高数考研习题及答案

1、第一章函数极限连续.填空题1.已知f(x)sin x, f (x) 12x ,则(x),定义域为解.f (x)sin(x)1 x2,2、(x) arcsin(1 x )x22,|x| .22.设 limxaxtetdt,则解.可得tetdt = (tetet)aae3. limn解.- n< 2n-1所以-n n1n 12-2 n n2n n n2n2 n 2n v 1n n2 nn(1 n)22 n n nn(1 n)n<2n n n222yn n 11 2n2yn n 1 nn n< n2 n 1所以limn4.已知函数f(x)|x | 1,则 ff(x)|x| 1解.f

2、f(x) = 1.5. lim ( . n 3 n n解.lim ( . n 3 n n=limnn 3 n .n n1 ax、，6.设当x 0时，f(x) e 为x的3阶无穷小，则a1 bx1 axxe解.k lim x 01 bx-3 xex bxex 1 axx3(1bx)ex bxex 1 axlimx 0bexbxex3x2limx (x - x2be bxe6x2由(1 )：lim(exx 0bex bxexa) 1由(2 ):lim (e2bex bxex) 12b7. lim cot xx 0sin x解.lxm0cosxx sin xsin xxsin xlxm0x sin

3、x3xlim1x 0cosx3x2sin x6x8.已知limn1990nk /八kn (n1)A(),贝1J A =解.limn1990nnk (nr lim 1)kn1990nIkH-kn所以 k 1=1990,k = 1991;A,二.选择题1.设 f(x)和(x)在(+ )内有定义，f(x)为连续函数，(a) f(x)必有间断点(b)解.(a)反例(x)(b)反例(x)(c)反例(x)(d)反设g(x)=(x) f(x)2.设函数f(x)1991且f(x) 0, (x)有间断点，则(x)2必有间断点(c) f (x)必有间断点(d) (x)必有间断点 f(x)|x|x|x|x|x| 1

4、|x| 1在(一x tan(a)偶函数 (b)无界函数f(x) = 1,则f(x)=1(x)2 = 1f(x) = 1,则 f (x)=1)内连续，则(x) = g(x)f(x)在(一，+ )内连续，矛盾.所以(d)是答案.sinxe ,则f(x)是(c)周期函数 (d)单调函数解.(b)是答案. . I x I sin( x 2)3.函数f(x) -!在下列哪个区间内有界x(x 1)(x 2)2(a) (-1,0)(b) (0, 1)(c) (1,2)(d) (2, 3)解.lim f (x)x 1lim f(x)x 0f(0 )sin 2sin 2所以在(一1,0)中有界，(a)为答案.一

5、，x2 14.当x1时，函数ex 1的极限(a)等于 2(b)等于c)为(d)不存在，但不为解.lxm1x2 1lim (x11)eF.(d)为答案5.极限limn22522 322nn2(n 1)2的值是(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在解.limn22225飞22n 1(n 1)2=limn1221321(n 1)2limn1(n 1)2所以(b)为答案.6.设 limx95(x 1) (ax1)5(a) 1(b) 2解.8 =limx=limx7.设 limx(a) = 1,/ 250(x 1)8,则a的值为(c) 5 8(d)均不对95(x 1) (ax250(x 1)(195

6、1/x)(a1)5=limx51/x)52 50(1 1/x )(x 1)(x 2)(x 3)(x(3x2)3解.(c)为答案.(b)=5,95 /95/(x 1) /x (ax(x21)5/x58.设 f(x) 2x3x2,4)(x1(c) = 5,35)50 /1001) / xV 8 ,所以(c)为答案.,则，的数值为(a) f(x)是x的等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小2x3x2 = limx 0135(d)均不对(b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(d) f(x)比x较高价无穷小2xln 23xln 3,八，c ln 2 ln 3,所以(b)为答案.斛.lim 一x 0

7、1x9.设lim(1x)(1 2x)(1 3x) a 6,则 a的值为x 0x(a) - 1(b) 1(c) 2(d) 3解.lim(1 x)(1 2x)(1 3x) a 0, 1 + a = 0, a = -1,所以为答案.x 0a tan x b(1 cosx)2-cln(1 2x) d(1 ex)2,其中a2 c20,则必有(a) b = 4d (b) b = 4d (c) a = 4c (d) a = 4c解.2 = limx 0a tan x b(1 cosx) -=limcln(1 2x) d(1 e x ) x 02 bsinx cos x2c1 2x22xdexa 一.，,所以

8、a = 4c,所以(d)为答案.2c三.计算题1.求下列极限1 lim (x ex)x x解.lim (xx1 ex)7xxx1n(x e) lim 1n(x e) lim 二 dlim e xexx ex x ee1exlim(sin2cos1)xxlim (sin xcos 1)xx1ln(sin 2 y cos y)lim lim (sin 2y cos y)y =ey ° yy 02cos2 y sin y limey 0 sin 2y cosylimx 01 tanx x31 sin x解.limx 01 tanx x31 sin xlim 1x 01 3tanx sinx

9、 x1 sinx人 1解.令y tan x sin x1 sinx (1 sin x)x3tanx sin x/ tan x sin x tanx sinxxim0lim 1 = ex 01 sin xsinx(1 lim7x 0x3=ecosx)2xsin x2 sin2一lim t2x 0x31e2.2.求下列极限1xm1ln(1_3 x_1)_arcsin23/x2 1解.当 x 1 时，1n(1 Vx 1) Vx 1 , arcsin23'x2 1 23/x2 1.按照等价无穷小代换limx 1ln(1 3x 1)arcsin23/x2 1lim "x 1 lim x

10、 1 23, x21 x123 xlimx 0,2cot x解.方法i：lim工x 0 x2cot=lxm02cos x.2 sin=xm0. 2 sin22x x cos x22x sin x= limx 0(x21)4x2 cos x =limx 02x2 cos x22(x1) cosxsin xx=lxm022xcos x sin 2x4x322x cosxsin x4x3= lim x 02cos x 4xcosxsin x2 cos2x 112x2=lxm022 cos x 2 cos 2x12x24cos xsin x 4sin 2x lim24 x=lxm02 sin 2x方法

11、2:lim24x=lxm0=lxm0=lxm0cot=lim1-22cos x2- sin x=lxm0.2 sin x2:x cos22x sin x(x21)4x2cos x=lxm01 / 2 2(x1)(cos2x 1)122(x1)(1(2x)22!4 x(2x)44!0(x4)124216441 (2x2 2x4 2 2x2x4 0(x4)2244x2 4 - x= lim 3yx 0 x43.求下列极限(1) lim -n- (n n 1) n ln n解.lim -n-(n n 1) n ln nlimnn 1 n ln n n令 n'n 1 xlimx 01ln( 1

12、 x)1 enx解.解.limnlim nlim nlimnnx enxenx1 e,其中a > 0, b > 01/n,c b/a a limaelim 1n(1 cX) 1n2:0 xlim 3=aex 0ln2aexlim0xc ln c1 cxabx4.设 f(x) 11乌(1 cosx)试讨论解.ff (x)在 x' ximlimx 0'(0) limx 0limx 0所以 f'(0)x 2 -cost dt00处的连续性与可导性f(x) f(0)2cosx 12xlimlimcost2dt 1limx 0x 2cost dt x0f(x) f(0

13、)x2sin x 2x3x21 2x22x2(1 lim cosx)limx 00 x2(cosx 1)6xlimx 02(1cosx) x23 x0, f (x)在x 0处连续可导.5.求下列函数的间断点并判别类型1一、2x f(x) 12x解.f (0 ) limx 0112x12x1, f(0 )limx02x12x所以x = 0为第一类间断点x(2x ) 2cosx f (x)1sin x 1解.f(+0) = sinl, f( 0) = 0.所以x = 0为第一类跳跃间断点；1 lim f (x) lim sinx 1x 1x2_不存在.所以x=1为第二类间断点；1f ()不存在，而

14、lim 2x(2x )2cosx,所以x = 0为第一类可去间断点；2x(2xlim x k - 2cosx2,(k = 1,2,)所以x= k为第二类无穷间断点.26.讨论函数f (X), 1 sin 一x0 4-在x = 0处的连续性.0解.当0 时 limx 0(X0, lim (xx 01、sin -)不存在，所以x = 0为第二类间断点；.1、C -sin -)0,所以x1时在X = 0连续,1时，X = 0为第一类跳跃间断点.7.设 f(x)在a, b上连续，且 a < x1 < x2 < < xn < b, ci (I = 1,2, 3,，n)为任意

15、正数，则在(a, b)内至少存在一个，使 f()Cif(Xi) c2 f (X2)CnC1C2cn证明：令 m = max f (xi), m = min f (xi) 1 i n1 i n所以 m c1f (X1) C2 f (X2)Cn MC1C2所以存在(a < X1Xn < b),使得f ()Cif(Xi) c2 f (X2)Cnc1c2Cn8.设 f(X)在a, b上连续,且 f(a) < a, f(b) > b,试证在(a, b)内至少存在一个，使f()=.证明：假设 F(x) = f(X) X,则 F(a) = f(a) a < 0, F(b) =

16、f(b) - b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个9.设f(X)在0, 1上连续,且0 f(X)1,使 f()=.试证在0, 1内至少存在一个，使f()=.证明：(反证法)反设 X 0,1,(X)f (x) X 0.所以(x) f (x) X恒大于0或恒小于0.不妨设X 0,1, (X) f(x) X因止匕 X 0,1, (x) f (x)0.令 m min (x),则 m 0.0 x 1x m.于是f(1)1 m 0,矛盾.所以在0, 1内至少存在一个，使f()=.10.设f(x), g(x)在a, b上连续,且f(a) < g(a), f(b) > g(b

17、),试证在(a, b)内至少存在一个,使f( ) = g().证明：假设 F(x) = f(x) g(x),则 F(a) = f(a) g(a) < 0, F(b) = f(b) g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个，使f()=.11.证明方程x53x2 = 0在(1,2)内至少有一个实根.证明：令 F(x) = x5-3x-2,贝U F(1) = 4 < 0, F(2) = 24 > 0所以 在(1,2)内至少有一个，满足F( ) = 0.12.设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导，且limx 0sin 3x3- xq 0,求 f(0),

18、f'(0), f''(0)及 limxx 0f(x) 32x解.lxm0sin 3x3- xf(x)2xsin3x xf (x)sin3xf (x)lxm0 -0.所以limx 0sin 3xf(x)0 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导,所以f(x), f'(x)在x = 0连续.所以f(0) = -3.因为sin3xf(x)limx 00,所以limsin3x3 f(x) x3一 0,所以limx 0f(x) 32xsin3x3lim3sin3x= lim x 0 2xf (x)f'(0) lim ')x 0x2x92 f(0)lim

19、x 0limx 03xf(x)sin3xlimx 03 3cos3x3x2limf(x)2 xf(x) 39 A 口-,将f(x)台劳展开，得2f(0)limx 0,1 .22f'(0)x - f''(0)x2 0(x2)2x9一,所以一f''(0)9,于是f''(0) 9.(本题为2005年教材中的习题，2008年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题)第二章导数与微分一.填空题f(x0 k x) f(x0)1 .设 lim -f'(x0),则解.k limxf(M k x) f(x0)、1 f (x0),所以 k

20、f (x0) - f (x0)3所以k2.设函数y = y(x)由方程ex y cos(xy)0确定，则dydx解.exy(1 y') (yxy' )sin xy0,所以y'一一一 x yysinxy e_x ye xsin xy3.已知 f( x) = f(x),且 f'(Xo)k,则 f'(xo)解.由 f(x) = f(x)得 f '(X)f'(x),所以 f'( x) f'(x)所以f'(xO)f'( xo)x)f(xo n x)解.lxmof (xo m x) f (xo) f (xo) f (x

21、o n x)=m limx oxf (xo m x) f (xo)+ n limxf (xo n x) f (xo)=(m n) f'(xo)5.f(x)解.f'(x)1 x(11 x ( 1)12 1!x)21 1 ,(1 x)假设f (k)(1)k2 k!(1k 1 x)f (k 1)(1)k 12 (k 1)!(1k x),所以f (n)1)n2n!(1n 1x)6.已知dx_1解.f' x令x2 = 2,所以f' 口 1 x7.设f为可导函数，ysin f sinf(x)dy,贝1J dx1 x (n),贝1J f (x)=1 x解.dy f '

22、(x) cos f (x) f' sin f (x) cos f sin f (x) dx8.设丫 = f(x)由方程e2x y cos(xy) e 1所确定，则曲线y = f(x)在点(o, 1)处的法线方程为解.上式二边求导e2xy(2 y') (y xy)sin(xy)0.所以切线斜率y' (0)2.法线斜率为1,法线方程为21-x ,即 x-2y + 2 = 0.2二.选择题1.已知函数f(x)具有任意阶导数，且2f'(x) f(x),则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是(a) n! f (x)n 1(b) n f (x)n12n(c) f(

23、x)(d) n!f (x)2n3 一(k)k 1.解.f''(x) 2f (x)f'(x) 2!f(x),假设 f (x)=k! f (x),所以f(k1)(x) = (k 1)k!f(x)kf'(x) (k 1)!f(x)k2, 按数学归纳法f (n)(x) = n! f (x)n 1对一切正整数成立.(a)是答案.2.设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x),且f'(0) b,其中a, b为非零常数，则(a) f(x)在x = 1处不可导(b) f(x)在 x = 1 处可导，且 f'(1) a(c) f(x)在 x = 1 处可

24、导，且 f'(1) b (d) f(x)在 x = 1 处可导，且 f'(1) ab解.b = f'(0)f0) = lim0 x 01 1 -f(1 x) -f(1) aax1 .-f'(1),所以 f'(1)ab. (d)是答案a注：因为没有假设f(x)可导，不能对于f(1 x) af (x)二边求导.3.设 f (x)O 323x x|x|，则使f (n)(0)存在的最高阶导数n为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 3解.f(x)4x32x30,鼠 f (x)24x x12x x所以f'''(0f''

25、9;(0)limx 0)!in0n = 2, (c)是答案.f''(x) f''(0)x 0f''(x) f''(0)limx 0limx 04.设函数y = f(x)在点x。处可导，当自变量(a) -1(b) 0(c) 1(d)解.由微分定义y = dy + o(x),所以24x24x12x 012由x0增加到x0 +x时,记y为的增量,dy为f(x)的微分，lm3limoL®0.是答案.5.设 f (x)2.1x sin 一xax b在x = 0处可导，则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任

26、意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b为任意常数解.在x = 0处可导一定在x = 0处连续，所以lim x2sin 1limx 0(axb),所以b = 0.f'(0 )f'(0 ),limx 021x sin一 xlimx 0ax所以0 = a. (c)是答案.计算题21. y lncos( 10 3x ),求 y'2、 cq , sin(10 3x ) 6x2、解.y' 2 6xtan(10 3x2)cos(10 3x )2.已知 f(u)可导，y f ln(x Ya x2),求y'o12x斛.y f'ln(x a

27、x ) 2- 1 2x a x 2 % a xf'ln(x ax1 2)-y t3.已知 e02dt2 八 ，costdt sin y ,求 y'.、,2解.ey y'222xcosx 2 yy' cos yy2x cosx2F O2e 2ycosy4.设y为x的函数是由方程ln, y 一arctan 确定的，求y'. xy'x y解.x22x 2yy'2x2y2 xx yy' y' xy ,所以y'四.已知当x0时，f(x)有定义且二阶可导，问a, b, c为何值时F(x)f(x) ax2 bx c二阶可导.解.

28、F(x)连续,所以 lim F(x)x 0limx 0F (x),所以c = f(0) = f(0)；'(0)f'(0),且因为F(x)二阶可导，所以F'(x)连续，所以b = ff'(x)F'(x)2ax f '(0)F''(0)存在，所以 F ''(0) F ''(0),所以limx 0f'(x)f'(0)lim 2ax f'(0)x 0xf'(0)2a ,所以五.已知f (x)2二2， x求f(0).解.f (x)(n) /f (x)n!2 (1 x)n 1(1

29、)n(1 x)n1(2k 1)f (0)0, k = 0, 1,2, 2k/f (0) n!, k = 0, 1,2, 六.设 y x 1n x ,求 f (n)(1).解.使用莱布尼兹高阶导数公式f(n)(x)x (1n x)(n)(n 1)n(1n x)x( 1)(n 1)!nxn 2n( 1)(n 2)!=(1)n 2(n 2)!(n 1)nln 2 /1) (n2Tx所以 f(n)(1)(1)n2(n2)!第三章一元函数积分学(不定积分一.求下列不定积分：1./71n-dx x解.1ndx 1 x21 x1n1xd1n x2.Jarctandx 1 x21 x3.cosx sin x

30、11 sin解.4.解.2(1 cosx)cosx sin x 1-Z72(1 cosx)dxx(x8 1)方法一：令x七七一dx万法一：8x(x 1)dx5.1 sin x1 sin x cosx1 dx* 1 x 1 arctand arctan-1 cosxxdx1 sin x . dxcosxdxx(x8 1)11n 8arctandx1 sinx . 1 sin xd1 cosx1F1t8 1dtcosxt7dtt81 sin x1 cosx1 1n(18t8)7 .x dx(x8 1)x7(。x-)dx 1d(1 x8)81 xIn |x|1 1n(188x )1 In 18一(1

31、 sin x cosx) (sinx1cosx sin x , dxsin x cosx11cosx) 一2dxdx cosx22 1 sin x cosx2 1 sin x1x1 d(1 sin x cosx)11dx2sinxcosxx x _2 x2sincos 2cos 一2ln|1sin xcosx |, x .tan- 1d tan-21x2二.求下列不定积分：1 ln |12sincosx1 ln22x tan-21|1.dx解.2.(x1)2 “x2 2x 2dxd(x 1)(x 1)，x22x 2(x 1)2,(x 1)21 tantdt2Tcos t2tan tsectco

32、stdt .2. sin tcsin tx2 2x 2dxx4 .1 x2I轧令 x = tan t,dxx4 . 1 x2dt2cos ttan41 sect3 .cos t. 4 sindt3.解.4.解.d sin t.4.sin td sin t.2 .sin t13sin31sin tdx(2x2 1) 1令 x tantdx1 x22 .sec t(2x2 1) ,1 x2(2 tan21 1) sectdtcost2sin2121 cos tdtd sint1 sin21=arctan sint c, xarctan c,1 x22 .x dx22a x(a > 0)令 x

33、 a sintx2dx2.2 .a sin t a costdt 2 aa costcos2t ,xdt-a2t 2sin2t c一 一 x x _22arcsin -2a x24c2a a5., (1 x2)3dx解.令x sint2 34.(1 x ) dx cos tdt_2(1 cos2t) dt421 2 cos2t cos 2t lx 出111311=-1 sin2t (1cos4t)dt -1-sin 2tsin 4t c44884323=一 arcsin x1 sin2t(11-、-cos2t) c8443一一1 一 .4 1 2sin2t、=arcsin x一 2 sin t

34、 cost()c84443-=一 arcsin x8-x .1 x2 (582x2) c.x2 16.4 xdxtV1 t2dt 令t sinusin u cos2 udu7.dx13=cos u c3cxx、2 (1 4 )解.令 x sect, dx sect tan tdtdxsect 1sec21 tan tsect tantdt(1 cost)dt t sin t c1. x2 1arccos- cx x三.求下列不定积分：1.3x x e e4x e e2x-dx 13x xx x“ e ee e斛. F2x； dx-2x；27 dxe e 1 e 1 ex xd(e e )/ x

35、 x 2(e e )1arctan(exe x) c2.dx解.令t 2x, dxtln 2四.1.解.2.解.dxdtxx、2 (1 4 )求下列不定积分：5xdx(x 2)100t2(11ln 2(22_-t )ln 2ln 211 t2dt1tln 2arctan t cln 2x 、arctan 2 )5x100- dx(x 2)5x99(x 2)995x99(x 2)991995_x d(x 2)5x4_ _ _ 9899 98(x 2)5x4- -9899 98( x 2)3 2x一一 一一 一 一一 一_ 9599 98 97 96 95(x 2)dxx J x4dx4x . 1

36、 x令 x 1/tFdt9999( x 2)99599499 1x (x 2) dx99 98令 t2tan u2sec u求下列不定积分1.x cos2 xdx解.2.xcos xdx2.sec3 xdx解.3.sec xdx398 ,x (x 2) dx4x3_ 9799 98 97( x 2)9998 97 965 4 3x2- - Z 9699 98 97 96(x 2)94 c 95( x 2)94t4 1t4tdt_，t4dt2,1(t2)2du secu1 ln | tan u2secu11ln2.x4-2cx121-x41x41 2x(1 cos2x)dx x 41，.八一 x

37、d sin 2x41. c 1. c ,-xsin 2x - sin2xdx441. c 1c-xsin 2x - cos2x c48secxd tan x secxtan x tan x secxtan xdx3.解.4.解.5.六.1.解.23,=secx tan x (sec x 1) secxdx secxtan x ln |secx tan x | sec xdx3.sec xdx"dxx(ln x)3x(ln x)3xcos(1n x) dxcos(1n x)dx1secxtanx 11n22|secx tan x | c31(ln x) dx13一(ln x) x3(l

38、n x)2一 dx3(1n x)2x-23(1n x)cos(1n x)dx4 x xcos 一 32dx sin x6 ln x2 x6 In xxcos(1n x)x _-cos(1n x)dx4 x xcos 一2sin(ln x)3x3(1n x)2x61nx-62 dx xsin(1n x)dxxcos(1n x)sin(1n x)cos(1n x)dxsin(1n x)dx3 x 3 x-cos 一xdsin1 xsin8sin 2 - dx21 -xsin 8求下列不定积分：x1n(x . 1 x2)(1 x2)2dxx1n(x .1 x2)(122 x )dxsin1 -=-

39、1n( x21x2)二1 x1 -xsin 8cot 一421n(x 1x2)d11 dx,1 x21n(x . 1 x2)令 x tant2一-2(1 x2)1 tan2t12 ,sec tdtsect1n(x .1 x2)2(1 x2)cost2sin21dt2、1n(x 1 x )2(1 x2)d 2 sin t1 2sin2t1n(x .1 x2)1 、2 sint-22(1 x )4,2 1n 12 sint1c2.解.3.解.七.解.ln(x22(1 x2)x arctan x , dxJx2xarctanx , dxJ x2=. 1x2 arctanarctan ex ,-2dx

40、earctan ex ,一五二 dxe2x .arctan1 2xe2设 f (x)arctanxd 1arctan exx ln(1(x2f(x)dx-x l(x2二2x c 、2x-1arctan exde 2x2x(xln(1(x2ln(14x、1 x2 arctanxdx1 x22，x arctan x ln( x 11e2xarctane 22x1x e . dx 2xe考虑连续性，所以c = 1+ ci ,f (x)dx八.设 f'(ex)解.令t exI 3 3)e x2xx2)1)eC1 = 1 + cxFdx e2xarctan ex(1F；dx e )hx3)dx3

41、)e xdx122x2 ln(1xC11 2x一 (e arctan e 2f (x) dx .)3x cx arctan x)-x2 ln(1x2)(x24x 1)e1 2 11x2 ln(1x 1 cx2) 3xa sin xbcosx, (a, b为不同时为零的常数),求f(x).x lnt,f'(t) asin(ln t) bcos(lnt),所以f (x) asin(ln x) bcos(lnx)dxx _=(a b)sin(ln x) (b a)cos(ln x) c2九.求下列不定积分1.3x2 3x(2x3)dx解.3x2 3x(2x3)dx2c x 3x 23 d(x3)3x2 3xln32.(3x22x35P(3x1)dx解.(3x22x35)2(3x1)dx(3x22x35)±d(3x22x 5)3.ln( x1.1 x2)dx2 x解.ln(x .1 x2).dxd x24.解.十.1.解.2.1 (3x52x55/ln( x x21 )d ln( x2x 1)In 2(x.x2 1)xdx(1 x2；x2 1) ln(1 v x2 1)(1 x2，x2求下列不定积分：x arctan x ,2 dx(1 x )x arctan x2-2- dx (