工程力学课件(6)

1、12力的力的平衡平衡条件条件变形变形几何几何协调协调条件条件力与变力与变形间的形间的物理关物理关系系变形体力学变形体力学，研究主线，研究主线：。aaaAB12lD Dl2D Dl1 D Dl2 2=2=2D Dl1 1 ； 2)2): :3 D Dl2 2=2=2D Dl1 1 ； 2)2): :4常用拉伸试样常用拉伸试样(圆截面圆截面):标距长度标距长度： l =10d 或或5d 施加拉伸载荷施加拉伸载荷F，记录记录 FD Dl曲线曲线; 或或 (=F/A) (=D Dl /l )曲线。曲线。:dlFF opesybk颈缩颈缩k 弹性弹性 屈服屈服 强化强化 颈缩颈缩5167比例极限比例极限

2、 p： =E - 关系是线性、弹性的。关系是线性、弹性的。： E= / ： op段直线的段直线的 斜率，反映材料抵抗弹性变形的能力斜率，反映材料抵抗弹性变形的能力。弹性极限弹性极限 e：弹性，：弹性，pe段为段为非线性。非线性。 e与与 p数值相近。数值相近。 ： 材料是否出现塑性变形的重要强度指标。材料是否出现塑性变形的重要强度指标。 opesybkk ys p eE18osb1E应变硬化：应变硬化： ys bA1EAB 9%100001llln%100010AAA 5%, 如低碳钢、低合金钢、青铜等如低碳钢、低合金钢、青铜等： 5%, 如铸铁、硬质合金、石料等。如铸铁、硬质合金、石料等。

3、opesybk颈缩颈缩k 1A1A010：弹性模量弹性模量E: 材料抵抗材料抵抗弹性弹性变形的能力变形的能力屈服强度屈服强度 ys -材料发生屈服材料发生屈服极限强度极限强度 b -材料发生破坏材料发生破坏： 延伸率延伸率 和和/ /或或 面缩率面缩率 。 opesybkk ys bE111无无 ysys, 无颈缩，无颈缩， 强度指标强度指标 b。弹性阶段弹性阶段 - 间也可有非线性关系。间也可有非线性关系。可以没有屈服平台，可以没有屈服平台，名义屈服名义屈服强度强度 0.2为为产生产生0.2%塑性应变时的应力。塑性应变时的应力。(%) 0(MPa)10 20500200A3钢钢(Q235)1

4、6Mn 500 0(%)(MPa)20010.5灰铸铁灰铸铁玻璃钢玻璃钢 0(%)(MPa)20050020铝合金铝合金球墨铸铁球墨铸铁青铜青铜 0 0.20.2% p=1216Mn、A3钢钢 拉伸曲线拉伸曲线锰钢锰钢硬铝硬铝球铁球铁青铜青铜拉伸拉伸曲线曲线灰铸灰铸铁、铁、玻璃玻璃钢、钢、拉伸拉伸曲线曲线13 压缩与拉伸的压缩与拉伸的 - - 曲线曲线 关于原点对称。关于原点对称。 有基本相同的有基本相同的E、 ysys。 材料愈压愈扁，往往测材料愈压愈扁，往往测 不出抗压极限强度。不出抗压极限强度。： o ys(a)低碳钢低碳钢拉伸拉伸压缩压缩 yso(b)铸铁铸铁1415泊松效应泊松效应:

5、 :xyzLd16 D DV/V0=(1-2=(1-2 ) ) =(1-2=(1-2 ) ) / /E 当当 = =0.2%, = =0.3时时, , D DV/V0= =0.08%。塑性阶段，塑性阶段， 0.5，有，有D DV V0 0。弹性体积变化小弹性体积变化小塑性体积变化可忽略塑性体积变化可忽略a(1+ )c(1-mm)b(1-mm)x yz17解：杆的纵向应变为：解：杆的纵向应变为： 轴向轴向= =0.03/300=1 10-4 横向应变为：横向应变为： 横向横向=-=-0.0006/20=-3 10-5 18AF/)1ln(ln)ln(dd0000elllllllllD ： eSS

6、 )(2)(eee；一般工程问题：一般工程问题：eS =ln(1+e)=e-e2/2+e3 /3- 抗拉极限强度抗拉极限强度 bt。延性材料延性材料: 压缩与拉伸有基本相同的压缩与拉伸有基本相同的E、 ys。 材料沿加载方向伸长材料沿加载方向伸长/ /缩短的同时，缩短的同时， 在垂直于加载方向发生的缩短在垂直于加载方向发生的缩短/ /伸长现象。伸长现象。泊松效应泊松效应: :体积变化率体积变化率： D DV/V0=(1-2 ) ) 弹性体积变化很小弹性体积变化很小（ 1= = / /E； 2= = 3=-=-1）泊松比泊松比 : : =- 2/ 1.2122: =E ( b；或；或 ys) 研

7、究弹性、小变形问题。研究弹性、小变形问题。 0(MPa)20010.5灰铸铁灰铸铁玻璃钢玻璃钢 500(%) 0(%)(MPa)10 20500200低碳钢低碳钢16Mn ys或或 bo o23用于有明显屈服平台的材料，用于有明显屈服平台的材料， 研究弹塑性变形的问题研究弹塑性变形的问题。用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。 当当 0时，时， = ys( ( ys) )： 线弹性线弹性+理想塑性。理想塑性。

8、当当 ys 时时, =E 当当 ys 时时, = ys=E ys ( ( ys) ) 0(%)(MPa)10 20500200低碳钢低碳钢16Mn yso ys yso24K为强度系数，应力量纲；为强度系数，应力量纲；n为应变硬化指数。为应变硬化指数。综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料。弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。 =E 当当 ys 时；时； = ys+E1( - ys) 当当 ys 时。时。常数常数E、E1分别为分别为OA、AB的斜率。的斜率。 故有故有 ： 0(%)(MPa)20050020铝合金

9、球墨铸铁青铜 epAo yso11AB：25研究弹性变形问题，用研究弹性变形问题，用 或或 模型？模型？线弹性线弹性非线性弹性非线性弹性弹性理想塑性弹性理想塑性刚性理想塑性刚性理想塑性幂硬化弹塑性幂硬化弹塑性研究铝合金材料弹塑性问题，用研究铝合金材料弹塑性问题，用 模型？模型？16Mn钢弹塑性问题，不考虑硬化，可用钢弹塑性问题，不考虑硬化，可用 模型？模型？ 若忽略其弹性变形，可用若忽略其弹性变形，可用 模型？模型？灰铸铁用线弹性模型，球铁用线性硬化弹塑性，可否？灰铸铁用线弹性模型，球铁用线性硬化弹塑性，可否？(%) 0(MPa)10 20500200A3钢钢(Q235)16Mn 500 0(

10、%)(MPa)20010.5灰铸铁灰铸铁玻璃钢玻璃钢 0(%)(MPa)20050020铝合金铝合金球墨铸铁球墨铸铁青铜青铜26 材料模型材料模型力与变形间物理关系力与变形间物理关系解：解：1)力的平衡方程：力的平衡方程：受力如图。受力如图。有平衡方程：有平衡方程： 2=3 -(a) 1+22cos = -(b) 三个未知量，二个方程，一次静不定三个未知量，二个方程，一次静不定。2)变形几何条件：变形几何条件：1C 23FF3F2F1 杆系变形如图。有：杆系变形如图。有： 1cos = 2. -(c)C 2 3 1 15.6 27，即，即 /A=ED DL/L 故可知各杆的伸长故可知各杆的伸长

11、D DL= 为：为： 1=1L1/EA； 2=2L2/EA -(d)至此，共有至此，共有5个方程，可解个方程，可解1、2、3、 1、 2。-(1)注意到注意到 L1=L2cos ，由，由(c)、(d)二式得到：二式得到： 2=1cos2 -(e)再由方程再由方程(a)、(b)、(e)解得：解得：1C 23L2L128注意同样有注意同样有L1=L2cos ，由，由(c)、(d)式可得：式可得： 2/1=( 2/ 1)n(L1/L2)n=cos2n 即有：即有： 2=1cos2n -(e)-(2)与与(b)式联式联立解得：立解得：-(d)材料模型不影响力的平衡和变形几何协调条件。材料模型不影响力的

12、平衡和变形几何协调条件。 故前述方程故前述方程(a)、(b)、(c)仍然成立。仍然成立。力与变形间的物理关系由非线弹性模型力与变形间的物理关系由非线弹性模型 =k n有：有： 1=k 1n 1/A=k( 1/L1)n. 2=k 2n 2/A=k( 2/L2)n. 29设载荷为设载荷为s时发生屈服，即时发生屈服，即 1= ys，故：，故： 1=1/A=s/A(1+2cos3 )= ys.得到屈服载荷得到屈服载荷s为：为： -(3) 屈服载荷屈服载荷s： “结构中任一处达到屈服应力时的载荷结构中任一处达到屈服应力时的载荷”。弹性解弹性解(1)有：有： 1= /(1+2cos3 ) 2=3= cos

13、2 /(1+2cos3 )知，知，12=3 ; 三杆三杆A、E相同，相同， 增大，杆增大，杆1先屈服先屈服 E1 yso o30当当 =s时，时， 1= ys,； 2= 3屈服载荷屈服载荷s 若若 =60 ，u=1.6s 。1C 23F32F = ). ，是是是是 对于静定问题：对于静定问题：约束力、内力、应力的求解是否与材料有关？约束力、内力、应力的求解是否与材料有关？应变、变形、屈服载荷是否与材料有关？应变、变形、屈服载荷是否与材料有关？小变形时小变形时，是否有极限载荷？，是否有极限载荷？否否是是否否无，形成机构或大变形无，形成机构或大变形ABF2135材料为弹性材料为弹性-理想塑性的二杆

14、结理想塑性的二杆结构如图。杆构如图。杆1屈服后屈服后,问题是否仍问题是否仍为小变形？如何重写平衡方程？为小变形？如何重写平衡方程？ 结构的极限载荷结构的极限载荷Fu如何？如何？ 杆杆1屈服后屈服后, C点位移迅速增大，点位移迅速增大，杆杆1已不再是小变形。已不再是小变形。 若材料仍可由弹性若材料仍可由弹性-理想塑性模理想塑性模型描述，则平衡方程应重写为：型描述，则平衡方程应重写为： F1sing g =F2sinb b -(1)-(1) F1cosg g+F2cosb b=F -(2)-(2)FFF静定结构在屈服载荷下即可引起大变形静定结构在屈服载荷下即可引起大变形12h2 C 12g gb

15、bC(tantan2 )h36科学研究的一般方法（以工程力学研究为例）：科学研究的一般方法（以工程力学研究为例）：375) 均匀变形阶段，均匀变形阶段，真应力真应力 、真应变真应变 与与工程应力工程应力S、 工程应变工程应变e的关系为：的关系为： =S(1+e); =ln(1+e)。 若若e0.01， 与与S， 与与e相差小于相差小于1%，可不加区别，可不加区别4) 泊松比泊松比 =- 2/ 1；是横向与纵向应变之比的负值。；是横向与纵向应变之比的负值。3) 材料重要指标有：材料重要指标有： 抵抗抵抗弹性弹性变形能力的变形能力的指标指标弹性模量弹性模量 E； 强度指标强度指标屈服强度屈服强度 ys和和/或或极限强度极限强度 b； 延性指标延性指标延伸率延伸率 和和面缩率面缩率 。2) 典型典型 - - 曲线曲线有弹性有弹性;屈服屈服;强化强化;颈缩至断裂颈缩至断裂四阶段四阶段。 1) 力与变形间的力与变形间的物理关系与材料有关物理关系与材料有关。 不同材料在不同载荷作用下有不同的力学性能。不同材料在不同载荷作用下有不同的力学性能。388) 结构中任一处应力达到屈服应力时的载荷，称为结构中任一处应力达到屈服应力时的载荷，称为 该结构的该结构的屈服载荷屈服载荷，记作，记作Fs。 结构整体进入屈服时的载荷称为结构整体进入屈服时的载荷称为塑性极限载荷塑性极限载荷或简或简