16.3　角的平分线

1、第十六章第十六章 轴对称和中心对称轴对称和中心对称 学习新知学习新知检测反馈检测反馈16.3角的平分线角的平分线八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 冀教冀教 学学 习习 新新 知知. 在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路BC,铁路BD的距离均为350米,又测得CBD=60.你能在图中确定出蓝方指挥部的位置吗?(比例尺为1 20000) 问题思考问题思考活动一活动一:角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理 按下图所示的过程，将你画出的AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于

2、点P；将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在角平分线上；）点在角平分线上；（3）垂直距离）垂直距离.定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线，的平分线，AOBOAPD OBPE PD = PE. （在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等到这个角的两边的距离相等.）推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。已

3、知：如图所示，已知：如图所示，OC是是 的平分线，的平分线，P是是OC上任意一点，上任意一点， ， ，垂足分别为，垂足分别为D，E 。求证：。求证：PD=PE. OAPD OBPE AOB 已知：如图，已知：如图， ， ， 垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上的角平分线上.AOB OAPD OBPE 证明： 作射线OP, 在 RtPDO 和RtPEO 中，（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边公共边）PD = PE （ 已已 知知 ）BADOPEOAPD OBPE PEORt PDORt （ HL）BOPAOP 90PEOPDO点点P在

4、在 角的平分线上角的平分线上AOB (补充例题)如图所示，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 解析解析因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF，PD=PE=PF,即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.知识拓展知识拓展利用角的平分线的性质可直接推导

5、出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.知识拓展知识拓展(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二活动二:角平分线的画法角平分线的画法3.作射线OC,则OC为所要求作的AOB的平分线.1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E.2.分别以点D，E为圆心,适当长为半径，在AOB的内部画弧，两弧相交于点C.D

6、EC3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).课堂小结课堂小结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等. 检测反馈检测反馈1.如图所示，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，S

7、ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 () 1212解析解析: :过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB,DE=DF，SABC=SABD+SACD， 42+ AC2=7，解得AC=3.故选A.A2.如图所示,OP平分AOB，PAOA，PBOB,垂足分别为A，B，连接AB.下列结论中不一定成立的是() A.PA=PBB.PO平分APBC.OA=OBD.AB平分OP解析:OP平分AOB，PAOA，PBOB,PA=PB，OPA OPB，APO=BPO，OA=OB，A,B,C正确.设PO与AB相交于E.OA=OB，AOP=BOP,OE=OE，AOE BOE，AEO=BEO=90，OP垂直于AB,而不能得到AB平分OP，故D不一定成立.故选D.D3.如图所示,在ABC中，角平分线AD，BE相交于O点，连接CO,则下列结论成立的是() A.CEO CDO B.OE=ODC.CO平分ACB D.OC=OD解析解析:角平分线AD，BE相交于O点，CO平分ACB.故选C.C4.如图所示,ABC中，C=90，AM平分CAB，BC=16 cm,CM MB=3 5，求点M到AB的距离. 解析解析:过点M作MDAB于D，先求出CM