量子力学总复习2014

1、第一公设：波函数公设“一个微观粒子体系的状态，用一个波函数(x, t)来完全描述，它（可以）是粒子的坐标和时间的函数。而且在(x, t)的分布区域中找到粒子的几率由dP=dv表示，这里为的复数共轭。从而，(x, t)在其分布区域中必须处处单值、连续、可微(除个别点、线、面之外)，对此区域的任意部分都是平方可积的。”体系的量子态用Hilbert空间中的 态矢量表示。 2.1 波函数的统计解释Hilbert空间中存在不同的力学量表象 4.1态的表象波函数的归一化问题波函数的性质，要求流密度的意义与应用波函数的意义，几率诠释，性质力学量本征态在自身表象中的表达波函数的几率解释波函数的要求。归一化 几

2、率及几率流密度 束缚态，非束缚态态矢态叠加原理 希尔伯特空间第二公设：算符公设“各力学量(可观察的物理量)均分别以线性厄米算符表示。这些算符作用于态的波函数。在这种由力学量到算符的众多对应规则中，基本的规则是坐标x和动量p向它们算符、的对应。这个对应要求。” ixppx 并不是所有量子力学的力学量算符都有经典力学量与之对应。，例如，量子力学中的自旋 22112211)( AcAcccA iprr prL 22222 pKVVKH 222 3.1表示力学量的算符 3.2动量算符与角动量算符第一公设和第二公设结合：如果有一个特殊的态 存在，)()(rrnnn )()(rarAnnn 是 的本征值为

3、an的本征函数)(rn )(rn A)(r )(rn A只要 是可观察力学量，也即 的本征函数构成完备集，则一定可用 的本征函数族将任意态 展开：)(rn Ex.自由粒子的动量算符的本征态定态 本征函数完全系 正交归一性定态特点，定态性质定态的叠加表象 3.5厄米算符本征函数的正交性力学量算符在表象中的表示第三公设：测量公设或平均值公设 rdrrrdrArA3*3*)()()()( ” rdrArA3*)()( “一个微观粒子体系处于波函数为 的状态，若对它测量可观测力学量的数值，所测得的的平均值(期望值)为)(r 若(r)是归一的，则 3.6力学量算符与力学量的关系平均值 的计算第一，平均值

4、是指对大量相同的态 作多次观测的平均结果。这里有所谓多次平均测量结果和单次测量结果。)(r 第二，如果 不是算符的本征函数，只要是可观察力学量，也即 的本征函数构成完备集，则一定可用 的本征函数族 展开：这里 是 的本征值为an的本征函数， )(r )(rn AA)(rn A)()(rrnnn )()(rarAnnn 在单次测量中，测得的数值必定总是的本征值之一，不可能是本征值以外的数值，这是和经典力学测量截然不同之处；得到该力学量某个本征值的几率是被测态波函数对该力学量本征态展式的相应系数的模方。作为决定几率权重的这些系数随被测态的演化可能会随时间变化。 处于某力学量本征态下，对该力学量的测

5、量取确定值。 nnnnnaA22 第三，即使在量子力学实验中，测量的数值总应当是实数(力学量的取值总应当是实数)，所以要求对任一波函数 ， 均为实数。事实上这是被保证了的。因为 是厄米算符，于是有)(r AA *)()()()(rdrArrdrAr 第四，每次测量之后，态 即受严重干扰，并总是向该次测量中所得本征值的本征态突变过去。就某一单次测量而言(除非 已是该被测力学量的某一本征态)，究竟向哪个本征态突变，就象测得的本征值一样，是完全不能预先预言的。就是说，由测量引起的突变总是向被测力学量 的本征态之一突变，而且这种突变是随机的、无法预计的、不可逆的、超出量子力学描述范围的。 )(r )(

6、r A第二公设和第三公设结合：厄米算符 力学量算符矩阵的特点：厄米矩阵第四公设：微观体系动力学演化公设或Schrdinger方程公设 如果说在“测量公设”中所涉及的状态坍缩是随机的、不可预测的，不符合经典观念的因果律的话，那么在本公设中完全规定了状态波函数随空间和时间的变化规则。这里不存在任何随机的、不可预测的成分。就是说，描述状态的波函数是完全遵循经典观念下的因果律的。这两方面态演化的决定论形式和态测量的随机坍缩形式的有机结合就是微观世界的新的因果律，是de Broglie波达到因果律。“一个微观粒子体系的状态波函数满足如下薛定谔方程),(),(),(),(),(trirHtrprHttri

7、 这里 为体系的哈密顿算符，又称为体系的哈密顿量，H”)(2)(2)(222rVrVprVTH 定态问题2.3 薛定谔(Schrdinger)方程几个薛定谔方程解析求解的体系：一维无限深势阱一维线性谐振子库伦场（氢原子）本征能量22228naEn axaxaxanaxn02sin1)(）（ 本征函数)()(221nnnHeN)()(2221xHeNxnxnn本征函数本征能量nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 lmnlYrRrnneZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 2.6一维无限深势阱2. 7 线性谐振子

8、3.3电子在库仑场中的运动 3.4氢原子能级的简并量子力学的第五个公设：全同性原理公设量子力学的第五个公设：全同性原理公设 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。2 2 个Fermi 子体系，其反对称化波函数是以但粒子波函数表示)()()()(21),(),(21),(2121122121qqqqqqqqqqjjiiA 波色子费米子全同粒子 )cos1( mchAhmVm 221第一章第一章黑体辐射谱密度光电发射

9、康普顿散射 dTkTcdT),(8),(23 KmbbTm 310897. 2 42833424/1067. 5158 KmWhckTE 经典物理理论结构特征 hK绝对黑体：辐射 、反射 、吸收、谱波长红限 普朗克常数 所有本课提及的物理史的重要实验1.0 经典物理理论的内容与结构特征1.1 辐射（光）的微粒性波尔原子论（波三点）phhE/ 德布罗意波概念波长与波矢1.3 原子结构稳定性的Bohr理论定态满足量子化条件：3,2, 1 nnLL其其中中的的整整数数倍倍，即即只只能能取取电电子子的的角角动动量量原子具有能量不连续的E1,E2,., En （稳）定（状）态；hEEmnmn 定态之间存

10、在量子跃迁；同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率：1.4 德布罗意wave-particle duality假设波粒二象性性的概念与表述，辨析错误“颗粒性”+衍射、 干涉；叠加原理成立态：波函数的统计解释（ 几率和几率密度）、标准条件、归一化涵义 2.1 波函数的统计解释2.2 态叠加原理态叠加原理表述，涵义（贯穿所有章节）混合态的几率2.3 薛定谔(Schrdinger)方程意义、形式（自由粒子、势场中）i的含义2.4粒子流密度和粒子数守恒定律三种密度三种流密度数学形式 2.5 定态薛定谔方程（能量本征值方程）：所有体系的薛定谔方程：自由粒子、一维无限深势阱、一维线性谐振子、库伦场中的电子

11、、氢原子的电子，本征波函数、本征值。定态薛定谔方程，及其意义、所有体系本征值、本征函数、归一化、简并与宇称第二章第二章势垒贯穿概念，透射系数及其影响因素 2.6一维无限深势阱2. 7 线性谐振子本征波函数nnnEn, 3 , 2 , 1 , 021 )exp()(),(tEixtxnnn )(21exp!22221xHtEixnnnn 能量本征值定态Schrdinger方程： )()(21222222xExxdxd 2.8 势垒贯穿 axaxnaxanAxn02sin)(为正整数为正整数）（ 本征波函数本征能量：22228naEn （1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态3

12、.3.再论波函数的性质再论波函数的性质a. 描写粒子的波函数(r, t)已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即, d(r, t) =|(r, t)|2 d b. 已知 (r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，即，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。c.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。3.1表示力学量的算符厄米算符的定义和性质算符的运算（和、积、等）、共轭 、转置 、厄密共轭*O*O O通过内积定义 dOdO*)()(*),(),(* OO dOdO *)(*)

13、,(),( OO ),(),(*)(* OOdOdO 或或厄米算符的本征值和平均值为实数OO F本征方程本征方程本征值本征值称为其称为其本征函数本征函数力学量算符为线性的厄米算符力学量算符为线性的厄米算符 第三章第三章 3.2动量算符与角动量算符动量算符、角动量算符的本征方程问题动量算符的表达（表象有关）、本征波函数及其归一化、本征值。角动量算符的构成（坐标系有关）、本征波函数及其Ylm归一化、本征值。sin1)(sinsin122222 L iLzlmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm , 3, 2, 1),()1(),(, 2 , 1 , 0)(cos)1(),(* 的本征值：2

14、L, 2 , 1 , 0) 1(22 lllL 的本征值: L ) 1( llL, 2, 1, 021)( memlimmz （1）球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系zL2L ),( lmY（2 2）简并情况）简并情况 ),(),(),()1(),(22 lmlmzlmlmYmYLYllYL 的本征值 仅由角量子数l确定，而本征函数 却由l和 m确定。对于一个l值，可取 ，共有2l+1 个l值相同而m值不同的本征函数与同一个本征值 对应。2L2) 1( lll , 2, 1, 0),( lmY2) 1(ll 即 属于本征值 的线性独立本征函数 有2l+1 个。因此, 的本征值 是2l+1度

15、简并的。 ),( lmY2)1( ll2L2L2)1( ll 3.3电子在库仑场中的运动辏力场、有心力场、中心力场、库伦力场的关系。电子受核的吸引，其势为库仑势rZers2)(U ErU )(222库伦场中电子的力场的Schrodinger方程：ErUrrrr )(sin1)(sinsin1)(12222222YY 222sin1)(sinsin1 0)(2)(12222 rrUEdrdRrdrdr 磁量子数磁量子数 lm , 2, 1, 0角量子数角量子数 1,2, 1,0 nl,3,2,1 n主量子数主量子数电子处在束缚态时能量本征值和波函数3电子的能量本征值与波函数lmnlYrRrnne

16、ZElmnlnlmn , 2, 1, 01, 2 , 1 , 0),()(),(, 3 , 2 , 122242 是 的共同本征函数系 ),( rnlm zLLH,2关于能量简并度问题，与n的关系及其条件与力场的关系波函数的宇称问题，具有l宇称。 3.4 氢原子)(22),(),(222221122121rUHrrErrHT 其其中中氢原子外电子的 Schrodinger 方程： )()()()(2)()()()(2221222REERrErrUrTRr 22222),()(zyxrrzezyxUrUs 氢原子外电子的势能氢原子相对运动定态Schrodinger方程的解及其意义：),()()(

17、, 3 , 2 , 12224 lmnlnlmnYrRrnneE 氢原子核外电子的概率分布：径向分布、角分布3.5厄密算符本征函数的正交性属于厄米算符的不同本征值的本征函数相互正交。3. 6 算符与力学量的关系可能的测量值与几率、平均值的求法。内积： mnmndnmmn10* 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系对易子、（注意顺序）基本力学量算符 的对易关系、 2,LLpxiii力学量同时有确定值的（必要）条件测不准关系(不确定原理)（Heisenberg Uncertainty Principle ）4)()()(222kGF 3.8 力学量随时间的变化 守恒律力学量守恒

18、的条件1 1坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；2 2角动量算符的表示形式及相关的对易关系；角动量算符的表示形式及相关的对易关系；3 3动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归一函数归一 化；化；4 4角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；5 5正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的 基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其

19、简 并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数；分布；电离能和里德伯常数；6 6量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函 数组成正交完备集；数组成正交完备集；7 7在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；8 8不确定关系及其应用；不确定关系及其应用；9 9守恒量的判断方法。守恒量的判断方法。内

20、容内容一个基本概念：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：两个假设： 力学量用厄米算符表示；力学量用厄米算符表示； 状态用厄米算符本征态表示，力学量状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。符）及它们的本征值。一个关系：一个关系：力学

21、量算符间的对易关系（特别是坐标力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系）对易关系）三个定理三个定理: : 共同本征态定理（包括逆定理）共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系不确定关系 力学量守恒定理力学量守恒定理重点掌握内容重点掌握内容展开系数：任一状态可展开：dqxutaxutatxqqnnn)()()()(),( |),(),()()(),()()(*uudxtxxutadxtxxutaqqnn在这样的表象中， 可以用一个列矩阵表示： )()()()(21tatatataqn *)(*)(*)(*)(21tat

22、atataqn Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复线性空间态矢量： Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢）第四章第四章4.1态的表象坐 标 表象2222xTxipxxx 动 量 表 象 22xxxxpTpppix 4.2 算符的矩阵表示 FF显而易见，对角矩阵元为实数nnnnFF * nQQQQ0000021 )(| )()(),()(),()(*xuFxuxuFxudxxuixFxuFmnmnmxnnm1归一化条件 1)()()()(*,),(*),(*2121 tatatatatatanm1 )()()()(*,),(*),(*21212