求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和 累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1 适用于：an 1 an f（n）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列an满足an

2、1 an 2n 1, & 1，求数列a.的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则an(an an 1 ) (an 1 an 2) L(a3 a2)(a2 aja12( n 1) 1 2( n 2) 1 L(2 21) (2 11) 12( n 1) (n 2) L 2 1(n 1) 12(n 1)n (n 1) 12(n 1)( n 1) 1n22 所以数列an的通项公式为an n。例2已知数列an满足an 1 an 231， a13，求数列an的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1an2 3n(anan 1 )(an

3、1(23n 11) (22(3n1 3n2 L23(1 3n1-(n1 33n3 n1 33nn 1an3nn1.an 13ann2 3i 1an21i 13n33n 1an 1)(an3an 1an212(3評(3 32(n1)(1 -33n31an2(n1) 33n32n1n 3321.已知数列an>n1解法二:因此练习所以anan2答案：n则聖则anan 2) L3n 2 1)c2 J、33 )1) 3L (2(n 1)n 11两边除以33nan 2)尹丿(an 2(尹13n 13n 1)的首项为练习2.已知数列an满足a1答案：裂项求和a?)321)(2aj31ai1) 3an

4、1得盯an 3)anX)3n2)123n2n且an 1an3 an an 133n，2n(n1n(n(n)写出数列an的通项公式2)，求此数列的通项公式评注：已知ai a ,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 an. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。、累乘法1适用于：an i f(n)an这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之2若an 1f(n)

5、，则电f，鱼 f(2)丄L ,也aia2anf (n)n两边分别相乘得，也 aif (k)aik i例4设an是首项为1的正项数列，且n 1 a2 1 najan 1 an0( n=1 , 2,3，),则它的通项公式是 an =解：已知等式可化为：(an 1an)(n1)an1nan0an 1nan 0 ( n*N )(n +1)an 1nan05即ann 1ann 1n 2时，an 1nan anan 1an 1a2an 1n21 11an 21a1=nn112 :=n评注：本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an 1的更为明显的关系式，从

6、而求出练习.已知(n 1)an 1nan, a11,求数列 a.的通项公式三、待定系数法适用于an 1 qanf（n）基本思路是转化为等差数列或等比数列, 个函数。而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一1形如 an 1 can d,(c0,其中aia)型例6已知数列an中，a11,a2an 11(n2），求数列 an的通项公式。解法一：Qan2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又 Q a1 12, an 1是首项为2,公比为2的等比数列nan 12,即 an 2n 1解法二：Q an 2an 11(n 2),an 1 2an两式相减得an1 an 2(an an 1)(

7、n2），故数列 an 1 an是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习.已知数列an中,ai2,an 112 '求通项an 。1、n 1答案：an (2)2 形如：an 1 P %qn（其中q是常数，且n 0,1）若p=1时，即：an 1annq，累加即可若P 1时，即： 1 Pan qnn 1a n 1FT3-即: pannqp（q）n,令bn 討则bn1 bn1 P n一（一）P q，然后类型1，累加求通项ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1n 1qan1nqqbn令nq ,则可化为bn 1 bqq 然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是

8、把所求数列构造成等差数列n 1/设 a n 1 qp (ann P ） 通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求p q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an 12an 4 3n1, a11，求数列 an的通项公式。解法一（待定系数法）:设ann /132(an3n1)比较系数得14, 22，则数列9n 4 3是首项为a11 14 31 15，公比为2的等比数列,n 1所以an 4 3n 15 2 ，即 4 3n 15 2n 1解法二（两边同除以n 1q ）:两边同时除以n 13 得:an 1尹2 a3 3n43，下面解法略解法三（两边同除以n 1p ）:两

9、边同时除以an 1*3形如an 1 Pankn b在数列%中,a11 an 1解:a n 1 3a n2n,2n1 得:an三刖，下面解法略（其中k,b是常数，且3an 2n，求通项ank 0)（逐项相减法）利用类型5的方法知bn 5 32即 1an5 3n1 15 n 115 n 11an3nan3n再由累加法可得22.亦可联立解出22*5.形如an 2 pan 1 qan时将an作为f (n)求解分析：原递推式可化为an 2an 1( P )(an 1an)的形式，比较系数可求得，数列an 1 an为等比数列。例11已知数列an满足务25an 1 6an, a11,a2求数列an的通项公式

10、。解：设an 2an 1(5)(an1 an)比较系数得2，不妨取2，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）贝y an 2 2an3(an 12an)则an 12an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2ann 14 3 ，所以an4 3n 15 2n 1练习数列 an中，若a18,恥2,且满足 an 2 4an 1 3an 0,求 an答案:an 113n四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1-,a1 1，求数列an的通项公式。an 2解：求倒数得1an 11 12anan 111an21an 1111为等差数列，首项 一1，公差为一, ana121 1an 尹 1)，an五、由和求通项2已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn 3n 2n,印 2求数列a.的通项公式。1例19已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn(a. 1)(an 2)，且a2,a4,a9成6等比数列，求数列an的通项公式。1解：对任意n N有Sn(an 1)(an 2)61当n=1时，S1 a1-(a1 1)(印2)，解得印1或印 261当 n>2 时，Sn 1 -(an 1 1)(am 2)6-整理得：(an an 1)(an an 1 3) 0 an各项均为正数， an an 1 3当a