解含绝对值的方程

1、“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。一.运用基本公式：若因=uWS,则工，上/解方程例1.解方程77=1解：去掉第一重绝对值符号，得忖-1卜1= ±1移项，得吐卜2或|l1|=Q所以'所以原方程的解为：/三 3P = -1 f = 1例 2.解方程 K+4i-5|=6-"解：因为|户口工一车屋每所以” I 一"-即一44工 （1）或一1解方程（1）,得二一 一一解方程（2）,得又因为15-2工之口

2、，所以所以原方程的解为.运用绝对值的代数意义-a（a >05（屋0）解方程例3.方程的解的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4E 4 以上解：方程可化为1工一卜一"7所以xT二°，所以二1所以方程的解有无数个，故选（D） o三.运用绝对值的非负性解方程例4.方程砂田彳-尸+1=°的图像是（）A.三条直线：温=出¥ = °,工7 + 1=0B.两条直线:C. 一点和一条直线：（0, 0）,其一）D.两个点：（0, 1） , （-1,0）解：因为卫°工-"之。所以-+ 1= 0所以所以原方程的图象为两个点（0,

3、 1） , （-1,0） 故选（D）。四.运用绝对值的几何意义解方程例5.解方程以-附"q=5解：设出立百。）、y-2）,由绝对值的几何意义知|工-平皿|耳+牛AC所以一 ,又因为即邛一（-济5所以-从数轴上看，点/落在点以-2）与点3的内部（包括点，-2）与点现3） 在内），即原方程的解为.一:二五.运用方程的图象研究方程的解例6.若关于x的方程依一之卜旧门有三个整数解，则a的值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：作=1M-2卜1|的图象，如图i所示，由于方程II工一2|旧口解的个数就 是直线二口 1尸=”兀-47的图象的交点个数，把直线厂二“平行于x轴上、下 移动，通

4、过观察得仅当值二1|时方程有三个整数解。故选（B）。同时，我们还可以得到以下几个结论:(1)当，口时，方程没有解;当，二口或an 1时，方程有两个解;(3)当口 C <1|时，方程有4个解。中考数学试题分类解析汇编专题1 :实数、选择题1. （2012广东省3分）-5的绝对值是【】A.5 B.1 1-5C.5 D. -5【答案】A【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，得| - 5|=5。故选A2. （2012广东省3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为A.0.64 X107B. 6.4 X 106C. 64 X105D. 640 X 104【答案】Bo【

5、考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 aX10n,其中1 <|a| <10, n为整数,表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的 值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整 数位数减1;当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点 前的 1 个 0）。6400000一共 7 位，从而 6400000=6.4X 106 0 故选 B。13. （2012广东佛山3分） 立的绝对值是【】1 1 A. 2B.-2c 2D.2【答案】C【考点】绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的

6、定义，在数轴上，1 1 1 1点2到原点的距离是& ,所以2的绝对值是2。故选。4. （2012广东佛山3分）与2 + 3 + 4运算结果相同的是【】A. 4+ 2+3B. 2+ （3X4）C 2+ （4+ 2）D, 3+ 2+4【答案】Bo【考点】有理数的乘除运算。【分析】根据连除的性质可得：2-3-4=2+ （3X4）。故选Bo5. （2012广东广州3分）实数3的倒数是【】1 1 A. - ； B. ：C. - 3D. 3【答案】Bo【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即1用1除以这个数.所以3的倒数为1+3+。故选B。6. （2012广

7、东广州3分）已知RTF师R，则a+b=【A. - 8B. - 6C. 6D. 8【答案】Bo【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。【分析】刊+历7 ,我不“，,.a-1=0, 7+b=0,解得 a=1, b= - 7。.a+b=1+（ -7）=-6o 故选 Bo1 丫7. （2012广东梅州3分）I3=【A. - 2 B. 2 C. 1 D. - 1【答案】Do【考点】零指数幕。©Il【分析】根据任何非0数的0次幕等于1解答即可：【2 。故选d。8. （2012广东汕头4分）-5的绝对值是【】A.5 B.-5 C.【答案】Ao【考点】绝对值。【分析】根据负数的绝对值等

8、于它的相反数，得| - 5|=5。故选Ao9. （2012广东汕头4分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为1A. 0.64 X 107 B. 6.4 X106 C. 64 X 105 D. 640 X104【答案】Bo【考点】科学记数法【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 axion,其中1 <|a| <10, n为整数,表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的 值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整 数位数减1;当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点 前的 1 个 0）。6400000一共

9、 7 位，从而 6400000=6.4X106。故选 B。10. （2012广东深圳3分）3的倒数是【】1 _1A. 3B. -3C. 3D。 $【答案】Do【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即1用1除以这个数.所以一.3的倒数为1+ （ 3） = *。故选Q11. （2012广东深圳3分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000 元再创新高.将数143 300 000 000用科学记数法表示为【】A, L4而/b。L433xl* C。皿取肝D 。卢【答案】Bo【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示

10、形式为 aX10n,其中1 <|a| <10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的 值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整 数位数减1;当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点 前的 1 个 0） 。 143 300 000 000一共 12 位，从而 143 300 000 000=1.433 X 1011。 故选Bo12. （2012广东湛江4分）2的倒数是【】1 11A. 2B, - 2C, 2D. - 2【答案】Co【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1

11、1除以这个数.所以2的倒数为1 + 2互。故选Co13. （2012广东湛江4分）国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江 钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产 10200000吨钢铁，数据10200000用科学记数法表示为【】A. 102X 105B. 10.2 X106C. 1.02 X106D. 1.02X107【答案】Do【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为aX10n,其中10|a| <10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的值时， 看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1

12、时，n为它的整数位数 减1;当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1 个 0） 。 10200000一共 8 位，从而 10200000=1.02X 107 0 故选 D。14. （2012广东肇庆3分）计算-3 + 2 的结果是【】A. 1B. 7C. 5D.7【答案】Bo【考点】有理数的加法。【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解：3+2= （32） =-10故选Bo15. （2012广东肇庆3分）用科学记数法表示5700000,正确的是【】A.b. 57x10'cD【答案】Ao【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为

13、axion,其中1 <|a| <10, n为整数,表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的 值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整 数位数减1;当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点 前的 1 个 0）。5700000一共 7 位，从而 5700000=5.7X 106 0 故选 A。16. （2012广东珠海3分）2的倒数是【】A. 2B. - 2C.【答案】Co【考点】倒数。【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即£用1除以这个数.所以2的倒数为1+2=2 o故选c。、填空题1.

14、（2012广东省4分）若x, y为实数，且满足X-学卜冉二用,则内 的值是 .【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使.一*冉有=° ,必须有玄3=0且y-3=» ,即x=3, y=3。02. （2012广东梅州3分）使式子有意义的最小整数m是 .【答案】2。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使、力在实数范围内有意义，必须m -2>0m>2所以最小整数m是2。3. （2012广东梅州3分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000

15、千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 千瓦.【答案】7.75 X 105。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 axion,其中1 <|a| <10, n为整数,表示时关键要正确确定 a的值以及n的值。在确定n的 值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整 数位数减1;当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点 前的 1 个 0）。775000一共 6 位，从而 775000=7.75X 105。4. （2012广东湛江4分） 若二次根式 后有意义，则x的取值范围是_ .【答案】区空。【考点】二次根式有意

16、义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须基-1川=仝1。、一攵巧、5. （2012广东肇庆3分）计算 ' 5的结果是 .【答案】2。【考点】二次根式的乘法。【分析】根据二次根式乘法进行计算:o. UOk厂烹堇氏3分）观察下列一组数：-,.,它们是接一定规律排列的, 3 5 7 9 11那么这一组教的第k个数是4.工考点】分类归纳皴字的变化美）.工分析】根据已知得出数字分母与分子的受化期律工分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，第k个数分子是2k,分母是a+1.，这一组数的寓k个数是土.2kl工nuiir海4分）计亶La .3 2【等案】一LG

17、t考点】有理数的减法.K分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计董日阿求裨1 1_i （ 1 n_ 13 2 3 2） 12 3） 68. （2012广东珠海4分）使忘与 有意义的x的取值范围是.【答案】x>2【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使“工方在实数范 围内有意义，必须=三、解答题1.（2012广东省6分）计算:5一2行瓦 j+r1解：原式=2"?。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幕，负整数指数幕。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幕，负整数指数幕3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算

18、结果2.（2012广东省7分）观察下列等式：第1个等式:、=白=；乂在./；第2个等式：叫=总=孑4_?,=_L=lx(l-b, =_L=lxd-b第3个等式：巧5x7 2 5 7；第4个等式：、7x9 2 7 9请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5=;(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an= (n为正整数)；(3) 求 ai+a2+&+a4+aioo 的值.1 lx(l_ 1【答案】解：(1)两S'，'、一行1 1 / 1 1、(2)(如T)x(THH)工 2H-1 2ntl o=lx4-llx d-l)+lxd- L J_- L(3) ai+&a

19、mp;+a3+O4+aioo ?523 525/ 上 1 野上。1If 1111111、1 11 2M IttO=k 1+-+-+=x 11= x =2 I 3 3 5 5 71» 201J 2 1 201J 2 201 201【考点】分类归纳(数字的变化类)。【分析】(1) (2)观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1;分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的 2倍减 1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律计算。3. (2012广东梅州7分)计算：卜道卜4适+'Niiii刷"十(1)【答案】解:0【考点】实数的运算，绝对值，算术平方

20、根，特殊角的三角函数值，负整数指数幕。【分析】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幕 4 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。4 . （2012广东汕头7分）计算：6时".【答案】解：原式=2 昼2。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幕，负整数指数幕。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幕，负整数指数幕 3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。5 .（加公分）计篝；|4|十4尸-（召-1）。一花w45口工答案】解1原式:442-1-20 乎=4+2-1-2=3【考意】实数的运算，绝对值,负整数指歌霹，零指敖霖，二次

21、根式化而，特殊角的三角函数值.X分析】针对绝对值,负整数指数累，零指效索二依根式化简，恃珠角的三角函数值、个考点分别进行 计算，然后根据频的运菖法则求得计算结果0 注（W12广东湛江6分）计算；|-3|-”4-2。12）"【答案】解：原式=A 2岂=3I考点】寒T的运算，绝对值，算术平方根，零指教黑.*分析】斜对葩对值，算术平方根，窗旨软源M个考点分别进行计算，然后根据买数的运算法则求得计国 结果工三（加12r东肇庆U分）计算； 卜3妻卜5M 45"+4”，【答案】解,京式I点-15k立J = "W7*国万”.2 44 4工考点】实故的运算,绝对值，特殊培的三角函

22、数值，负整翔旨放需.【分析】斜对绝对值，恃殊角的三角磁值，负整数指数嘉3个考悬分别进行计算，然后根据实数的运菖 法则求得计算结果08.（2012广东,未海6分）计算：国一叫期2rHi【答案】解：原式=2 1+1-2=0o【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幕，负整数指数幕。【分析】针对算术平方根，绝对值，零指数幕，负整数指数幕 4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果专题2:代数式和因式分解一、选择题1. (2012广东佛山3分)九r等于【】A.0B. *C.D. 【答案】A【考点】同底数幕的乘法。【分析】根据同底数幕的乘法法则，同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即：

23、00 故选 a。2. (2012广东广州3分)下面的计算正确的是【】A. 6a-5a=1B. a+2a2=3a3C. - (a-b) =-a+bD. 2 (a+b) =2a+b【答案】C【考点】去括号与添括号，合并同类 项。【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数 ，字 母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号 内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内 各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案：A 6a- 5a=a,故此选项错误；B、a与2a2不是同类项，不能合并，故 此选项错误；G - (a-b)

24、=-a+b,故此选项正确；D> 2 (a+b) =2a+2b,故此选项 错误。故选Co3. (2012广东汕头4分)下列运算正确的是【】烟)A. a+a=a2B. ( a3) 2=a5C. 3a?a2=a3D. 1【答案】a【考点】合并同类项，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法。【分析】根据合并同类项，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法运算法则逐 计算作出判断：A、a+a=2a,故此选项错误；B、( - a3) 2=a6,故此选项错误；23C、3a?a2=3a3,故此选项错误；D1,，故此选项正确。故选D4. (2012广东7圳3分)下列运算正确的是【】A, 2注十3石=5曲Bo /砂-

25、c。(切3口。八【答案】Bo【考点】合并同类项，同底幕乘法和除法，幕的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项，同底幕乘法和除法，幕的乘方和积的乘方运算法则逐 一计算作出判断：A.如和劝不是同类项，不可以合并，选项错误；B.餐2 =1=六选项正确；c.(州三炉-5，选项错误；D.号/ =产=叫选项错误。故选Bo5. (2012广东湛江4分)下列运算中，正确的是【】A. 3a2 - a2=2B . (a2) 3=a5C. a3?a6=a9D. (2a2) 2=2a4【答案】C【考点】合并同类项，同底幕乘法，幕的乘方和积的乘方。【分析】根据合并同类项，同底幕乘法，幕的乘方和积的乘方运算法则逐一计算

26、作出判断：A 3a2- a2=2a2,故本选项错误；B、(a2) 3=a6,故本选项错误；C a3?a6=a9,故本选项正确；D (2a2) 2=4a4,故本选项错误。故选Co6. (2012广东肇庆3分)要使式子点二1有意义，则工的取值范围是【】A.B.CZCl"D 产 £2【答案】Ao【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 万N在有意义，必须= 故选a7. （2012广东珠海3分）计算-2a2+a2的结果为【】A. - 3aB. -a C. - 3a2D. - a2【答案】a【考点】合并同类项。【分析】根据合并同类项法则（把同类

27、项的系数相加作为结果的系数， 字母和字 母的指数不变）相加即可得出答案：-2a2+a2= - a2 0故选D 二、填空题1. （2012广东省4分）分解因式：2x2-10x= .【答案】2x （x-5）。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2-10x=2x（x-5）。2. （2012广东广州3分）分解因式：a3 - 8a= .【答案】a （a+2我）（a-2A ）。【考点】提公因式法和公式法因式分解。【分析

28、】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：a3- 8a=a （a2 - 8） =a （a+2，£ ） （a- 2我）。3. （2012广东梅州3分）若代数式-4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为 .【答案】3。【考点】同类项。【分析】根据同类项的定义列式求解即可：二,代数式-4x6y与x2ny是同类项，2n=6,解得：n=3。4. （2012广东汕头4分）分解因式：2x2- 10x= .【答案】2x （x-5）。【考点】提公因式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平

29、方差式， 若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2-10x=2x （x-5）。5. （2012广东汕头4分）若x, y为实数，且满足b一邛后三=。值是 .【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使X-3+炉与斗，必须有aAh-3=07-5=41 即 x=3, y=3。 UJ UJ6. （口匕广东潮M $分）分解因式:：/一 口二 上1答案】 aabwa-b i.1考点】提取公因式法和应用公式法因式分解.t衡】 # - ClV = a £ -I? | H 讨一由丁三、解答题1,二onf省甘分）先化窗

30、 再求值;txi-3） 3） -X（X- 2）,耳中外41答案】解；襟式f2 - 9-点+?衿加-§口当*=4时，原式二参4 - 9= - L【考点】整式的混合运算（化茴求值）.【分析】先把整式进行化简，再把"二代人进行计尊即可.aib btc2.（2012广东佛山6分）化简：力【答案】解：原式【考点】分式的加减法。【分析】应用分配率较简便，也可先通分，再计算。3. （2012广东广州10分）已知鼻石（awb）,求人任一可 4一1）的化土中近【答案】解：:鼻“，.二餐 ,5 ,卜_ £二1? _加卜）（上可_m口写b/j现三叫£g通（£同由&q

31、uot;。【考点】分式的化简求值。U 二行色=行*-【分析】由a G 得出# ，对h（=-b） Xa-h）通分（最简公分母为#（一力），分子因式分解，约分，化简得出 击，代入求出即可。4. （2012广东汕头7分）先化简，再求值：（x+3） （x-3） x （x-2）,其 中 x=4.【答案】解：原式=x2 9-x2+2x=2x- 9。当 x=4 时，原式=2X4 9=- 1。【考点】整式的混合运算（化简求值）。【分析】先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可。5. （2012广东汕头9分）观察下列等式：.=m第1个等式：1X* 23 ；,=J_=lxd-b第2个等式：眠5 235；第3个

32、等式：a?第4个等式:"7x9 279.请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5=;(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an= (n为正整数)；(3) 求 ai+a2+a3+&+aioo 的值.【答案】解：(1)疝六万工。2 211T 蛇2 2)。(3)21+&+&+&+aioo25 2 3 5 2 5 7 Z 201【考点】分类归纳(数字的变化类)。【分析】(1) (2)观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1; 分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的 2倍减1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律计算。

33、l + l)a3+2oft + &26. (2012广东深圳6分)已知良=-3, *=2,求代数式。工 口科的化当0= 3,力=2时，原式=卜小”前K专虑】分式运筹法则口【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法I的分化商,然后代八-a t=2的值，求出特殊 角的三龟函数值后进行二次根式化茴.工二012广东湛江6分）计菖工 -.x-1 K1 -1【答案】即 原式=二3'1 11 X - 1 I I x+l 'I K- 1 I I x+ 1*1 K - 1 * x -1E考点】分式的加湿法.8妇o&rsrts庆亍分)K答鎏】解：原式曰!1 芯- f当柠一4对，r分析】首先通分，然后利用同分圜的分式相加斌的运算法就求解即可，注意运算踣里需优为岸宣。先化简，后求值：(u其中区。一4戈-1 /-1I S +1-1 I 国 IX +1 11 -1 I士 F4 .原式二一4十上二一工X x-1 H1考点分式的化茴求值口1分析先将括号内的部分通分，再将括号外的分式因式分解，然后根据分式的除法法则.将除法转化为 乘法解答.(x 1 A平+1)9. (2012广东珠海6分)先化简，再求值：UT 3t rJ ,其中太-T 附小叫1【答案】解：原式=X"T)*T)