立体几何题型解题技巧适合总结提高用

1、第六讲立体几何新题型的解题技巧考点1点到平面的距离例1 (2007年福建卷理)如图,正三棱柱 ABC AlBlCl的所有棱长都为2, D为CG中点(I )求证：AB1 ±平面A BD ；(II)求二面角 A A1D B的大小;(出)求点C到平面ABD的距离.ADBPDC例2.( 2006 年湖南卷)如图,两个正四棱锥P-ABCD与QABCD勺高分别为1和2, AB=4.(I )证实PQL平面ABCD(n )求异面直线AQ与PB所成的角;(出)求点P到平面 QAM距离.考点2异面直线的距离例3三棱锥 S ABC,底面是边长为 4、SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为B CD与SE间

2、的距离.,''2的正三角形,棱建C、AB的中点,求C也考点3直线到平面的距离例4.如图,在棱长为2的正方体AC4,G是AA的中点,求BCgiJ平面GB1D1的距离.AiBiDiCi考点4异面直线所成的角例5 (2007年北京卷文)如图,在RtAOB中, 0AB斜边AB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B AO (I )求证：平面COD 平面AOB； (II )求异面直线 AO与CD所成角的大小.4 . RtAAOC 可以通过 RtAAOBC的直二面角.D是AB的中点.C底面 ABCD. / ABC 45°,例6. (2006年广东卷)如下图, AR DE分别是.O的直径

3、.AD与两圆所在的平面均垂直,AD= 8,BC是.的直径,AB= AC= 6, OE/ AD(I )求二面角B- AD- F的大小；(n )求直线BD与EF所成的角.考点5直线和平面所成的角 例7. (2007年全国卷I理)四棱锥S ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面 SBCAB 2, BC 2霹,SA SB 省.(I )证实 SA BC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考点6二面角例8. (2007年湖南卷文)如图,直二面角PQ , A PQ , B , C , CA CB , BAP 45°,直线CA和平面 所成的角为30°.(I )证实 BC &#

4、177; PQ ;(II )求二面角B AC P的大小.例9. ( 2006 年重庆卷)如图,在四棱锥 P ABCD中,PA 底面 ABCD DAB为直角,AB| CD AD=CD=2AB E、F 分别为 PC CD的 中点.(I )试证：CD平面BEF;(n)设PA= kAB且二面角 EBDC的平面角大于30,求k的取 值范围.考点7利用空间向量求空间距离和角例10. (2007年江苏卷)如图, ABCD AB1cl口是棱长为3的正方体,点 E 在 AA1上,点 F 在 CC1上,且 AE FC1 1.(1)求证：E, B, F, D1四点共面；2(2)假设点G在BC上,BG ,点M在BB1

5、上,3GM ± BF ,垂足为H ,求证：EM,平面BCCg ；(3)用 表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小,求 tanC例11. 2006年全国I卷如图,l 1、12是互相垂直的两条异面直线,MN它们的公垂线段,点 A、B在li 上,C在 12上,AM=MB=MNI 证实 AC NBII 假设 ACB 60 ,求NB平面ABO成角的余弦值.考点8简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断例12 .如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正

6、六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.例13 .如图左,在正三角形 ABC, D E、F分别为各边的中点, G H I、J分别为AF、AD BEDE的中点,将4ABC沿DE EF DF折成三棱锥后,GHW IJ所成角的度数为A、90°例14.长方体ABCD-ABCD中,设对角线DB与自D出发的三条棱分别成 求证：cos2 a + cos2 B + cos2 =1角,求证:设DB与自D出发的三个面成a、cos 2 a + cos2 3 + cos2 = 2考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 例 15.如图,在三棱柱 ABC- AiBG 中,AB= <2

7、a, BC= CA= AA= a,A在底面4 ABC±的射影O在AC上求AB与侧面AC所成角； 假设O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积例16.等边三角形 ABC勺边长为4, M N分别为AB AC的 中点,沿MNWAMNf起,使得面 AMNf面MNC断成的二面角 为30° ,那么四棱锥 A MNC的体积为 AB= 3, ADA、3B、3C 322例17.如图,四棱锥 P ABC用,底面是一个矩形,=1,又 P儿AB PA= 4, / PAD= 60°求四棱锥的体积； 求二面角P- BO D的大小.例18 . 2006年全国卷H 圆O是半径为小圆,且圆 O的面积

8、与球 O的外表积的比值为与R的比值为【专题练习与高考预测】一、选择题I .如图,在正三棱柱 ABGABC中, AB=1, D在BB上,且BD=1,假设ADW侧面AACC所成的角为,那么 的值为A. 一310C. arctan4B.D.arcsin 一42.直线a与平面 成 角,a是平面 的斜线,b是平面 内与a异面的任意直线,那么 a与b所成的角A. 最小值,最大值B.最小值C.最小值,无最大值D.无最小值,最大值3.在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角,那么此直线与二面角的另一平面所成的角为A. 30 B. 45C.60D.904.如图,直平行六面体 ABCDAiBCD

9、的棱长均为2,BAD 60 ,那么对角线的角的正弦值为AC与侧面DCCD所成A. 12B.32C 2 口.2D.5.在 ABC中,AB=9,AC=15,BAC 120 ,它所在平面外一点 P到 ABC三顶点的距离都是 A. 136.如图,在棱长为 AB、AD的中点,14,那么点B. 113的正方体那么点A.B.C.6.55D.7.将QMNP到平面 ABC的距离为C. 9D. 7ABCDABCD中,M N分别是棱B到平面AMN勺距离是60 ,边长MNa的菱形MNPQ对角线N的成60的二面角,那么MFPf NQ用的距离等于A.旧a2B.3a C.4D.8.二面角 l的平面角为120 ,内,ABCH

10、3, BD=1, M是l上的一个动点,那么AMCM勺最小值为A. 2 5 B.C.9.空间四点 A B、C、D中,每两点所连线段的长都等于 线段CD上,那么P与Q的最短距离为a,A. 1a2B.二 a C.23a210.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为B, AB=2,在内,CDl于D,D.2,6动点P在线段AB上,动点Q在D.a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住不能裁剪纸,但可以折叠,那么包装纸的最小边长应为A. ( . 2. 6)a B.aC. (1. 3)a D.II .长方体 ABCCABGD中,AA=AB=2,假设棱AB上存在点P,使D1P PC ,那么棱AD的长的取值范围是

11、A. 0,1B.0, , 2 C.0.2D.1, 212.将正方形定不等于A.ABC评对角线30A%起,使点D在平面AB/卜,B. 45C.那么DB与平面ABC所成的角60 D.二、填空题901.如图,正方体 ABCDABCD的棱长为1, E是AiBi的中 点,那么以下四个命题：_ 1E到平面ABCD的距离是-;2直线BC与平面ABCD所成角等于45 ;空间四边形ABC拉正方体六个面内的射影围成1面积取小值为一；2AiE 一 .DCi2.3.4.5.BE与CD所成的角为 10 arcsin10如图,在四棱柱 ABCD- ABGD中,P是AG上的动点,E为CD上的动点,四边形 ABCD!时,体积

12、VP aeb恒为定值写上你认为正确的一个答案即可边长为1的等边三角形 折起,使得折后二面角 BC的距离为为.ABC3,沿BC边高线ADBAD C为60° ,那么点A到 ,点D到平面ABC勺距离在水平横梁上 A B两点处各挂长为 50cm的细绳,AM BN AB的长度为60cm,在MNb挂长为60cm 的木条,MNF行于横梁,木条的中点为 Q假设木条 绕过O的铅垂线旋转60.,那么木条比原来升高了多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧,正方体上与顶点 A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个,那么

13、3;4;5;6;7.以上结论正确的为写出所有正确结论的编号 P到平面的距离可能是:6.如图,棱长为 1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径) O、O、Q它们分别是所在面的中央.如果恰当放置容?O?O?O器,容器存水的最大容积是三、解做题m3.11 . 在正二棱枉 ABC-AB1C1中,底面边长为 a,D为BC为中点,M在BB上,且 BM= BM,又 CML AC;(1)(2)求证：CML CD;求AA的长.3(1)求F在何处时,EFL平面PBC2 .如图,在四麴隹P-ABCD中,底面是矩形且 AD=2 AB=PAV2 ,PA1底面 ABCD E是AD的中点,F在PC上.(2)在(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段.假设是,求 出公垂线段的长度；假设不是,说明理由； 在 的条件下,求直线 BD与平面BEF所成的角.3 .如图,四棱锥 S ABCD勺底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面 ABCD SB=J3 .(1)求证 BC SC;(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的4 .在直角梯形 ABCD中, D= BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如图一)将 ADC沿 AC折起,使