七年级数学培优竞赛讲座第7讲物以类聚——话说同类项

1、百度文库-让每个人平等地提升自我1第七讲物以类聚一一话说同类项俗话说“物以类聚，人以群分”在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类一一称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起一一称为合并同 类项.整式的加减实质就是去括号合并同类项.整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的 基础，归纳起来就是要注意以下几点：理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则.解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化. 例题【例 1】当X的取值范围为_ 时，式子4

2、x 4 7x 1 3x 4的值恒为一个常数，这个值是_ （北京市“迎春杯”竞赛题 ）思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x”的项，由此得出x的取值范围.注：数学概念是容的基础是数学推理和论证的基础科学研究表明，概念的形成过程中，人们的心 理活动经历着以下阶段：辨别不同的事物；（2）抽象一类事物的共同属性；用简洁的语言符号给概念下定义、定名称.在概念学习中，应注意以下策略：（1）关键字词理解的策略；（2）正、反例对比策略；（3）相似概念比较策略；（4）概念系统化策略.ba【例 2】已知a b 0,a b,则化简-（a1）a（b 1）得（）abA 2a B 2b C.十 2 D

3、.一 2（江苏省竞赛题）思路点拨由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键.311【例 3】已知 x = 2, y=一 4 时，代数式ax by 5 1997，求当x 4, y时，代数式2233ax 24by 4986的值.思路点拨 一般的想法是先求出 a, b 的值，这是不可能的（为什么?）解本例的关键是：将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值.3223【例 4】已知关于；的二次多项式a（x x 3x） b（2x x） x 5，当 x=2 时的值为一 17,求当 x= 一 2 时，该多项式的值.（“希望杯”邀请赛培训题）思路点拨 设法求出 a, b

4、 的值，解题的突破口是根据多项式降幕排列、多项式次数等概念挖掘隐含 的关于 a, b的等式.【例 5】（1）已知：5I（x+9y）（x , y 为整数），求证：5I（8x 十 7y） （全国初中数学联赛试题）（2）试证：每个大于 6 的自然数 n 都可表示为两个大于 1 且互质的自然数之和.思路点拨 尝试把 8x+7y 写成 x+9y 的倍数与 5 的倍数的代数和的形式，逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论.注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等关键是对代 数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是

5、变形求简的一 种常用工具.“回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记 住“回到定义中去”这个重要的思考提示.欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换，充分利用巳 知条件及整除的有关性质解决问题.数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式教学中的许多结论就是通过类比得到的，同 时类比也是学习数学中的一种有效方法.百度文库-让每个人平等地提升自我2学力训练1 已知2axbn 1与 3a2b2m是同类项，那么（2m n）x=_ .（江苏省竞赛题） 2.已知代数式(2x2+ax-y+6) (2bx2-3x+5y-1

6、).(1) 当 a=_ , b=_时，此代数式的值与字母x 的取值无关；(2) 在(1)的条件下，多项式 3(a2-2ab-b2)一(4a2+ab+b2)的值为_32323已知 a=1999,则3a 2a 4a 1 3a 3a 3a 2001 =_.334.已知当 x= 一 2 时，代数式ax bx 1的值为 6,那么当 x=2 时，代数式ax bx 1的值是_ .（安徽省中考题）/5火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、y、z 的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为（）.（太原节中考题）A.4x+4y+10z B. x+2y+3z C.2x+4y+6z D.6x+8y

7、+6z6同时都含有字母a、b、c,且系数为 1 的 7 次单项式共有（）.A . 4 个 B . 12 个C. 15 个 D. 25 个（北京市竞赛题）7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：则代数式a |a b |c a| |b c化简后的结果是（）.A . 2 一 a B . 2a 一 2b C . 2c aD . a2& 已知m 2n 25，那么5（m 2n） 6n 3m 60的值为（）.A . 80 S. 10 C . 210 D . 409.把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F 并展开如图所示，已知：A x24xy 3y2,2 21C 3x22xy y2

8、,B -（C A）,E B 2C,若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，2求 D、F .10 .已知单项式0.25xbyc与单项式0.125xmy2n1的和为0.625xnym，求 abc 的值.百度文库-让每个人平等地提升自我311.对于整式6X5+5X4+4X3+3X2+2X+2002,给定 x 的一个数值后，如果小颖按四则运算的规则计算该整式的 值，需算15 次乘法和 5 次加法.小明说： “有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变, 而乘法只算 5 次”.小明同学的说法是的.（填“对”或“错”）（“希望杯”邀请赛试题）12.若a b 2,b e 3,e d 5，则(a

9、 e)(b d) (a d)=13 .当X= 2 时，代数式ax3bx 1的值等于一 17,那么当 x = 1 时，代数式 12ax 3bx35 的值等于_ .（北京市“迎春杯”竞赛题 ）14 .将 1, 2, 3,100 这 100 个自然数，任意分为 50 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数1值记作 a,另一个记作 b，代入代数式!（a b250 个值，则这 50 个值的和的最大值是 _ .15.计算 1+2 3 4+5+6最后结果是（）.a16 .已知a b且一bA. 2a+2b+aba b）中进行计算，求出其结果，50 组数代人后可求得2/53X(ax bx17 .已知代数式42

10、XdxA . 1 B .一 I C .18.如果对于某一特定范围内8+9+10 1l 一 12+1993+1994 1995 一 1996+1997+1998 19992000 ,B . 一 1 C. 1999D .一 2000a b ab等于（abex)C. 一 2a 一 2b+abD. 一 2a+ab当X= l 时，值为 I，那么该代数式当X= 一 l 时的值是（） .0 D. 2X的任意允许值“希望杯”邀请赛试题1 2X1 3X9X1 10X的值恒为一常数,则此值为（）A. 219. （1）已知 a、b 为整数，且（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是 证

11、明：这个三位数也是 11 的倍数.B. 3n = l0a+b，如果 17C. 4Ia 一一5b,5请你证明:（安徽省竞赛题）17In.11 的倍数.20 .在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc（a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出 5 个数acb、bac、bca、cab与cba的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc.现在设 N=3194，请你当魔术师，求出数abc而来.百度文库-让每个人平等地提升自我422.计算多项式ax3bx2cx d的值时有以下 3 种算法，分别统计 3 种算法中的乘法次数.1直接计算：ax3bx2c

12、x d时共有 3 十 2+1 = 6（次）乘法；2利用已有幕运算结果：x3x2x，计算ax3bx2cx d时共有 2+2+仁 5（次）乘法；3逐项迭代：ax3bx2cx d （ax b）x c x d，其中等式右端运算中含有3 次乘法.请问：（1）分别使用以上 3 种算法，统计算式1098aoxama2Xa?x aw中乘法的次数，并比较 3 种算法的优劣.（2）对 n 次多项式aoxnajxn1a?xn 2an 1x an（其中ao,aa2, ,an为系数，n1）,分别使用以上 3 种算法统计其中乘法的次数，并比较3 种算法的优劣.21. x、y、z 均为整数，且 117x+2y 5z,求证:

13、11 | 3x 一 7y 十 12z.（北京市竞赛题）百度文库-让每个人平等地提升自我5第七讲物以类聚一一话说同类项参考答案例 1 zy,L 提示诂的眾歆之和为琴續悽 4 耳 0 冃 1-XrCQ侧 z 速。典示 I 由已知得右 m*ft 19& 擾示 I 由已知许品一 6 99 氣脅求式 K-3 昭 a引+ U 即.洌 4 4-1 提示：整理腹專项式得十 12鼬一 G/4佃十)上一 5”由題童縛哇+1 =几得心=-】=一九出生 CD&T+7jr8(j+Sj)-65.(鮎若捷为为丸于 2 的整就则写起左+也 41 人由于昱静“川*0 1，故 Jit 盖示舍乎養求、 席若卅为偶数

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