数列通项公式的求法(较全)

1、常见数列通项公式的求法公式:等差射列的定义£ -口一45之2）等差数列的通项公式4 勺+5 T”等差数列的求和公式S” "3- 勺）=叫+ “（丁）等差数列的性质4 - 4 = 口 r + 4 （而-元=F + 9） L尸中等比数列的定义工=牙5之2）4-i等比数列的通项公式4三勺"7等比数列*（勺一口*厘_皿1 一 ,）等比数列的求和公式3- g =1）等比数列的性质久% = %<%<»< +林=广+ g）1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出ai与d或诩与q，再代入公式 an=a1+（n-1d或an =aqn。

2、中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上 2, 5, 13后成为等比数列bn的b3,b4,b5,求数列bn的的通项公式.练习：数列 Q 是等差数列，数列 3是等比数列，数列 J中对于任何n w N*者B有,-127 一、，cn =an -bn,c1 =0,02 =一，03=，c4 =一，分别求出此二个数列的通项公式.6954-可编辑修改-形如an4-an = f (n 乂已知a1)型的的递推公式均可用累加法求通项公式.(1) 当f(n)=d为常数时，an为等差数列，则an=a+(n1)d ；(2) 当f (n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an书一an = f

3、(n碍当 n 之2 时,an an=f (n 1)an1an_2=f n _ 2a3 - a2 = f 2a2 - a = f 1以上(n -1斤等式累加得an -a1 = f n -1 +f n-2 IH f 2 f 1an =a1f n-1 +f n-2 III f 2 f 1(3)已知a1，an书-an = f (n ),其中f (n )可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通 项.若f (n )可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f (n )可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f (n )可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若

4、f (n )可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列an中已知a1 =1,an由一an =2n-3,求an的通项公式.练习1：已知数列an满足an =an+3n+2且a1 = 2,<an.练习2：已知数列an中，a1 =1,an书an =3n 2n ,求an的通项公式11.1 1练习3：已知数列 峪满足a1 = ,an4 =an+一，求求的通项公式2n n3、累乘法 形如a? " f(n)(已知ai段的的递推公式均可用累乘法求通项公式给递推公式an±= f (n )(n W N+)中的n依次取1,2,3,n1,可得到下面n1个式子: a n四=f 1

5、,a3 = f 2 ,a4 =f 3 ,|l,.= f n-1 .aia?a3an利用公式an =a1M生父名父旦父III父乌-,(an #0,nw N十)可得: a1 a2 a3an Jan =a1 f 1 f 2 f 3 HI f n -1 .2n例3、已知数列an满足a1 =，an噌 =an求an.3 n 1,. a n 2,，练习1：数列an中已知 切=1,龙=,求an的通项公式 ann练习2：设an是首项为1的正项数列，且(n +1)a2书na2 +an由an = 0 ,求Ln的通项公式-可编辑修改-4、奇偶分析法(1)对于形如an+an = f (n理的递推公式求通项公式当为 ,

6、+4 =d(d为常数)时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.当f (n )为n的函 数时，由an书+an = f (n ) , an +an=f (n-1)两式 相减，得到 an+1 an。 = f (n ) f (n -1),分奇偶项来求通项.例4、数列an满足ai =1,an+an =4,求 匕的通项公式.练习：数列 匕0满足为=6en+ + a。= 6 ,求a。的通项公式.例5、数列 心满足a1 =0,an由十an =2n ,求QJ的通项公式练习1：数列an满足a1 = -1,an+ +an =n -1,求an的通项公式练习2：数列an满足a

7、1 =2,an书+ an =3n1 ,求an的通项公式(2)对于形如an+an = f (n理的递推公式求通项公式当an+an =d(d为常数阳，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.当f(n)为n的函数时，由an+an= f (n ),and口 = f (nT )两式相除，得到a =f( n ),分奇偶项an-1f n-1-可编辑修改-an 满足a =2,an斗an =4 ,求an的通项公式.来求通项.例6、已知数列-可编辑修改-练习：已知数列. .2. 一斗满足a1 =,an41，an = -2 ,求的通项公式.3例7、已知数列an ）满足 ai

8、 =3,an+ an - .2|,求an的通项公式.练习1：数列an满足阚=2,an中,% =3n,求an的通项公式练习2：数列an满足ai =1,an中，an =2n,求&的通项公式5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求 an较又t，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有：（1）an + = pan+q（p,q为常数）=an*+t = p（an+t）构造an+t为等比数列.3 an十=pan +tpn% p为常数理山士 相居+ tp p-可编辑修改-.n + .米Zr, 两边同时除以pn+Hn41PHn,百f分.开H,.,。、

9、an + = pan+tq中(t, p,q为吊数)p一 支=上4+t,再参考类型(1)(3)q q q(4)an i = pan qn r p,q,r是常数 一 an 1 n 11 - p an - n -(5) anq2 =pan书+qan= an率-tan+ = p(an*-tan )构造等比数列an书tan例8、已知数列an中，a1 =1 , an4=2an+3,求an.练习：已数列值中，ai =1且an+=1an+1,则an =.2例9、已知数列&中，4=3自中=3an+3",求an的通项公式练习1：已知数列an中，a =一3自=2an+2n,则an =.2练习2：已

10、知数列4中，a1 =2,an+=3an+4 3n,求Ln的通项公式3例 10、已知数列an满足 an¥ =6an+2nta1 =1，求an.练习1：设数列an满足ai =1,an书=3an+2n ,则an =r.511 Y平练习2:已知数列an 中，a1 = , an+ = an + (，求 为.630-可编辑修改-练习3：已知数列 Qn(nw N*)的满足：a1=1 -3k,an = 4nl-3anj1n -2,k ,k R7(1)4n 判断数列Ian - '是否成等比数列；7例11、数列an中已知a1 =1,an书=2an +3n,求an的通项公式练习1：数列an中已知a

11、1 =2,an+=3an -n+2,求an的通项公式练习2：数列an中已知ai =2,an#=3an+2n2 n+2,求an的通项公式例12、已知数列an中，a1 =5,a2 =2,an =2an+3an(n 3 ),求求QJ的通项公式.,21, 练习1：已知数列an中，a1 =1,a2 =2,an+2 = an+1+ an ,求求an的通项公式.333练习2：在数列an中，ai =1, a2 =一532人and2 =an# 十一 an ,令 bn =an由一an 。53(1)求证:数列 bn是等比数列，并求 bn(2)求数列an的通项公式6、利用an与Sn的关系a1n = 1如果给出条件是a

12、n与Sn的关系式，可利用an =1求解.S -s,n_2例13、已知数列an的前n项和为Sn =n2 2n+3,求 匕0的通项公式1 2, r练习1：已知数列 Q的前n项和为Sn=-n -n+3,求an的通项公式 43r ，练习2：若数列an 的前n项和为Sn = an 3,求小的通项公式2-可编辑修改-练习3:已知数列an 前n项和Sn =4 - an1.F，求Ln 的通项公式.27、倒数法(1) 为书= 工=阻& =1+9,构造!2I是等差数列qan pan 1panan Panpan1qan t _ t 1 qan 1=一qan tan 1 PanP anP2Sn r r例14、

13、已知数列an 满足ai=1, an书=n,求an 的通项公式 3an 2练习：已知数列an中，a1=3,an+= an ，则an =1 2an例15、已知数列an满足a=1,2a . . ,an =,求an的通项公式3an j 4.22a.练习：已知数列an中，a1=且科=一n-,则an =31 an8、an+ = pan (p >0,an >0 ) t Igan由=lg p +rlg an,转化为ae= pan + 严例 16、已知数列an中,a =100,an+=10 a；,求 an练习：已知数列an中,3,、a1 =2,an4 =2 an,求 an9、其他例17、已数列 配中，a1 =-1, anj1 an=an5an,则数列通项an =例18、在数列aj中，a1 = 1, n>2时，an、Sn、Sn -成等比数列.2(1)求az - H；(2)求数列口的通项公式.例19、已知在等比数列an中，a1 =1,且a2是a1和a3 1的等差中项.(1)求数列an的通