破解理科数学导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法

1、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：a,b R8 / 5以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不等式的作用.题目1: (2015长春四模题)已知函数A. a eB. x1 x2 2【答案】C【解析】函数f(x)导函数：有极值点x ln a ,而极值f (lna) af(x)有两个零点：ex1 axi 0, ex2即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：a bln a In b那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 a b a ba b, a b , 4ab&

2、lt;<ln a ln b 2以下简单给出证明：不妨设a b,设a bx,则原不等式变为：2(x 1) x 11, ln x x 1. xf(x) ex ax有两个零点x1 x2,则下列说法错误的是C.xx2 1D.有极小值点 xo,且 x x2 2xof '(x) ex aaln a 0 , a e , A 正确.ax2 0,即：x1ln a 1nxi x2 ln a ln x2 -得:题目2: （2011辽宁理）已知函数f2x ln x ax (2 a)x.x1x2ln x1In x2根据对数平均值不等式：x1 x2x1 x21；1x1x22 ln x1 In x2x1 x2

3、 2,而 1 Jx1x2 ,x1x2 1 B 正确，C 错误21n a ,即D成立.而 + 得：x1x221n a In x1x2x1x2-得：In x1In x2 a(x1x2)(x1x2) (2a)(x1 x2) 0,若函数y f x的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f ' %0【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去 证明第三问： 设 A(x1, f (x1) , B(x2,f(x2), x1 x2 ,则 x21n x1 ax1(2 a)x10 In x2 ax2 (2 a)x2 0 1x1 x2a(x1x2)

4、(2 a) ln x1 ln x2而根据对数平均值不等式:x1 x2x1 x2ln x11nx22等式代换到上述不等式1 x1 x2 a(x1 x2) (2 a) 212a% (2 a)根据：2ax0 (2 a)x0 0（由得出）式变为:2axe2 (2 a)x0 1 0(2x0 1)(ax0 1) 0i' (2x0 i) 0 ,x0 ,x0在函数单减区间中,即:af'(Xo) 0题目3: (20i0天津理)已知函数f x xex x R .如果Xi X2,且f Xif X2 .证明:xi x2 2.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接

5、去证明第三问:设 f (Xi) f(X2) c ,则 c , e。X2Xe2c ， (XiX2）两边取对数In x1Xiln cIn x2X2In cXiX2In X1In x2根据对数平均值不等式XiX22XiX2In xiIn x2xi x2 2题目4: （2014江苏南通市二模）设函数f xex ax a a R ,其图象与x轴交于A Xi,0 B X2,0 两点，且 XiX2.证明：f JXX20 ( f X为函数f X的导函数）.【解析】根据题意：e：Xi axia 0, ex2aX2 a0移项取对数得:XiIn( Xii)In ax2In(X2i)In a-得：xi x2 In(

6、xi i) In( x2 i),即:根据对数平均值不等式:(X 1)(x2 1) 1根据均值不等式:函数”乂）在（题目5:已知函数(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1). (Xi 1)(x2 1)ln(x1 1)(x2 1)x1x2,ln a）单调递减f(x)1求证：0 x1x22e【解析】由x11nxi m ,x1+得:根据对数平均值不等式利用式可得:(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1)0,+得:2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln ax1x2.xx2 ln a2（.后）0xlnx与直线x2 ln x2m ,x2 m(x1ln x2y m交于 A(x1, y/ B(x2, y?)两点.可得:mln x1ln x1ln x1 ln x2xx2xx22ln x,ln x2(S ln x1 ln x2m(lnx2 lnx,)ln x1 ln x2ln x1ln x2(为x2)m