荷分布。d坐标系选择依然根据边境外形来定。坐标系选择依然根据

39、边境外形来定。四、运用举例四、运用举例 距无限大接地平面导体板距无限大接地平面导体板a处处有一点电荷有一点电荷Q，求空间电势。，求空间电势。QQ/Pzrra0解：根据独一性定理左半空间解：根据独一性定理左半空间右半空间，右半空间，Q在在0，0，a点，点，电势满足泊松方程。电势满足泊松方程。边境上边境上00z从物理问题的对称性和边境条件思索，假想电荷应在左从物理问题的对称性和边境条件思索，假想电荷应在左半空间半空间 z 轴上。轴上。Q设电量为设电量为a，位置为0，0， )()(412222220azyxQazyxQ22222200ayxQayxQz由边境条件确定由边境条件确定Qa和和、由于像电荷

40、在左半空由于像电荷在左半空间，所以舍去正号解间，所以舍去正号解解为解为aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQa导面子上感应电荷分布导面子上感应电荷分布2/322200)(2ayxQazz讨论：讨论： 02/322)(22QQarrdrQadSQb电荷电荷Q 产生的电场的电力线终止于导面子上它与产生的电场的电力线终止于导面子上它与 无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半 空间完全一样。空间完全一样。 c 与与 位置对于导体板镜像对称，故这种方法称位置对于导体板镜像对称，故这种方法称 为镜像法又称电像法为镜像法又称电像法QQd导体对电

41、荷导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力222222000144(2 )16zzzQQQFeeeraa解：解：1分析：分析：因导体球接地故球的电势因导体球接地故球的电势为零。根据镜像法原那么为零。根据镜像法原那么假想电荷应在球内。因空假想电荷应在球内。因空间只需一个点电荷，场应间只需一个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷具有轴对称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上。应在轴线上，即极轴上。真空中有一半径真空中有一半径R0R0的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心 a R0 a R0 处有一处有一点电荷点电荷 Q Q，求空间各点电势。，求空间各点电势。410rQrQr r球坐标系球坐标系PROZQQcos222RaaRrcos2