人教版七年级数学上册同步压轴题专题02数轴上的三种动点问题(学生版+解析)

专题02数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型(求时间、求距离或者对应点、定值问题)做出详细分析与梳理。【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求值(速度、时间、距离)例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；(1)点A表示的数为；点B表示的数为；(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离(用t表示)．例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒．(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度．(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度．【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．(1)点表示的数是______，点表示的数是______．(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为()秒．①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；②当时，点、之间的距离为______；③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点(点A在数轴的正半轴)，，N为AB的中点，且点N表示的数为2．(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值．类型二、定值问题例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．

①t秒钟过后，AC的长度为(用含t的关系式表示)；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒．(1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；(用含t的代数式表示)(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度；【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．类型三、点之间的位置关系问题例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系(写出过程)．例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+(c﹣9)2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝，b＝；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t＞0)秒．①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示)；②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5，点B表示的数为13，点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上(点M在点N的左边)．(1)求线段AB中点表示的数；(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；(3)如图3：在(2)的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是的优点．例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的优点．(1)在图1中，点C是的优点，也是(A，_____________)的优点；点D是的优点，也是(B，_____________)的优点；(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数所表示的点是的优点，求的值；(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．专题02数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型(求时间、求距离或者对应点、定值问题)做出详细分析与梳理。【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大(增加)，向左移动数变小(减小)；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求值(速度、时间、距离)例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足＋＝0；(1)点A表示的数为；点B表示的数为；(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离(用t表示)．【答案】(1)-2；6；(2)或14(3)甲球与原点的距离为：t+2；当时，乙球到原点的距离为；当时，乙球到原点的距离为【解析】(1)解：∵|a+2|+|b−6|=0，∴a+2=0，b−6=0，解得，a=−2，b=6，∴点A表示的数为−2，点B表示的数为6．故答案为：−2；6．(2)设数轴上点C表示的数为c，∵AC=2BC，∴|c−a|=2|c−b|，即|c+2|=2|c−6|，∵AC=2BC>BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上，①当C点在线段AB上时，则有−2⩽c⩽6，得c+2=2(6−c)，解得：c=；②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6，得c+2=2(c−6)，解得c=14，故当AC=2BC时，c=或c=14；故答案为：或14．(3)∵甲球运动的路程为：1⋅t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；乙球到原点的距离分两种情况：当0<t⩽3时，乙球从点B处开始向左运动，直到原点O，∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅t=2t，乙到原点的距离：6−2t(0⩽t⩽3)；②当t>3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−6(t>3)．例2．如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒．(1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度．(2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度．【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)个单位/秒【解析】(1)解：B点的运动速度为：=1个单位/秒．(2)∵OA+OB=8+4=12＞8，且A点运动速度大于B点的速度，∴分两种情况，①当点B在点A的右侧时，运动时间为=4秒．②当点A在点B的右侧时，运动时间为=20秒，综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；(3)设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知8+(2-x)×t=[4+(x-1)×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x=，故C点的运动速度为个单位/秒．【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．【解析】(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，AO段时间为＝5，OB段时间为=10，BC段时间为=4，∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19(秒)，答：动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，∴P、Q两点在OB段相遇，设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，依题意得：3+y+2y=10，解得：y=，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+=(秒)，此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=；答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．【变式训练2】如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．(1)点表示的数是______，点表示的数是______．(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为()秒．①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；②当时，点、之间的距离为______；③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．【答案】(1)，6；(2)①，；②7；③；④t的值为或10【解析】(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，∴A点表示的数，4-8=-4；C点在B点右边，BC=2，∴C点表示的数为：4+2=6；(2)解：①P点向右运动，∴P点表示的数为-4+2t；Q点向左运动，∴Q点表示的数为6-t；②t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-(-2)=7；③∵Q点在右，P点在左，∴两点距离=6-t-(-4+2t)=10-3t，④当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=，当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-(6-t)，解得：t=10，∴t的值为或10；【变式训练3】如图，点A、B为数轴上的点(点A在数轴的正半轴)，，N为AB的中点，且点N表示的数为2．(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；(2)点M为数轴上一动点，点C是AM的中点，若，求点M表示的数，并画出点M的位置；(3)点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒．在运动过程中，点P、Q之间的距离为3时，求运动时间t的值．【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．【解析】(1)解：∵，N为AB的中点，∴AN＝BN＝AB＝4∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧∴点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2，故答案为：6，﹣2(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示，∵C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴点M表示的数是6＋2＝8；当点M在点A的左侧时，如图2所示，∵C是AM的中点，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4；(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7，∴点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒．类型二、定值问题例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．

①t秒钟过后，AC的长度为(用含t的关系式表示)；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2【解析】(1)解：由题意得，单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1，多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；

故答案为：-1，1，5(2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；故答案为：6＋4t②∵BC＝5＋3t-(1＋t)＝4＋2t，AB＝1＋t-(-1-t)＝2＋2t；∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___(用含t的代数式表示)；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q；(3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析．【解析】(1)解：∵点A表示的数为12，B在A点左边，AB=20，∴点B表示的数是12-20=-8，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t(t＞0)秒，∴点P表示的数是12-5t．故答案为：-8，12-5t；(2)解：设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是-8-3t，根据题意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10，∴点P运动10秒时追上点Q；(3)解：线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：∵点A表示的数为12，点P表示的数是12-5t，M为AP的中点，∴M表示的数是，∵点B表示的数是-8，点P表示的数是12-5t，N为PB的中点，∴N表示的数是，∴MN=(12-t)-(2-t)=10．【变式训练2】如图，已知数轴上点A表示的数为9，B是数轴负方向上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒．(1)数轴上点B表示的数为_____，点P表示的数为________；(用含t的代数式表示)(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问t为何值时，点P追上点Q？此时P点表示的数是多少？(3)若点M是线段的中点，点N是线段的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度；【答案】(1)，；(2)－16；(3)不发生变化，【解析】(1)解：∵数轴上点A表示的数为8，且AB=14，∴点B表示的数为−6，点P表示的数为，故答案为：，．(2)解：设点P运动t秒时，在点C处追上点Q，如图，则，因为，所以．解得．

所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q．当时，．此时P点表示的数是．(3)解：不发生变化．理由是：因为M是线段的中点，N是线段的中点，所以．分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时，如图所示，所以．

②当点P运动到点B的左侧时，如图所示，所以．

综上所述，线段的长度不发生变化，其值为．【变式训练3】点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．(1)如图1，求线段AB的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4；(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析(3)结论①正确，=2【解析】(1)解：∵|a+1|+(b-3)2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，∴AB=|-1-3|=4．答：AB的长为4；(2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5，令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．①当m≤-1时，-m-1+3-m=5，m=-1.5；②当-1＜m≤3时，m+1+3-m=5，(舍去)；③当m＞3时，m+1+m-3=5，m=3.5．∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，；(3)解：设P点所表示的数为n，∴PA=n+1，PB=n-3．∵PA的中点为M，∴PM=PA=．∵N为PB的四等分点且靠近于B点，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2(不变)，②PM+BN=+×=(随点P的变化而变化)，∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．类型三、点之间的位置关系问题例1．如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系(写出过程)．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=(AQ+BP-PQ)-PQ=AB-PQ=(12-PQ)，即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+(c﹣9)2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝，b＝；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)或1或或；(3)1，，，8．【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+(c﹣9)2＝0，∴|a+3|=0，(c﹣9)2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1，∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：由B到A时：x=1÷3=，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=，由C到B时：x=23÷3=；故x的值为:或1或或．(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1(0≤t＜)，当P点由A到C运动时P=﹣3＋(3t－2)=3t－5(≤t＜)，当P点由C到B运动时P=9－(3t－14)=﹣3t＋23(≤t≤8)，当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，PM相遇时3t＋4t=2，t=，MN相遇时4t＋5t=12，t=，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=，0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(﹣3t－1)解得t=﹣舍去；＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2(4t－3)解得t=舍去；≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2(4t－3)解得t=1；＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2(﹣5t＋9)解得t=；＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(3t－5)解得t=；≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2(﹣3t＋23)解得t=8；故t的值为：1，，，8．【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t(t＞0)秒．①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示)；②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．【答案】(1)A点表示-10，B表示2，(2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或秒或20秒；【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∴B表示2，∵AB=12，∴A点表示-10；(2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∴P点表示的数为-10+6t，∵点M为AP的中点，∴点M表示的数为：(-10-10+6t)=-10+3t，∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，∴Q点表示的数为6+3t，∵点N为CQ，∴点N表示的数为：6+×(6+3t-6)=6+t，②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-(-10+3t)，解得：t=，当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-(-10+3t)