人教版九年级数学上册《22-1-3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》导学案设计公开课

1、第二十二章二次函数22.1.3二次函数 y=a(xh)2+k 的图象和性质第 3 课时 二次函数 y=a(xh)2+k 的图象和性质学习目标：1.会用描点法画出 y=a(xh)2+k(a0)的图象.2. 掌握二次函数 y=a(xh)2+k(a0)的图象的性质并会应用.3. 理解二次函数 y=a(xh)2+k(a0)与 y=ax2(a0)之间的联系.重点：掌握二次函数 y=a(xh)2+k(a0)的图象的性质并会应用其解决问题.难点：理解二次函数 y=a(xh)2+k(a0)与 y=ax2(a0)之间的联系.自主学习一、知识链接1. 分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情

2、况. (1)y=ax2；(2)y=ax2+k；(3)y=a(xh)2.2. 二次函数 y=2x2+3 的图象和 y=2(x+2)2 的图象如何由函数 y=2x2 的图象平移得到？3. 请猜测一下，二次函数 y=2(x+2)2+3 的图象是否可以由 y=2x2 的图象平移得到？你认为该如何平移呢？课堂探究二、要点探究探究点 1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象和性质典例精析例 1(教材 P35 例 3)画出函数 y = - 1 (x + 1)2 - 1 的图象，并指出它的开口方向、对2称轴和顶点.试一试画出二次函数 y = 2(x +1)2 - 2 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点

3、.要点归纳：二次函数 y=a(xh)2+k(a0)的性质当 a0 时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为(h，k)， 当 x=h 时，y 有最小值为 k.当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；xh 时，y 随 x 的增大而增大.当 a0 时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线 x=h，顶点坐标为(h，k)， 当 x=h 时，y 有最大值为 k.当 xh 时，y 随 x 的增大而增大；xh 时，y 随 x 的增大而减小.例 2 二次函数 y-2(x+1)2-4，下列说法正确的是()A开口向上B对称轴为直线 x1C顶点坐标为(1，4)D当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大例

4、3已知抛物线 ya(x-3)2+2 经过点(1，-2)（1） 指出抛物线的对称轴；（2） 求 a 的值；（3） 若点 A(m，y1)、B(n，y2)(mn3)都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小探究点 2：二次函数 y=a(xh)2+k 与 y=ax2 的关系例 4怎样移动抛物线 y = - 1 x2 才可以得到抛物线 y = - 1 (x + 1)2 - 1 ？22要点归纳：二次函数 y=ax2 与 y=a(xh)2+k 的关系上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数 a 不变.例 5将抛物线 y=2x2 向左平移 4 个单位长度，再向

5、上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为（）A y=2(x-4)2-1B y=2(x+4)2+1C y=2(x-4)2+1 Dy=2(x+4)2-1变式训练将抛物线 y5(x-1)2+1 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）Ay5(x+2)2+3By5(x-4)21Cy5(x-4)2+3D y 5(x-3)2+4例 6 已知二次函数 ya(x1)2c 的图象如图所示，则一次函数 yaxc 的大致图象可能是( )例 7 (教材 P36 例 4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中

6、心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长?三、课堂小结二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象和性质图象的特点当 a>0，开口向上；当 a<0，开口向下.对称轴是 x=h，顶点坐标是(h，k).平移规律左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.当堂检测1. 完成下列表格.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y = 2(x + 3)2 + 5y = -3(x - 1)2 - 2y = 4(x - 3)2 + 7y = -5(2 - x)2 - 62. 把抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，那么所得抛物线

7、是 .3. 抛物线 y=3x2+2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 .4.已知函数 y-(x-4)2-1.(1) 指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ；(2) 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；(3) 怎样移动抛物线 yx2 就可以得到抛物线 y-(x-4)2-1.5.已知二次函数 ya(x1)24 的图象经过点(3，0)(1) 求 a 的值；(2) 若 A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当 y1y2 时，求 m、n 之间的数量关系参考答案自主学习知识链接1.(1)对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，0）,

8、当 a0 时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为 0），当 x<0 时，y 随 x 增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 增大而增大.当 a0 时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为 0），当 x<0 时，y 随 x增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 增大而减小.（2） 对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，k）,当 a0 时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为 k），当 x<0 时，y 随 x 增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 增大而增大.当 a0 时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为 k），当 x<0 时，y 随x 增大而增大；当

9、 x>0 时，y 随 x 增大而减小.(3) 对称轴为直线 x=h，顶点坐标为（h，0）,当 a0 时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为 0），当 x<h 时，y 随 x 增大而减小；当 x>h 时，y 随 x 增大而增大.当 a0 时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为 0），当 x<h 时，y 随 x 增大而增大；当 x>h 时，y 随 x 增大而减小.2. 把 y=-2x2 的图象向上平移 3 个单位,得到 y=2x2+3 的图象，把 y=-2x2 的图象向左平移 2 个单位,得到 y=2(x+2)2 的图象.3. 可以，将 y=-2x2 的图象向上平

10、移 3 个单位，再向左平移 2 个单位（或向左平移2 个单位，再向上平移 3 个单位）. 课堂探究二、要点探究探究点 1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象和性质典例精析例 1列表如下：x-4-3-2-1012y= - 1 (x+1)2-2- 112-3- 32-1- 32-3- 1121描点、连线如图所示，开口方向向下；对称轴是直线 x=-1；顶点坐标是(-1，-1).图图试一试解：函数 y=2(x+1)2-2 图象如图所示.开口方向向下；对称轴是直线 x=-1;顶点坐标是(-1,-2).例 2 D例 3 解：（1）由 ya(x-3)2+2 可知顶点为（3，2），对称轴为直线 x3.（2

11、）抛物线 ya(x-3)2+2 经过点（1，-2），-2a（1-3）2+2，a-1.（3） y-(x-3)2+2，此函数的图象开口向下，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，点 A(m，y1)，(n，y2)(mn3)都在该抛物线上，y1y2探究点 2：二次函数 y=a(xh)2+k 与 y=ax2 的关系例 4 解：方法一：抛物线向下平移 1 个单位，再向左平移 1 个单位；方法二：抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位； 例 5B变式 C例 6A例 7 解：如图建立直角坐标系，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函

12、数是 y=a(x1)23 (0x3).这段抛物线经过点(3,0)， 0=a(31)23.解得 a= - 3 .因此抛物线的解析式为 y= - 3 (x1)23 (0x3)当 x=0 时，44y=2.25.答:水管长应为 2.25m.当堂检测1.填表如下：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y = 2(x + 3)2 + 5向上直线 x=-3(-3，5)y = -3(x - 1)2 - 2向下直线 x=1(1，-2)y = 4(x - 3)2 + 7向上直线 x=3(3，7)y = -5(2 - x)2 - 6向下直线 x=2(2，-6)2. y = -3( x -1)2 + 23. y = - 3 (x - 2)2 + 34.(1)向下直线 x=4(4，-1)(2)4（3）解：将抛物线 y-x2 向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度就可以得到抛物线 y