中学数学论文：数形结合思想

1、数形结合思想武汉市第二十三中学孙珊关键词：数学思想数形结合一 .思想方法介绍：数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图象有机结合起来思索，促使

2、抽象思维和形象思维的和谐复合， 通过对规范图形或示 意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1.数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、 复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念， 如复数、三角函数等；所给的等式或代

3、数式的结构含有明显的几何意义。如等式（x 2）2 （y 1）24（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化 .例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22百b cos （60或 120）与余弦定理沟通，将a>b>c> 0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通， 将有序实数对 （或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基

4、于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。2.数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析， 又要进行代数抽象的探索， 两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候， 若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的

5、问题简单化。(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问题运用 几何方法，几何问题寻找代数方法。二.解题研究：题型1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题例 1. (1) (2003 上海春，5)已知集合 A=xR|W2, xC R, B= x|x> a,且 降 B,则 实数a的取值范围是.I是全集，M、P、S是I的3)B. (MAP) U SD. (MAP) U C iS图11(2) (1999全国，1)如图所示, 个子集，则阴影部分所表示的集合是(A. (MAP)

6、n SC. (MAP) n CiS解析：(1) aw 2;MAP的子集B,利用数轴. A=x| 2<x<2, B=x|x>a,又 A 上覆盖关系，因此有a<- 2.(2) C;由图知阴影部分表示的集合是且是CiS的子集，故答案为C。点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。一、a, a b 一，一例 2. (06 浙江卷)对 a,b R,记 max|a,b|=函数 f (x) = max|x+1|,|x 21Kx R)的取b, a< b小值是。解析：由 xl|x2 x 1 2 x 2 2 x -1 ,|x 1 x -故f Y2 ,其图象如右，x1x

7、 2 x -2一113则 4所x f-1-o222点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良 好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值 不等式，中档题，借形言数。题型2:解决方程、不等式问题例3.若方程lg x2 3x m lg 3 x在x 0, 3内有唯一解，求实数 m的取 值范围。2解析：（1）原方程可化为x 21 m 0 x 32设 yix 210x3, y2m在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0, 3）内有唯一解，知yi与y-7 -的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是 1 m 0或m 1。2222例 4.已知 u 1, v 1 且 loga u loga vlog

8、a auloga av a 1 ,求log a uv的最大值和最小值。解析：令 x loga u, y log a v ,则已知式可化为 x 1 2 y 1 24 x 0,y0 ,再设t loga uvx y x0, y 0,由图3可见，则当线段y x t22x 0, y 0与圆弧 x 1 y 14 x 0, y 0相切时，截距 t取最大值tmax 2 2J2 （如图3中CD位置）；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin 1 J3（如图中AB位置）。因此loga（uv）的最大值是2 2册,最小值是1 J3 。点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提

9、高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型3:解决三角函数、平面向量问题例5. （06江苏卷）为了得到函数y 2sin x, x R的图像上所有的点（y 2 sin（ ）, x R的图像，只需把函数36）（A）向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6（B）向右平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6（C）向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的61倍（纵坐标不变）31倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）解析： 本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种

10、类型。先将y 2sin x,x R的图象向左平移一个单位长度，得到函数6y 2sin（x -）, x R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 y 2sin（- ）,x R的图像，选择Co 36点评：由函数y sin x, x R的图象经过变换得到函数y Asin（ x ）, x R （1）y=Asinx , x R（A>0且A 1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍得到的；（2）函数y=sinx, x R （ co >0 Heo 1）的图象，可看作把 正弦曲线上所有点的横坐标

11、缩短 （co>1）或伸长（0<<1）到原来的 二倍（纵坐标不变）；（3）函数y=sin（x+）, xC R（其中w。）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当 >0时）或向右（当 0时=平行移动| I个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”），可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把 x前面的系数提取出来。例6. （06湖南卷）如图，OM/ AB,点P 在由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且Op xOa yoB则x的取值范围1,八一是;当x 1时，y的取值范围2是。解析：如图，

12、OMAB,点P在由射线OM ,线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB ,由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，x的取值范围是（一8, 0）;1 13当x3时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD= 2 OB, CEmOB,y的取值范围是（:，3）。22点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。题型4:解析几何问题X 1,例7. （1） （06湖南卷）已知 x y 1 0,则x2 y2的最小值是 ；2x y 2 0（2）

13、 （06全国II）过点（1, V）的直线l将圆（x2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所 对的圆心角最小时，直线 l的斜率k=。x 1解析：（1）由x y 1 0 ,画出可行域，得交点 A（1 , 2）, B（3, 4）,则x2 y2的2x y 2 0最小值是5。（2）（数形结合）由图形可知点A（1,J2）在圆（x 2）2 y2 4的内部，圆心为O（2,0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l OA 所以K _±' 史。'koA.22最终借助图形的性质点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问

14、题,往往要转化为点到线的距离问题来解决。例8. （06上海卷）若曲线y2=|x|+1与直线y = kx + b没有公共点，则k、 b分别应满足的条件 是。x 1,x 0解析：作出函数 y2 |x| 1的图象，如x 1,x 0右图所示：所以，k 0,b （ 1,1）；点评：对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题，借数言形是常用的方法，可以通过斜率处理垂直、夹角等问题，等题型5：导数问题例9. （06天津卷）函数f（x）的定义域为开区间（a,b）,导函数f （x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f （x）在开区间（a,b）内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个解析：函数f（x）的

15、定义域为开区间（a,b）,导函数f （x）在（a,b）内的图象如图所示,函数f（x）在开区间（a,b）内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。题型6:平面几何问题A的平分线AD的长。解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点A, B,C ,画出ABC的例 10.已知 ABC三顶点是 A(4,1), B(7,5), C( 4,7),求-9 -,通过数量关系证明或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：(1)；(2)BAD CAD 45 ;(3)CD 2DB, (4)ABC 2

16、 ACB 60 等等。证明: A(4,1), B(7,5), C( 4,7) . . AB(3,4), AC8,6) , AB 5, AC10AB3 8 4 6 0AD 是A的平分线;YDBTBADCAD 45 ,. , CD ACDB AB1052(角边及其 A的平分线AD o （如图）第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性）平分线定理）. (3)CD2DB, tan ABC tan 602,D 作 DE AB , （4） ABC 2 ACB 60 不正确，第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点交AB于点E ,则有 BDE s BCA或DE110-AC 一等等

17、。又在33Rt ADE 中，（可以口答出)AD|;2 DE|10-2-o3点评：数形结合的基础是作图要基本准确, 的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系!切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性,例 11.已知 A= (x,y)|x| w 1y| WR ,B= (x,y)|(xa )2+(y a )2<i, a e r若 aabw ,则 a 的取值范围是解析：如图，集合 a所表示的点为正方形PQRS的内部及其边界，集合 B所表示的点为以C（a,a）为圆心，以1为半径的圆的内部及其边 界.而圆心 c（

18、 a ,a）在直线y=x上，故要使是很失败的。1/xQ 2S / "4'AABw ,则1 ,2 a 1为所求。点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照 这样的思路直接求出实数 a的取值范围.三.思维总结从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法， 我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分 利用之上即可。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域,最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径， 而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。