第七章不等式、推理与证明第41讲基本(均值)不等式练习理

1、第41讲 基本（均值）不等式1. 了解基本（均值）不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【基础检测】1. 函数y=YT77（x>0>取最大值时x的值为（）【解析】因心悬=注玄护,当且仅当心即X,等号成立.【答案】A111 22. 已知a>0, b>0, a+b=+r»则-+匚的最小值为（）a ba bA. 4 B. 22C. 8 D. 16【解析】由a+b =丄+1=斗2有ab=l>贝lj丄+务2、卩十=2迈.a b aba ba b v【答案】B3. 设OVxVl, a>0, b>0, b为常数，贝1J7+的最小

2、值是（）A. 4ab B. 2(a：+b：)I a" (1 x)C. (a+b) ZD. (ab):【解析】¥+E=&+母x+（lx）“+b：a" （ 1 v）a又一+厂当且仅当*=內时等号成立,所以左+产的最小值为（a+b）2.x 1x【答案】C4. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是【解析】由题意，-年购买竽次,则总运费与总存储费用之和为竽X6+4E浮+JXx=240,当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.【答案】3

3、0【知识要点】1-基本不等式(1) 基本不等式成立的条件：a>0, b0.(2) 等号成立的条件：当且仅当I.2. 几个重要的不等式(1) 才+b：2_2ab (a> bWR):(2) £+b_g_(a, b 同号):3 D 曲(甥(a, 圧R)；3. 算术平均数与几何平均数设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为*,几何平均数为肩，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问题已知 x>0, y>0,(1) 如果xy是泄值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2& (简记:积左和最

4、小).(2) 如果x+y是泄值q,那么当且仅当x = y时，列有最大值是冷(简记：和泄积最大).考点1利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy=l,且0y<¥，则斗匚的最小值为()A. 4 B岭C. 2花D. 422x-2y【解析】xy=l 且 0y半 可知 x>d 所以 x-2y>0.gg=(X2y)/4xy=x 2y+Vu24,当且仅当x=V3+l. 7=时等号成立.【答案】Ab?(2)已知a>0, b>0,且a【解析】由不等式/一玄2解得一 1*2,又 壬心 所以a=l,从而函数f&)=x+=x且易知xHO当x>0时,X.Y)=

5、a-+|2a /.V -1=22，当且仅当x=£即尸谑时不等式取2当X V 0时，因为一 Q0 ,所以f 3 = X +二=一x2寸(一力(一一2花'O当且仅当一-Y=即X=-2时不等式取“=”综上，函数f3的值域为(一8, 2/2 U 2/2, +8).例3设f (x) = I lg(x-l),若0<a<b且f(a) =f(b),则a+b的取值范围是【解析】先画出函数f(x) = |lg(x-l)的图象，如图，+-=b则3丿+1/的最大值为.【解析】因为a>0,又我+券卜乳+易+H，所以玄小+虑住當肩卜,当且仅当a：=+，即a=芈，b=等号成立，即(ajl

6、轲)込=羊.【答案】芈考点2基本(均值)不等式与函数的综合问题例2已知a"a<2,且aGN*t求函数fx) =x+的值域xAl<a<2, b>2,/ lg(a1) =lg(b1) 9,因为blH注亍.e.a+b>4tAa+b的取值范围是（4, +8）.【答案】（4, 4-co）【点评】可利用基本不等式求形如y=-X're -的值域，但在求解的过程中要注意运 用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解.考点3基本（均值）不等式的实际应用例4某书商为提高某套丛书的销星:，准备举办一场展销会.据市场调査，当每套丛书售 价泄为

7、x元时，销售星可达到（15-0. lx）万套.现出版社为配合该书商的活动，决左进行价 格改革，将每套丛书的供货价格分成固左价格和浮动价格两部分，其中固左价格为30元， 浮动价格（单位：元）与销售虽：（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即 销售每套丛书的利润=售价一供货价格.问：（1）每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解析】（1）每套丛书售价宦为100元时，销售量为15-0.1X100 = 5（万套），所以每 套丛书的供货价格为30+誓=32（元），故书商所获得的总利润为5X （10032） =34

8、0（万元）.15 0 lx>0,（2）每套丛书售价定为x元时，由 A得0<x<150.x>0,设单套丛书的利润为P元，rll 10 、 100则云丿两二30，因为 OVx<150,所以 150x>0.所以p=_严0x+乔节+120,又（1507+黑严/（150-Q 韻=2X10=20,当且仅当150-x=晋匚，即x=140时等号成立，所以 P*=-20+120 = 100.故每套丛书售价泄为140元时，单套丛书的利润最大，为100元.【点评】（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量左义为函数.（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得

9、函数的最值.3方法总结（3）在求函数的最值时，一疋要在左义域（使实际问题有意义的自变屋的取值范困）内求 解.【pj1. a'+b：22ab成立的条件是a, bWR,而耳2佰成立，则要求a>0, b>0.2. 利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正（各数为正），二泄（和或积为定值）,三相等（等号在允许取值范围内能取到），要熟悉均值不等式的各种变形ax + bx cx3. 连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值.1. （2018 天津）已知a,圧R,且a-3Z>+6=0,则2'+*的最小值为【解析】Ta 3b+6=0,2

10、'+右=2'+2七2百弓=27=2#, 当且仅当2“=2时，即a=-3b=-3时取等号.【答案】+考点集训A组题1.已知40, y>0,且x+y=2“，则x+4y的最小值为（）7 9A 4 B. C. D 5【解析】由x-Vy=2xy得丄+丄=2,由>0, y>0,x yx+4尸扣+4y)(£+=g5+乎+弓詁(5 + 4)=善，当且仅当¥=；时，等号成立,9 即x+4y的最小值为空【答案】C2. 设 x+y=l, x, yG (0, +°°),则.y= -f-xy 的最小值为()化独*. -jD.【解析】因为y>

11、0, y>0, x+y=l,故xjW(牛11"=|»当且仅当jv=y=|等号成立., “”3又 女+护+砂=(x+y)-xy=l羽尸鼻二，43 故-y：+/+at的最小值为孑【答案】B3. 函数尸log:.v4-log.v(2x)的值域是()A(8, 1B3, +8)C. -1, 3D. ( 8, 1U3, +8)【解析】因为 y=log:x+logA.(2) =log：x+log文2 + l = log：x+ 1,10g：-Y令 t=log：As 因为>0 且 xHl,所以 rHO.所以 t+2 或 r+*W-2,所以 y= r+£+l W (8,

12、iu3, +8).【答案】D4. 已知以八 V 1对于任意的.yG (b +8)恒成立，贝lj()XX XA. a的最小值为一3B. a的最小值为一4C. a的最大值为2D. &的最大值为4【解析】因为心1，+s),所以叶1>0, Q0.不等式亠丢去+1可化为+ 2a + 2£ J +1 ,44+(*1)+1=5,当且仅当,1即才 + 2& + 2£百 + “1 + 1,因为匸y+"-1 +4即y=3时，上式取“=”号.所以£=x-l x +2a+2W5,解得一3WaWl即a的最小值为一3,最大值为1.【答案】A5. 一艘轮船在航行

13、中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是每小时6元.其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，该轮船的航行速度为公里/小时.【解析】设速度为y公里/小时，则公里费用 尸匕出，又&xi(t=6,m=希3963 963Vy=5009 y=500v'5001月寸詁琴48 . 48=当且仅当冷护=尝即丿=20时取等号.【答案】206.规泄记号“凶表示一种运算，即於b为正实数).若迈上=3,则，此时函数f(x)最小值为.【解析】1瞻=观+1+&=3,即&+寸2=0,.9.yk=l 或边=2（舍）,Ak=l.心）=学

14、=±1=1+心+*却+2 = 3,当且仅当五=鼻 即尸1时等号成立.的最小值为3【答案】1: 37. 已知正实数a, b满足自+b=4,则士+圭的最小值为.【解析】Ta+b=4, Ta+1 +b+3=8.占+缶心+1+"爲+繭1（b+3 a+l 11胡它（2+2）书，当且仅当a+l = £>+3,即a=3, b=l时取等号,士+治的最小值熄【答案】*8. 已知 00, y>0,且 2*+5尹=20.求u=lg .r+lg y的最大值；求出的最小值.【解析】(l)Tx>0, y>0,:由基本不等式，得2x+ 5y>2yjlQxy.2x+

15、5y=20,/. 2/10Ay 20，羽W10, 当且仅当2x=5y时，等号成立.因此有2*+5y=20,2-v=5y,y=5,.y=2t此时有最大值10./. w=lg x+lg y=lg(xy)Wlg 10 = 1.当x=5, y=2时，u=lg x+lg y有最大值1(2) Vx>0, y>0,2-r+ 5y20屯7+27+210=20当且仅当乎斗时,等号成立.2x+5y=20,由5y 2x= ,I * y解得彳1010-20尸 320-410 y= 3.*+*的最小值头B组题1. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的槪率为b,不得分的概率为2 1心b.1),已知

16、他投篮一次得分的均值为2,则三+点的最小值为()a obK 32“ 28厂 1416A JB- y yD- T【解析】由已知得，3a+2b+0Xc=2,2即 3&+2Q2,其中 Q<a< 0<Kl.当且仅当字佥，即a=2b时取“等号” I1.夕 116又3&+2Q2,即当a=-, *彳时，；+丸的最小值为亍【答案】D2设a>b>c>Q,则2£+丄;+-10ac+25f的最小值是()ab a k a b)A 2 B 4 C 2a/5D. 5 【解析】2/+厶+- 10ac+25fab a (a®=(a50)： + £ab+ab ab a (a b)=(a5c)' + ab+A* + a(ab) + - r_aba k a b)20 + 2+2=4,当且仅当a-5c=0, ab=l, a(a-b) = 1时，等号成立， 即a=, b=¥，c=¥时满足条件.【答案】B3设正实数阳y, z满足x 3xy+ 4y z= 01则歼艺取得最大值时，？+丄一二的最大 zx y z值为【解析】据已