高数下A试题及答案

1、高等数学A (下)课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将合适选项填在括号内.1 .函数z = 1-e'的全微分应=C 1.(A) 2x(D) x级数zy的敛散性为【a) n-l 7dx-ely ;(B) 3x2dx + evdy ;(C) 3x2dx-eydy ;(D) evdx-3x2dy .2 .球面/+)+22=1在点尸(卓卓0)处的切平面方程是D .(A) x-y-yf2=0 ；(B) x+y + VJ = 0 ；(C) x-y + 2=o;(D)= 0 .3.设区域。=(尤刈-l<x<L x2<y<1,二重积分J

2、Jx(x2 + cos xydxdy = B(A)-1；(B)D0；4.曲线(A)条件收敛;(C)发散;(B)(D)绝对收敛;其它选项都不对.2,2)' =4(X + V)在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角为C y = 4(A)(C)7t(B) -v乃。)-二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上./="/*=2.设L是圆周/+）=上，曲线积分0（*+ ）,2）公=271K1 0<x<-3.设/'W =“2可以展开为正弦级数，此正眩级数在%=-处收敛于0 t<x&九42解由于户?是/的连续点,则小）的正弦级数

3、在x?收敛于=L4 .微分方程）， 2y# + y = 0 的通解为 _ y = g + c2x）el.5 .函数/&,y,z） = ?-3冷忆+ V在点（1,2,3）处的梯度为（一 18,3,21）三.（满分】。分）设”/匠小川吐求言和急（其中,具有二阶连续偏导数）.解土八"，急=2诉+ 2如2个"：+25+51九四.（满分10分）计算曲线积分内孙Vy-x'dx,其中L为圆周/+ ）,2=/的正向解p=-，=詈=心由格林公式得xy1dy-x1ydx =dQ dPdxdy=JJ （/ +），）氏力/一）一斗五.（满分10分）试将函数/（x） = J： J，展

4、成1的零级数，（要求写出该零级数的一般项并指出其收敛 域）。解：因为T （一28产则=>Z(-O0<z<+cc)念加将上式两端逐项积分，得x 今 x ( X f2n clt/(x)=JZJr = J X-0o=0 'j)x K ,2“ZEX 2+l=V-念2 + l>?!六(满分四)计算曲面积分气2仁:学 L,其中E是上半球面Z = yj-F的上侧.解 添加辅助曲面z”： z =。取下侧，使工£构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为Q,由高 斯公式，得，/ = JJ (x3 + z2)dydz, + (y5 + x2 )dzdx + (z' +

5、y2)dxdy r有(J + z?) dydz + ,+M)小女 + 卜、) *dxdy=HdP dQ cR< ox dy dz)dxdydz.=3jjj(x2 + y2 + z2 dxdydz. = 3J；"""尹f r' sin (pdr = n , n°°05Jj(丁 + Z2+ ()+x2 )dz,dx + (z3 + >,2)vjy = JJy2 dxdyxrvry2 dxdy = -j ff sin2 0dp = -7t/ =(d + zL 一2 )dydz + ()/ + a2 )dz.dx + (z"

6、; + y2)dxdy- JJ (/ + Z? "y"z + (/+ (z? + >,2)ay/v6( 1 1297F -九=7T.5V 4 J20七.(满分12分)设y(x)是一个连续函数，且满足y(x) =cos 2x + J。)") sin tdt ,求 y(x)。 解由已知条件得微分方程初值问题yf 一 y sin x = -2 sin 2x'y(o)=1方程 yf y sin x = -2 sin 2x 的通解是y = ce'sx + 4cosx - 4由初值条件y(0) = l得c = e所以 y = e-g + 4c°

7、sx - 4八.（满分10分）某公司可通过电台及报纸两种方式做馅售某种商品的广告，根据统计资料，馅售收入R（万元）与电台广告费用工 （万元）及报纸广告费用y （万元）有如下关系：火（内，）=15 + 14工+32），-8叶-2%2-10），2,（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。解（1）设F(x,y) = R(x, y) -(x + y) = 15 +13x + 3 ly -2x2 -1 Oy2,(或 F(x9 y) = H (x, y) = 15 +14x + 32y- 8 冷，- 2x2-1 Oy2)= 13-8y-4x =

8、 0, dxa it= 31-8x-20y = 0, dyA T7= 14 8)-4x = 0,& )oF=32-8x-20y = 0, 内3'=1，35 （351解得x = " y = -, 1-,-为尸（X,y）唯一的驻点。陪制= 39.25 （万元）。当电台广告费用与报纸广告费用分别为0.75万元和1.25万元时，是大利润为39.25 （万元），此时为最 佳广告策略。（2）求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件x+y = L5下，的最大值。令 G（x,y）= F（x9y） +A（p（x,y）=15 + 13%+31>-8 2x2 -10y

9、2 +2(x+y-1.5),cG dx oG 6f=13-8y-4x + 4 = 0,= 31-8x-20y + 2 = 0,x + y 1.5 = 0,解得，x =。，y = l.5这是唯一的驻点，又由题意G(x,y)一定存在悬大值，故/0,15) = 39 (万元)为最大值。九.(满分6分)设/(。在1,+s)内有连续二阶导数，/(1) =。，/'(1) = 1,且二元函数Z = 2 + y2)f(x2 + y2)满足二十 二=0,求加). oy-解(1)设厂=产尸，由复合函数求导法则dz. r/ .dr x , d2z 1 x2 x2=Z (r) = Z (r), 777=f Z (r) + z (r).ox ox r 0x r r厂同理笨=1 一z'(r)+ ' z"(r>(，. rr-代入方程有 Z(r) + Lz'(r) = 0.又 z(l) = /(I) = 0, rZ，(r) = 2<f(r2)4-r7V2)-2r,于是 z'(l) = 2,/'(I) = l.z7r) + f(r) = 0,解初值