辅助线练习版

1、天才是百分之一的灵感加百分十九十九的努力辅助线练习版一、翻折构造例1 如图1 ,在等腰直角AABC的斜边AB上，取两点M、N ,使/ MCN=45记AM=m , MN=x , BN=n 。则以x、m、n为边长的三角形的形状是（）A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.随x、m、n变化而变化分析：要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集 中到同一个三角形中；如何用好已知条件中的/MCN=45 0 ,应同时考虑ZACM+ / BCN=45 ° 。为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将 4ACM沿CM翻折（如图），这样 可将m、x两条线段集中。冉

2、连接 PN,若能证明PN=BN ,则长为x、m、n的三条 线段就集中到了 4PMN中。由/ACM+ /BCN=45 ° , / PCM+ / PCN=45 ° . . / BCN= / PCN ,可证BCNzXPCN, PN=BN=n 。 ./MPC= /A=45 0 , /NPC=/B=45 ° . . / MPN= ZMPC+ / NPC=90 °以x、m、n为边长的三角形的形状直角三角形。提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造。二、旋转构造例2 如图2,已知O是等边三角形4ABC内一点，/A

3、OB、/ BOC、ZAOC的度数之比为6 ： 5 ： 4,在以OA、OB、OC为边的三角形中，求此三边所对的度数分析：解决此题的关键依然是要将 OA、OB、OC三条线段集中到同一个三角形中。考虑到等边三角形的的特点，若将4AOB绕A点旋转60 0到4AMC ,因为4AOM为等边三角形，MO=AO ,又OB=MC ,则OA、OB、OC就集中到了 4COM中。OA、OB、OC为三边所对的角即为求 4COM的三个内角。由/AOB、/BOC、/AOC 的度数之比为 6 ： 5 ： 4,设/AOB=6x , / BOC=5x ,/ AOC=4x则有 6x+5x+4x=360, x=24,/AMC= /A

4、OB=6x=144 ° , / AOC=4x=96 ° 由/AOM= /AMO=60 ° ./MOC= /AOC-/AOM=36 ° ; / OMC= / AMC- / AMO=84 °/ACM=180 0 - (/MOC+ /OMC) =60 °以OA、OB、OC为边的三角形三边所对的度数分别为： 60°、36°、84°。提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。三、轴对称构造例3如图3, /AOB=45 0

5、,角内有点P, PO=10 ,在两边上有点Q、R （均不同于O）,则4PQR的周长的最小值是。分析：要确定4PQR的周长最小，关键是如何确定 Q、R的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。已知条件中/AOB=45 0 ,如果分别作P关于OA、OB的对称点M、N,连OM、ON,根据轴对称性质则有/MON=90 0 ,可构造出直角三角形。作P关于OA、OB的对称点M、N ,连MN与OA、OB的交点Q、R,由轴对称性质，止匕时4PQR的周长的最小，最小周长等于线段 MN的长度。连 OM、ON 0 由轴对称性质，OM=OP=ON=10 , / MON=90 ° , MN=10 值提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。四、特殊构造例 4 如图 4,在四边形 ABCD 中，/ABC=30 ° , / ADC=60 ° , AD=CD 。求证:BD2=AB2+BC2 。分析：所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。/ABC=30 0 ,已BC为边向外作等边三角形 ABCE,贝U可得至U /ABE=90 ° , BC=BE ,可将AB2+BC2转化为直角三角形4ABE中AB2+BE2。这样只需证明AE=BD即可。由/ADC=60 0 , AD=CD ,连接 AC,则