第3讲.几何问题之中点题型Ⅰ(教师)

1、第三讲 .几何问题之中点题型【教学目标】1. 掌握三角形的内角和定理；2. 了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3. 学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4. 学习分析问题、解决问题的能力。【知识、方法梳理】：一 . 中点有关联想归类：1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3. 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；常联想 “八4. 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，字型”全等三角形）；5. 有中点时常构造垂直平分线；6. 有中点时

2、，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7. 倍长中线。二 . 与中点问题有关的四大辅助线：1. 出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2. 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3. 出现三角形边上的中点，作中位线；4. 出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三 . 几何证明之辅助线构造技巧：1. 假如作一条辅助线，能起到什么作用；2. 常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。模块一、出现三角形的中线，可以延长一、基础回顾1. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2. 若点 C 是线段 AB 的中点，则：1 从线段来看：A

3、C BC AB ；2 从点与点的相对位置来看：点C 在点A、 B 之间，且点A、 B 关于点 C 对称。3. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中 线。 一个三角形有三条中线； 每条中线平分三角形的面积； 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1: 2 的两段； 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。2. 如何延长三角形的中线1. 延长 1 倍的中线：如图，线段AD 是ABC 的中线，延长线段AD 至 E ，使DE AD （即延长1 倍的中线），再连接BE、 CE 。总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转

4、型）全等三角形ABD ECD 、 ACD EBD ，且每对全等三角形都关于点D 中心对称； 详 细 地 说， 就 是可以 转 移角：BAD CED ，CADBED ，ABD ECD ，ACDEBD ，ADBECD ， ADCEDB ；可以移边：AB EC ， ACEB ；可以构造平行线：ABEC ， AC EB ；可以构造边长与AB、AC 、 AD 有关的三角形：ABE 、 ACE 。1 ）延k 长倍的中线：（k 0 且 k 1 ）如左（右）下图，点E 为 ABC 中线 AD （ DA延长线）上的点，延长AD 至 F ，使ED FD ，连接BE 、 CE 、 BF 、 CF . 在平行四边形B

5、FCE 中就可以得到类似（1）中注意： 通常在已知条件或结论中测及到与BE 、 CE 有关的边与角时，会用这种辅助线.利用性质解决问题全等三角形整体做题思路：中线倍长平行四边形例 1.如图，ABC 中， AB AC ， AD 是中线 . 求证： DAC DAB 。DE ，联结 CEAD 到点 E 使得 AD AD 是 ABC 中线 BD CD在 ADB 和 EDC 中 :AD DEADB EDC ；ADB EDCBD CD AB又 AB CECE ， AC ACDAB DAC DAC? 点评：1. 比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示EDAB为另外一个角加上第

6、三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。例 2.如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F . 求证： AFEF 。ADHCHED 到点 H 使得 ED AD 是 ABC 中线 BD CD在 EDB 和 CDH 中 :DE DHEDB CDHEDB CDHBD CD例 3.已知CH BE CHBE ，ACACBEDCADAEFAEFAF EFHDEBCADCADABC 中， AB12，ACAD 的范围。AD 到点E 使得AD30，求 BC 边

7、上的中线DE ，联结 CE AD 是 ABC 中线 BD CD在 ADB 和 EDC 中 :AD DEADB EDC ；BD CDADB EDC AB CE在AEC中，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得： AC AB AE AC AB 18 2AD 42 9 AD 21? 点评： 求线段的范围，一般利用三角形中 “两边之和大于第三边、 两边之差小于第三边”模块二、斜边中线与中位线一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1. 如图， 在 Rt ABC 中， ACB 90o， 直角ACB所对的边AB 称为 Rt ABC的斜边，由 ACBBCA，过点C 作 CD 交 AB 于点 D ，且

8、 DAC ACD 。Q DACACD ， AD CD .Q ACB 90o，BAC ABC 90o，又 Q ACD BCD 90o，BCD ABC ，BD CD ，BD CD AD ，2. 发现线段CD 为斜边 AB 上的中线，且等于斜边的一半。3. 作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4. 通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。二、出现三角形边上的中点，作中位线1. 中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接

9、用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.2. 中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3. 中位线辅助线能起到的作用：在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能.在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能.4. 通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线： 有两个（或两个以上）的中点时； 有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。熟悉以下两个图形：例 4. 如图， 在四边形的延长线分别交EFABCD 中，ABCD ， 点 E 、 F 分别是 BC 、AD 的中点，

10、 BA、 CD证法一：如则 ME 是MF 是AB CD ，G 、 H 。求证：BGECHE 。1 ： 连 结 BD ，BCD 的 中 位 线 ，ABD 的 中 位 线 ，ME MF ，并 取 BD 的 中 点 为 M ，1 ME CD ，连 结 ME 、MF ，MEFMF21 AB2MFECHEBGE ，证法二：如图2，延长GE 到 K , 使 EKMEFEH ，连结MFE ，从而BKBGECHE 。或者延长GE 到 K ,使 EK GE ，连结CK 也行。 （其余方法略）图1图2例 5. 已知：如图，ABC中， AB AC ，在 AB 上取点 D ，在 AC 延长线上取点E ，连结 DE 交

11、 BC 于点F ，若 F 是 DE 中点，求证：BD CE 。【分析】 ： 要证的 BD ， CE 不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，由于F 是 DE 的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动 BD 或 CE 的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问题得以解决。【证明】：方法一： 如图2， 过 D 作 DM CE 交 BC 于 M ， 易证DMF ECF , 再证 BD DM 。方法二： 如图 3，过 E 作 EG AB 交 BC 的延长线于G 。易证BDFGEF , 再证：EC EG。方法三： 如图 4, 在

12、AC 上取点H , 使 CH CE , 连结 DH 。则 CF 为 EDH 的中位线。再证： BD CH 。方法四 : 如图 5，在 AB 的延长线上取点N ，使 BN BD ，连结NE 。则FB为 DNE 的中位线 . 再证 BN CE 。方法五:如图 6,连结BE, 取BE的中点K ， 取 BC 的中点 M , 连结MK 、KF 。则MK 、KF 分别为中位线。再证KM KF ，得 BD CE 。方法六:如图 7,连结CD , 取CD 的中点H ，取 BC 的中点 I ，连结HI 、HF 。则HI 、HF 分别为中位线。再证HIHF , 得 BDCE 。例 6. 已知如图，于点 F 。求证

13、：ABC中， D 是 BC边的中点，E 是 AD 边的中点，连结 BE 并延长交ACFC 2AF 。如图 1，过点 D 做 DG BF ，交 AC 于 GD 是 BC 边的中点，DG BFFG GC 。 同理， AFFG2AF 2FG FG GC FC即 FC 2AF例 7. 如图 1-1 ，已知 Rt ABC中，AB AC ，在 Rt ADE 中， AD DE ，连结 EC ，取 EC 中点 M ，连结 DM 和 BM ， （ 1）若点D 在边AC 上，点 E 在边 AB 上且与点B 不重合，如图1-1 ，求证：BM DM 且 BM DM ；（2）将图1-1 中的 ADE 绕点A逆时针转小于

14、45o的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。图 1-1 中由于点M 为直角三角形斜边EC 的中点，显然要利用斜边中线的性质求解 . 图 1-2 中尽管 ADE 绕点 A进行了旋转，但M 为 EC 的中点的条件依然未变，于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。: （ 1）如图2，在RtABC 和 Rt ADE为公共斜边EC 的中点 ,DM1EC 2BM2，6232，624 2(5)90oBMDM 且 BMDM方法一 ：如图3：延长DM 至 FMFDMC

15、F ， BF ，延长 ED 交 AC 于易证：EMD CMFDEM FCMEN FCACB45o590o190o ( BAC) 45oABBC , ADDE CFBAD BCFBD BF ，ABD CBFDBFABC90oBDBFBDF 为等腰直角三角形MFDMBM DM 且 BM DM方法二 : 如图4，取AC 的中点 F ，取 AE 的中点 G ，连结 MF ， BF ， MG ， DG MF , MG 为中位线MF 1 AE , MG 1 AC 221DG 为斜边中线 DG 1 AE21DG MF 。同理，GM AC BF2MF AGAFMG 为平行四边形.1234，90o23DGM M

16、FB1.如图1，在BMDM ,GMDMBFGMD BMGBM DM 且 BMMBFDM图4ABC中，ABAC5， BCBMG 90o6 ，点 M为 BC 中点，MNAC 于点 N ，则 MN 等于（A162. 如图，ABC中，A=90o，且 DEDF ，若 BE3， CF12D5D 为斜边 BC的中点，4 ，试求EF 的长。E 、 F 分别为AB 、AC 上的点，A3. 如图， 在ABC中，AB> AC， E 为 BC边的中点，AD 为BAC的平分线，过 E 作 AD的平行线，交AB 于 F ，交 CA的延长线于G 。求证：BF CG4. 如图所示，已知D 为 BC 中点，点A在 DE

17、上，且AB CE ，求证：2。BDC5. 如图， ABC 中， D 是 BC边的中点，BE AC 于点 E ，若 DAC 30o，求证：AB DE 。6. 如图，已知正方形ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC、 AB 的中点。求证：AG ADC【横向拓展】7. 如图，正方形CGEF 的边 CG 与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上（CG> BC ），连结 AE ，取线段AE 的中点 M 。探究：线段MD 、 MF 的关系，并加以证明。1 .C2 .【分析】连接 CG 、练习题目答案如下图， 可以把 ED 看作 EBC 的一条中线。FG 。则CDG BDE ；所以 CG BEB1

18、=90o，所以12= FCG =90 oDF 垂直平分EG ，所以FGEF在 Rt FCG 中，由勾股定理得FGCG2 CF23.【分析】：如下图，可以把FE 看作连接 CH 。则 CEH BEF，所以 CH因为EG AD ，所以 12，延长 ED 至点 G ， 使 DG3，2 B。32 42 5，所以EFFBC 的一条中线；延长FE 至点 H ，使 EHBF ，3又因为 23，所以1G ，所以由此得CH CG 。所以BF CGHG；H1。ED ，5。FE ，AD ，连结 CF1F4. 【提示】：证法一 ：如图1 ，延长ED 到 F , 使 DF易证ABD FCD 。 AB CF , AB CE , CE CFF212（ 证法二 ：如图2，取AC 的中点 G ，取AE 的中点H ，连结 DG 、 GH ；利用中位线来证明。） （其余方法略）图1图25. 【提示】：证法一 ：如图1 ，取CE 的中点 G , 连结 DG ，所以，DG 为中位线，得DG 1 BE , 由21BE AC得 AGD 90o, 在 ADG中， DAC 30o， 得 DG AD ,于是 AD BE 。2（ 证法二 ：如图2，取BE 的中点M , 连结 DM ，类似法一可证AD BE 。 （其余方法略） ）6. 【提示】：证法一， 如图1，延长CF 、 DA交于H ，易