多元函数的基本概念

1、主要内容主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极限运算极限运算多元连续函多元连续函数的性质数的性质多元函数概念多元函数概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念（1 1）邻域）邻域回忆回忆。且且是是两两个个实实数数与与设设0, a,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 ),( axxaU的的称称为为点点数数集集aaxx ,邻邻域域 ),( aU记作记作),( axaxaU) ,( aaxa a a设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正 数数，与与点点),(0

2、00yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全 体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU， （1 1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),( 2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 :)( 00PUP 的去心邻域的去心邻域点点 .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxPU（2 2）区域）区域的的为为则称则称，的某一邻域的某一邻域个点如果存在点个点如果存在点是平面上的一是平面上的一是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE )(.EE 的内点属于的内点属于EP 为为的的点点都都是是内内点点，

3、则则称称如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为即为开集开集内点内点.内点：内点：开集：开集：开集开集.的的为为），则称），则称，也可以不属于，也可以不属于属于属于本身可以本身可以点点的点的点点，也有不属于点，也有不属于的的于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEP ( EP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE是是，则称开集，则称开集于于都属都属起来，且该折线上的点起来，且该折线上的点连结连结任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 边界点：边界点：边界点边界点.连通：连通：连通

4、的连通的.开区域：开区域：连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. . .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo闭区域：闭区域：对于点集对于点集 E，如果存在正数，如果存在正数 K，使一切点，使一切点 PE 与某一点与某一点 A 间的距离间的距离 |AP| 不超过不超过 K，即，即KAP 对于一切点对于一切点 PE 成立，则称成立，则称 E 为为有界点集有界点集。否则称为否则称为无界点集无界点集.0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域

5、例如，例如，41| ),(22 yxyxxyo（3 3）聚点）聚点设设 E是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的一个是平面上的一个 点，如果点点，如果点 P的任何一个邻域内总有无限多个的任何一个邻域内总有无限多个 点属于点集点属于点集 E，则称，则称 P为为 E 的的聚点聚点. . （1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点补充补充（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例

6、如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4 4）n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点. 数组数组 (x, y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应R平面点平面点(x, y) 全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组数组 (x, y, z)一一对应一一对应空间点空间点(x, y, z) 全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)3R推广推广：n 维数组维数组 (x1, x2, , xn) 全体称为全体称为 n 维

7、空间维空间，记为，记为.nRn 维空间中两点间维空间中两点间距离公式距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 设两点为设两点为特殊地，当特殊地，当 n = =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离点间的距离n 维空间中维空间中邻域邻域概念：概念： .,| ),(00nRPPPPPU 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义（5 5）二元函数的定义）二元函数的定义回忆回忆y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称按照一定法则总有确定的数值和它对应，

8、则称 y 是是 设设x和和y是两个变量。是两个变量。D是一个给定是一个给定 的的数集数集，若对于每个数，若对于每个数Dx ，变量，变量 ).(xfy x 的的函数函数，记作，记作 ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域定义域，- 值域值域.x、y -自变量自变量，z -因变量因变量.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. . 对对应应地地，函函数数)(xfy 称称为为一一元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定定义义 1 1 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 DyxP ),(，

9、变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域定义域，- 值域值域.x、y -自变量自变量，z -因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的函数的两个要素两个要素: :定义域、对应法则定义域、对应法则. .与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有

10、意义的一切点集. .例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （6 6）二元函数）二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz . . 以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空 间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当),(yx取取遍遍D上上一一切切 点点时时，得得一一个个空空间

11、间点点集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. . （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. .xyzsin 例如例如, ,图形如右图图形如右图. .2222azyx 例如例如, ,右图球面右图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :xyzo二、多元函数的极限二、多元函数的极限n元函数的极限元函数的极限 利用点函数的形式有利用点函数的形式有说明：说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2）二元函数

12、的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似说明：说明：（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义： 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于例例2 2 求证求证 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22

13、yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立例例2. 设设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证注意注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0 .0PP ,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0AxfPP . )() (

14、0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿平行沿平行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky (1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2) (2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可

15、断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：例例3 3 设设解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值随其值随 k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(lim00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx例例4 4 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(

16、lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 例例5 5 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性设

17、设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0, PD是是其其聚聚 点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称n元元 函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续. . 定义定义3 3(1) 函数函数),(yxf在在),(000yxP点有定义；点有定义； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 。 则称函数则称函数),(yxf在点在点),(000yxP连续连续. . 定义定义33设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在点在点 0P处不连续，则称处不连续，则称0P

18、是函数是函数)(Pf的的间断点间断点. . 注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。例如，例如， . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf. )0 , 0(是是间间断断点点.),(2xyxyyxf 时，时，当当 2xy . ),(无定义无定义yxf因此，因此，的间断点。的间断点。上的所有点均是上的所有点均是 ),( 2yxfxy 多元初等函数多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“