第一轮复习自己整理绝对经典立体几何文科--第一轮

1、立体几何题型总结（2 015版文科）重要定理：直线与平而垂直的判立泄理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个 平面.直线和平而平行性质泄理:如果一条直线和一个平而平行,经过这条直线的平而和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行.平面平行判定左理:如果一个平而内有两条相交直线都平行于另一个平而，那么这两个平而平行.两个平而垂直性质判泄:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平而垂直于这个平面.两个平而垂直性质肚理:如果两个平而垂直，那么在一个平而内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平而推论:如果两个相交平而都垂直于第三平而,则它们交线垂直于第三平而. 证

2、明：如图,找O作OA、OB分别垂直于12,因为 PMU0.Q4 SPMUC（QB丄 则 PM 丄OAPM 丄08.一：夹角问题异而直线所成的角、直线与平而所成的角、二面角的取值范帀依次 直线的倾斜角、A到Z2的角、1 1J的夹角的取值范用依次是0,咒）,0,咒）,0,?）2异面直线所成角：范围:（0o,90°（1）平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形;解三角形求出角。（常用到余弦能理co S-E产）（2）补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易 发现两条异面直线间的关系；（3）向量法。转化为向量的夹

3、角cos。=AB ACRR（计算结果可能是其补角）直线与平面所成的角L£丄巫1斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平而上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平而的垂线段,垂足和 斜足的连线,是产生线面角的关键；向量法:设直线/的方向向量为几平而的法向量为亓，/与所成的角为与亓的夹角为0则有Sin = ICOS =二面角a-l-卩的平面角® 0 «9« 180（1）左义法:在棱/上取一点P，两个半平面内分别作/的垂线（射线）m、m贝IJ射线m和】的夹角&为二而角Q -I-的平而角O（2）三垂线法：

4、（三垂线定理法:A 作或证AB丄于B,作BO丄棱于O,连A0,则Ao丄棱/, ZAOB为所 求）向量法:设斤，加是二面角a-l-0的两个而.0的法向量,则向Ml的夹角（或其补角）就是二而角的平面角的大小若二面角&一/一 0的平而角为0,则ICOS切=«.71I «2二、空间距离问题两异面直线间的距离方法一：转化为线而距离。如图,m和n为两条异而直线，ua且加a,则异而直m 和n之间的距离可转化为宜线m与平而&之间的距离。方法二:高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算，直接计 算公垂线段的长度。点到直线的距离：一般用三垂线左理作岀垂

5、线再求解；向量法:点到直线距离:在直线/上找一点P,过左点A且垂直于直线/的向虽为亓，则左点A到直线/的距离为=PAllCOS(PAji)I =PAn点到平面的距离方法一:几何法。步骤1:过点P作PO丄于O,线段PO即为所求。步骤2：计算线段Po的长度。（直接解三角形：等体积法和等面积法；换点法）等体积法步骤：在平而内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;求岀此三棱锥的体积V和所取三点构成三角 形的而积S;由V=Is.h,求出h即为所求这种方法的优点是不必作出垂线即可求点而距离.方法二:坐标法。线面距.面面距均可转化为点面距 P三、平行与垂直问证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行：（2）转化

6、为而而平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线而垂直.PO丄a=> / 丄 In I 丄 OA/丄GHIU a证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3 ）转化为线与另一线的射影垂直; 方法（2）：用线而垂直实现。方法（3）：三垂线定理及其逆立理。IUa证明线面垂直：（I）转化为该直线与平而内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平而的一条垂线平行：（3） 转化为该直线垂直于另一个平行平而；（4）转化为该直线与两个垂直平而的交线垂直 方法（1）：用线线垂直实现。G丄0=> /丄 a a r = m => I 丄 / 丄 mJ /丄4C

7、/丄ABACoAB=AAC. AB U a面面垂直：方法一：用线面垂直实现。'丄° = 丄0/u0j "方法二：用面而垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。 能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图。能 用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会 画某建筑物的视图与直观图。例1 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A,

8、B9C分别是AGH/三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体A.B.C.D.按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（图1图2例2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数正视图左视图 俯视图例3已知一个正四而体，其三视图均为边长为2的正方形,则这个正四而体的外接球的体积为.例10：如图是一个几何体的三视图,根拥图中数拯，可得该几何体的表而积为（）A. 2W. 16;TC. 32rAD.8r侧视图例5：四棱锥P-ABCD的顶点P在底而ABCD中的投影恰好是A,英三视图如图, 则四棱锥P-ABCD的表而积为（）A. 3a2B. 2a2C. 3a2 + y2a

9、2D. 2a2+y2a2左视图例6：三棱柱ABC-AIBlCI的体积为V, P、Q分别为AA, CC,上的点，且满足A P=C1Q,则四棱锥B-APQC的体积是例7：如图，斜三棱柱ABC-AIBICI中，底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB、AC都成4 5。角，求此三棱柱的侧面枳和体枳.例&如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：Cm）,可知几何体的体枳是主视图侧视图俯视图真题：201 5奇考新课标1 ,文6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋

10、内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）， 米堆底部的弧长为8尺,米堆的髙为5尺,米堆的体枳和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.6 2立方尺, 圆周率约为3,估算出堆放的米有（）A. 14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛2 015高考浙江，文2某几何体的三视图如图所示(单位:Cm ),则该几何体的体枳是()32A. 8 cm3B 12 cm3C . cm33rx 403DCm2015髙考浙江,文7如图,斜线段AB与平而所成的角为60 , B为斜足,平面上的动点P满足ZPAB = 30侧点P的轨迹是(A 直线B.抛物线)C椭圆2015髙考新课标1,文11】圆柱被一个平而

11、截去一部分后与半球(半径为小组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16 + 20G则厂=()(A) 1(B) 2(C) 4(D) 8【2 015高考陕西，文5 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3t BA C.2r+4 D 3龙+4俯视图2015高考福建,文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表而枳等于( )A.8 + 22 B.ll + 22 C. 14 + 2D.152015髙考湖南,文10某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个而落在原工作的一个而内,则原工件

12、材料的利用率为(材料利用率=新工件的体枳/原工件的体积)(A、竺9侧视图24(-1)?【2 0 1 5髙考天津，文10 一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为正视图(2015高考四川,文14】在三棱住ABaAlBlCl中,ZBA C= 9 0° ,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点MJV, P分别是AB, BCBC的中点侧三棱锥MMN的体积斜二测法:S斜=2V例9:一个水平放置的平而图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平而 图形的而积是（）A. 1÷- B. 2

13、+ C. 1 + D. 1 + 2 2 2例10：对于一个底边在X轴上的三角形，采用斜二测画法作岀其直观图，其直观图而枳是原三角形而枳的 （）A. 2倍B.H倍C迟倍D.丄倍422例11 :如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形AiBiCiDi, KAlBI=BICl=2AD1=2, 则四边形ABCD的而积为（）A. 3 oB.3r（2）C.6错误！ 。1）6例12：用斜二测画法画一个水平放置的平而图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（）旋转体：例1 3：下列几何体是旋转体的是（）、CD = 22 , A£) = 2,例14:如图，在四边形ABCD中，ZDA3 = 90&

14、#176;,二./：.求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体枳.真题:2015髙考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲而所恫成的几何体的体积为（)(0)22(B) 4r型二：定义考察类题型例15：已知直线/、加，平面Q.",则下列命题中假命题是（）A 若 0,u,则/0 B.若 allP . I 丄 ,则/丄 0C.若/Ha、me: a 贝l Hmd.若cr丄0、ac卩=I、加Ua,加丄/,则加丄0例16：给左下列四个命题： 若一条直线与一个平而平行，那么过这条宜线的平而与这个而相较,则这线平行于交线 若一条直线与

15、一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一宜线 若两个平而平行,那么分别任这两个平而内的两条直线平行 若两个平面垂直,那么分别在这两个平面内的两直线垂直其中，为真命题的是（）A.错误!和错误！B错误!和错误!C.错误!和错误!D.错误!和错误!例17:已知2/是两条不同直线，a、队Y是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若丄0, InUa,则加丄0圖若丄齐0丄儿则all C.若加H a Ju H队则a H D. 丄 PjUa J 丄 c、ac0 = cn /丄0例18:已知加、“是两条不同的直线,Q、0是两个不同的平而,有下列命题:若 In ua、nll a、则 mH n ；若 In

16、Il a f InllPy 则 all 若m丄,加丄n ,则Wlla :若川丄a、!丄0,则all 其中真命题的个数是（）A. 1个B.2个C. 3个D. 4个例19：如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD丄底而ABCD,则下列结论中不正确 的是（）A. AC 丄SBB. A B 平而SCDC、SA与平面SBD所成的角等于SC与平而SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于De与SA所成的角A. AwaAW 0、B W , B G 0, => u 0例20：已知久0为不同的平而，A、B. M. N为不同的点，d为直线，下列推理错误的是（）B. MW a、M 已 0、NWa.Nw 队

17、 naQ3 = MNC. 4w,Aw0,=>0 = AD. A、B、MB、M w0,且 A. B、M 不共线=>a、0 重真题：2015高考浙江，文4】设, 0是两个不同的平而,/,加是两条不同的直线,且IUa,加u0（）A.若/丄0,则丄0B.若G丄0,贝J丄加C. 若 lll 侧 allD.若 all ,则 IIIm20 15高考广东，文6】若直线A和厶是异面直线/在平而Q内，厶在平而“内，/是平面与平而0的交线, 则下列命题正确的是（）A. /至少与71, II中的一条相交！/与人仏都相交C. I至多与1, I2中的一条相交D. /与,厶都不相交【20 1 5高考湖北,文5】

18、厶丄表示空间中的两条直线，若r.llJ2是异面直q. I1J2不相交,则（）A. P是"的充分条件,但不是q的必要条件B. "是g的必要条件,但不是g的充分条件C. p是“的充分必要条件D Q既不是g的充分条件，也不是"的必要条件题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质线线平行判定定理性 质 定 理线线垂直-线吊岳平行线面i垂直面面平行判性 定质定丨定面面垂直及其逆定理 三垂线定理（2）平面的法向量与平面0的法向证明平行的方法：线线平行:相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（髙中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。线面平行：（1 ）根

19、据定理证明（线线=> 线面）；（2）通过而而平行的性质泄理（面面n线面） 面面平行：（1）平面中分别有两条相交线与平面”的两条相交线平行 量平行例21:如图，在四棱锥P-ABCD中，底WiABCD是边长为的正方形, 侧面阳D丄底面ABCD,且PA = PD = -AD,若E、F分别2为PC、BD的中点.（1 ）求证：EF 平PAD;（2）求证:平PDC丄平面PAD.例22：如图所示，在正方体ABCD-AIBICIDl , M, N分别是C1C, B1C1的中点，求证：MNlI平而A1BD.OBNC例23:如图，直棱柱ABC-ABICI ,D,E分别是AB.(I) 证明 IBC./A1CD

20、(II) 求A到面ACD的距离例24 :如图所示,在四棱锥O-ABCD中，底而ABCD四边长为1的菱形，ZABC=-,OA丄底而ABCI),OA二2为OA的中点,N为BC的中点4(I )证明：直线Nd N 平而OCD :(Il)求异面直线AB与MD所成角的大小：(In)求点B到平而OCD的距离匚例25：如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M . N分别在对角线BD AE上,且例26：如图,在正方体ABCD-Ai BIC D中川、N、P分别是GC、BG、GI儿的中点，求证:平面MNP 平面A 1BD.例27:已知四棱锥P-ABC D中，底而ABCD为平行四边形.点队N、Q分别

21、在PA. BD. PD上， 且PM： MA=BN: ND二 PQ:QD求证：平而 MNQ 平而 PBC.型四:线与面、面与面的垂直的证明方法三垂线定理:如果在平而内的一条直线与平而的一条斜线在这个平而内的射影垂直,则它也和这条直线垂直。 三垂线逆定理:如果：如果在平而内的一条直线与平而的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平而内的射影 垂直。/o例2 8 ：直三棱柱ABC-A IBIC 1, AB丄BC,E是处C的中点，EDIAXC且交AC于D, AiA = AB = BC证明:B1C1/平而AIBC ; (II)证明：AlC丄平而EDBC例29：如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底而ABCD

22、是菱形:PA丄平而ABCD,PA = AD = AC ,点F为PC的中点(I) 求证：PA/平而BFD ;(II) 求证面PAC丄BFD例30:如图，在棱长为d的正方体BCD-A1B1C1D1 , E、F、G分别 是CB、CD、CCl的中点。(1)求证:平面ABlDl 平面EFG ;(2)求证：£F丄平而AC例31:如图，在三棱柱ABC-Ai侧而ABBiAl, ACCIA均为正方ZBAC = 90 f点D是棱BIG的中点.(I)求证：AQ丄平而BBCC ;(II)求证:ABi / 平而 AlDC ;例3 2 :如图所示,四棱锥P-AB CD中.PA=AD=CD=2 A B=2,M为P

23、C的中点。求证：B M 平而PAD：(2)在侧面PAD内找一点N,使MN丄平® PBD；(3 )求直线PC与平而PBD所成角的正弦。例33:在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,M4丄平ffilBCD , PD / MA , E、G F分别为ME、PE、PC的中点,且 AD = PD = 2MA (I )求证：平面EFG丄平ffiPDC;(II)求三棱锥P - MA3与四棱锥P - ABCDffy体积之比.Cl例34：如图,在直三棱柱ABC- A 1 B 1 Cl , AC=BC,点D是AB的中点。(1)求证:BCi /平面CAQ(2 )求证：平而CAiD丄平而AAlBIB例

24、35：如图所示，已知矩形ABCD , A B=IO, BC=6,将矩形沿对角线BD把AABD折起，使A移到儿点,C且人在平面BCD上的射影0恰好在C D上. (I )求证：BC 丄 AlDi(II)求证:平面AiBC丄平而AlBD ；(【)求三棱锥A-BCD的体积真题：20 15高考山东，文18】 如图,三棱台DEF-ABC中.AB = 2DE, G, H分别为AC, BC的中点.(I) 求iiE: BD/平而 FG(II) 若CF丄3G A3丄BG求证:平而BeD丄平而EGHC型五：空间中的夹角知识点：夹角的分类:线线夹角、线而夹角、而而夹角三者在计算或证明时的转换关系：而面k线面k线线计算

25、三种夹角的方法:勾股定理、向呈:、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤:找角,证明所找的角，计算所找角的大小(切记不可找出来之后不证明就开始计算)异面直线的夹角问题：例3 6：在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形，ABAD = 90*，D/ BeAB = BC = (IAD = Ia PA j_ 底面ABcQ, PD 与底而成 3 0°(1)若AE丄PD, E为垂足，求证：BE丄PD ;(2) 在(1 )的条件下,求异而直线AE与CD所成角的正切值：例3 7：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平而外一点，1、N分别是AB、PC的中点.(1) 求IiEiMN/平面PA

26、D； (2)若MN = BC = 4, PA = 43 ,求异而直线PA与MN所成的角的大小例3 8:如图，四边形ABCD是边长为1的正方形,MD丄平ABCD,NB丄平面ABCD,且MD=NB=I, E为BC的中点，求异面直线NE与AM所成角的余弦值例39：如图,在正方体ABCD-AIBICIDI中，M . N分别是CD、CG的中点，贝IJ异而直线AM与DN所 成的角的大小是O例40：已知正四而体ABCD边长均为,如图所示，EF分别为AD.BC的中点，连接AF.CE,求异而 直线AFXE所成角的余弦值。例41：已知S是正三角形ABC所在平而外的一点,如图SA=SB=Se且ZASB = Z BS

27、C = ZCSA=* ,N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.SA例42:已知三棱柱ABC-AlB1Ci的侧棱与底而边长都相等，人在底BC±的射影为BC的中点,则异面直线AB与CCI所成的角的余弦值为()<c>4(D)I例43：如图,在正方体ABCD-AB CD中，EF分别是AB',BC的中点。(1)若M为33'的中点，证明：平而EMF平面ABCD(2 )求异而直线EF与AD所成的角例44:如图,四而体A BCD中,AB丄BC,AB丄BDBC丄C Dt且A B=BC= 6,BD = 8, E是AD中点,求BE与C D所成角的余弦值

28、。A线面夹角(了解)：例45 :如图，四棱锥P-ABCD中，底ABCD为菱形，PA丄底面ABCD, ACpQ, PA二AD二2, E是PC上的一点, 设二而角A-PB-C为9 0° ,求PD与平而PBC所成角的大小。例4 6:如图，直三棱柱ABC-AlBICI中，丄AC, D. E分别是必BlC的中点,DE丄平BCC1(1) 证明:AB=AC(2) 设二面角A-BD-C为60°,求Ble与平而BCD所成的角的大小B真题:2 0 15髙考浙江，文18】如图，在三棱锥ABC-AiBlG中,ZABC = 90 AB = AC = 2, AA1 = 4, A1在底ABC的射影为BC

29、的中点，D为EG的中点.(1)证明：AD丄平面A1BC;(2)求直线AlB和平面BBICCI所成的角的正弦值.20 1 4高考，文18】如图，四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为菱形，PA丄底而ABCDy AC = 22, PA = 2. E是PC上的一点，PE = IEC.（DiiE明：PC丄平面BED：（H）设二而角A-PB-C为90 ,求Pr）与平而PBC所成角的大小。2015高考湖南,文1 8】（本小题满分1 2分）如图4 ,直三棱柱ABC-A咼G的底而是边长为2的正三角形,EF分别是BC,CC的中点。（I）证明：平而AEF丄平而B1BCC1;（II）若直线AIC与平而AIABBI所成

30、的角为45：,求三棱锥F-AEC的体积。:点线距离（定义法、等体积法、向量法.空间坐标法）；线面距离;面面距离。例47：已知正四棱柱ABCD-AlCiDl的地而边长为1,则棱场为2,点E为CG的中点求点耳到平而BDE的距藹。E例48：已知正四棱柱BCD-AIBICIDI中，AB = 2, CC1=22, E为CG的中点，则直线AG与平而BED的距禽为()A. 2B IC. 2D. 1例49:在ABC中,AB=15, ZCA = 120°,若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14,则P 到G的距离是()A. 13B. 1 1C. 9D. 7QA = 2, M为OA的中点，N为

31、BC的中点D例50：如图，在四棱锥O -AECD中，底而ABCD四边长为1的菱形，ZABC = -I OA丄底iABCD ,(【)证明：直线MNIl平面OCD J()求异而直线AB与MD所成角的大小;(IIl)求点B到平而OCD的距离。例 51： 和B 为平而， = ,A,AB=5,A> B 在棱 1 上的射影分别为 A' , B ' , AA' =3, BB'2兀=2.若二而角a-的大小为-厂 求,点B到平而CC的距离为 例52:P为矩形ABCD所在平而外一点，且PA丄平而ABCD, P到B, C , D三点的距离分别是5, 7 , 13,5ljP到A点

32、的距离是(A. bB. 2D.4例53：如图，在四棱锥O-ABCQ中,底面A3CQ四边长为1的菱形，ZABC = -. OA丄底ABCD,4QA = 2, M为OA的中点，N为BC的中点(I)证明：直线MN 平面OCD ；(H)求异面直线AB与MD所成角的大小；(IlI)求点B到平而OCD的距禽例 54：如图，直四棱柱 ABCD - AiBi CIDX 中，ABCD, AD 丄 AB, AB= 2 t AD=V 2, AA=3, E 为CD 上一点,DE=1,EC=3(1) 。证明：BE丄平面BBCC;(2) 求点Bl到平面EAiCl的距离例55：如图，已知多而体ABC-DEFG中，AB、AC

33、、AD两两互相垂直,平而ABC 平而DEF&平而BEF 平而ADGC, AB=AD=DG二2, AC=EF=IoG(1) 试判断CF是否与平而ABED平行?并说明理由;(2) 求多面体ABC-DEFG的体枳。例 56:如图，四面体 ABCD 中，0、E分别是 BD. BC 的中点，CA = CB = CD = BD = 2、AB = AD = JLE(I)求证：40丄平而BCD：(I I )求点E到平而ACD的距离。例 57：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD丄平面 ABCD, PD =DC二BC二 1, A B = 2 , ABDC, ZBCD= 9 0%(1) 求证:PC丄BC

34、;(2) 求点A到平而PBC的距离。题型七:求体积问例58:如图，ABEDFC为多而体，平而ABED与平而ACFD垂直，点O在线段AD ±9 OA = . OD = 2, OAB, OAC,ODE, 0D F 都是正三角形。M( 9(I )证明直线BC/EF ； (II)求棱锥F-OBED的体积例59：如图，三棱柱ABC-AIBICl,侧棱垂直底而，ZACB=90° ,AC=BC=错课!AA“ D是棱AA,的中点 证明：平面BDCI丄平面B D C(II) 平而BDCI分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比真题：2015高考北京，文18 (本小题满分1 4分)如图，在三棱锥V

35、-ABC中，平而VAB丄平而ABC, VAB为等边三角形，AC丄BC且AC = BC =近，0, M分别为AB, VA的中点.(I)求证：VB/平而MoC； ( I I )求证:平面MOC丄平而VAB ： (III)求三棱锥V-ABC的体积.2015髙考新课标1,文18(本小题满分1 2分)如图四边形ABCD为菱形，G为AQ与BD交点,BE丄平面ABCD.(I)证明:平而AEe丄平而BED ；(I I)若 ZABC = I2( , AE = EC,三棱锥 E-ACD 的体积为求该三棱锥的侧而积.2015高考重庆，文20】如题(20)图，三棱锥P-A BC中，平而PAC丄平而ABCZABC =

36、-,点D. E在2线段AC上，且AD=DE=EC=2, PD=PC=4,点F在线段AB上,且E F/ BC(I)证明：AB丄平面PFE.(II)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.型八:翻折与展开问题及探索问例6 O:如图所示,等腰ABC的底边AB = 6艮 髙CD = 3 ,点E是线段BD上异于点B, D的动点,点F在BC边匕 且EF丄AB.现沿EF将EF折起到ZkPEF的位置,使卩£丄AE,记BE = x, VZcV)表示四棱锥P-ACFE的体积(1)求H(X)的表达式：(2)当X为何值时，V(X)取得最大值？当H(X)取得最大值时，求异而直线AC与PF所成角的余弦值

37、.例61:在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平而DCEF丄平而ABCD,连结部分线段后用成一个空间几何体,(I )求证：3E平而ADF；(II)求三棱锥F-BCE的体积例62：正方形A BCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F,连接AE、EF. AF.以AE、EF、FA为折痕, 折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P,得到一个四面体,如图(2)所示.(1)求证：AP丄EF;(2 )求证：平面AP E丄平而APF22例63:如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，DE分别是AB. AC边上的点，AD = AEy F是3C的中点，AF与DE

38、交于点G ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A 一 BCF ,其中BC =证明：DE/平面BC(2)证明：CF丄平而ABF ;2当AD = -时，求三棱锥F-DEG的体积汗阳图乙例68:如图甲，在直角梯形P3CD中，PBIlCD. CD丄BC、BC = PB = ICDy A是PB的中点现沿AD把平而P4D折起,使得QA丄仙(如图乙所示)，E、F分别为BC、AB边的中点.求证：PA丄平而ABCD；(2) 求证:平面PAE丄平而PDE ；(3) 试探究在PA上是否存在一点G ,使得FG/平而PDE, 并说明理由.真题：2 015髙考陕西.文18】如图1在直角梯形ABCD中，ADH BC

39、yZBAD = -,AB = BC =-AD = a .E是 2 24D的中点,O是OC与BE的交点,将AABE沿BE折起到图2中AAlBE的位置,得到四棱锥A - BCDE .(I)iE明:CD 丄平而 ApC (II)当平而AlBE丄平而BCDE时，四棱锥AI-BCDE的体积为362 ,求"的值A1(A)【2014髙考,文19】如图所示：边长为2的正方形ABFC和髙为2的直角梯形ADEF所在的平而互相垂直且DE = 2 , ED/AF 且ZDAF二90°。(1) 求BD和而BEF所成的角的余弦；(2)线段EF上是否 存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直,若存在

40、， 求EP与PF的比值；若不存在,说明理由。2 0 15髙考安徽，文1 9】如图,三棱锥P-SBC中¾丄平而AB CPA = ,AB = IMC = ZZBAC = 60 .(【)求三棱锥P-A BC的体枳;(II)证明：在线段PC上存在点M,使得AC丄BW 并求空的值.MC2015髙考福建,文20】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于的点,PO垂直于圆O所在的平而, 且 PO = OB = I.(I)若D为线段AC的中点，求UEAC丄平而PDO; (II)求三棱锥P-ABC体积的最大值：(In)若BC =迈点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.(1)球的截面(一圆)的性质:球

41、心O与圆心0的连线OS与圆而垂直球心与圆面的距离d = R2-r2(2)球而上两点A, B的球而距离圧义:经过A, B两点的大圆的劣弧长求法:利用大圆O与小圆°】的公共弦AB,注意劣弧A B所对的圆心角是角AoB而不是角AsB(3)经度与纬度纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经过这点的纬度圈所在的平而的夹角经度：某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴确龙的半平而与0°经线与地轴确龙的半平而所在的二面角的大小.(4) 球内接长方体的性质：长方体的中心就是球心，长方体的对角线长就是球的直径(5) 正四而体的内切球与外接球的性质：它们是同心球,球心在正四体的髙线上，内切球

42、与外接球的半径的和等于正四而体的高,求解时可利用等体积法.(6 )球体积V = -R球的表而积S = 4* 弧长公式l = aR = - 3180一:外接球的有关问题棱锥的内切、外接球问题例69:正四而体的外接球和内切球的半径是多少？例70：设棱锥M-ABCD的底而是正方形,且MA = M£，MA丄A3,MEB如果D的而积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.例7个长方体的各顶点均在同一球而上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表而积为例72：已知各顶点都在一个球而上的正四棱柱髙为4,体积为1 6 ,则这个球的表而积为（）D. 32;TB. 20”例7 3： 个六棱

43、柱的底而是正六边形，其侧棱垂直于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球而上,且该六棱柱9的体积为-，底而周长为3,则这个球的体积为8例74:正四棱锥S-AECD的底而边长和各侧棱长都为丁夕，点S、4、B、C、D都在同一球面上,则此球的体积为例75：表而积为23的正八而体的各个顶点都在同一个球而上,则此球的体积为2二：球类的截面问题例7 6：球而上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,英中AB= 18, BC = 24、 AC = 30.球心到这个截而的距离为球半径的一半,求球的表面积.例77：过球O表而上一点A引三条长度相等的弦AB. AC. AD.且两两夹角都为60。.若球

44、半径为R ,求弦 AB的长度例78:已知球。的面上四点A、B、C、D, DA丄平面ABCAB丄BC, DA=AB=BC=3则球°的体积 等于.例 79:已知点 A、B. C、D 在同一个球而上，ABdTlRiBCD, BCdDC,若 AB = 6, AC=213 ,AD=8 则 球的体积是例8 0:球而上有3个点，其中任意两点的球面距藹都等于大圆周长的丄，经过3个点的小圆的周长为4兀,求这个球的半径.例81： 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球而上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）例82：直三棱柱ABC-AIBICI的各顶点都在同一球而上,若AB =

45、 AC = AAI =2, ZBAC = I20o 9则此球的 表面积等于例83：正三棱柱ABC-AIBICI内接于半径为2的球，若人B两点的球而距离为;T,则正三棱柱的体积为例84:用两个平行平而去截半径为R的球而，两个截而圆的半径为r1 = 24Cm , r2=5cm.两截而间的距离为 d = 21 Cm.求球的表面枳.三:球面距离例8 5：过球面上两点作球的大圆,可能的个数是（）.A.有且只有一个B. 一个或无穷多个 C.无数个D.以上均不正确例86:已知A. B是半径为的球O的球而上两点,它们的球而距离为-R.求过A、B的平而中,与球心的最大距离是多少？例8 7：在球心同侧有相距9c7

46、"的两个平行截而,它们的而积分别为49tvrr和400加.求球的表面积.例88：如图球0的半径为2,圆Ol是一小圆，QO =血，A、B是圆Q上两点,若A, B两点间的球而距离为学,则 ZAOIB二例8 9：在半径为3的球而上有A,B,C三点，ABC = 90BA = BC ,球心O到平而ABC的距离是芈，则3、C两点的球而距离是（D. 2例90：在矩形ABCD中，A3 = 4,3C = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二而角B ACD,则四而体四：其它问题ABCD的外接球的体积为（）125A. 12125C. D.125并放入一个半径为,的铁球，这时水面恰例9 1：-个倒圆锥形容器

47、,它的轴截而是正三角形，在容器内注入水,好和球而相切问将球从圆锥内取岀后,圆锥内水平而的高是多少?例92 :个六棱柱的底而是正六边形，其侧棱垂直底而已知该六棱柱的顶点都在同一个球而上,且该六棱柱的9体积为-，底而周长为3,则这个球的体积为8 例93： （2 012新课标理）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角 形，SC为球O的直径，且SC = I M此棱锥的体积为（）A渥B.逅C.旦D.6632例94： （2 0 12辽宁文）已知点P,A, B, C, D是球O表而上的点，PA丄平面ABCD,四边形ABCD是边长为2 J亍 正方形.若PA = 26,则AOAB的面积为.例95:在底而边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球,正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子 相切），求小球的半径。例96:自半径为R的球而上一点M ,引球的三条两两垂直的弦MAMC,求MA2+ MB2 +MC2的值.例97：在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（ 1 ）求两球半径之和：（2）球的半径为多少 时，两球体积之和最小.例98:有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器髙8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球而恰好接