最新高中一年级数学必修1知识点总结

1、高中一年级数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个 集合，其中每一个对象叫元素2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序 性说明:(1)对于一个给定的集合集合中的元素是确定的 任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的 对象，相同的对象归入一个集合日取算一个元素。(3)集合中的元素是平等的没有先后顺序因此判定两 个集合是否一样仅需比较它们的元素是否一样不需考查 排列顺序是否一样。(4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整 体性。3、集

2、合的表示：如我校的篮球队门，太平洋， 大西洋印度洋北冰洋)1 .用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队 员,B=1,2,3,4,52 .集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作N正整数集N*或N+ 整数集Z有理数集Q实数 集R关于属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表或口： a是集合 A的元素就说a属于集合A记作aCA，相反,a不属于集 合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出燃后用一个大 括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出蒋在大 括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否 属于这个集合的方法。语言描述法：例:不是直

3、角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等再-3>2的解集是x?R|x-3>2或x| x-3>24、集合的分类：1 .有限集含有有限个元素的集合2 .无限集含有无限个元素的集合3 .空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1 .包含"关系一子集注意：有两种可能A是B的一部分；（2） A 与B是同一集合。反之 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A, 记作A B或B A2 .相等”关系（5>5,且5W5,则5=5）实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元 素都是集合B的元素同时，集合

4、B的任何一个元素都是集 合A的元素我们就说集合A等于集合B,即：A=B任何一个集合是它本身的子集AA真子集如果A B,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集记作A B俄B A）如果A B, BQ，那么AC如果A B同时B A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空巢己为规定：空集是任何集合的子集空集是任何非空集合 的真子集。三、集合的运算1.交集的定义：一般地由所有属于A且属于B的元 素所组成的集合叫做A,B的交集.记作An B（读作”交B”，即An B=x|xG A,且xWB.2、并集的定义：一般啊所有属于集合A或属于集 合B的元素所组成的集合叫做A,B的并集。记作:AU B(读 作&quo

5、t;折 B',即 AU B=x|xW A,或 xWB.3、交集与并集的性质:An a = a, An(j)= (j), An b = BnA,AU A = A,AU()= A ,AJB = BUA.4、全集与补集(1)补集:设S是一个集合A是S的一个子集(即)， 由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做S中子集A 的补集(或余集)记作：CSA 即 CSA =x | xS 且 x?(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合 的全部元素这个集合就可以看作一个全集通常用U来表 示。(3)性质：(1CU(C UA)=A (C UA)nA=O二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数

6、集如果按照某个 确定的对应关系f,使对于集哈A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f: A-B为从 集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x),xW A.其中x 叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值函数值的集宜f（x）| xG A 叫做函 数的值域.注意：2如果只给出解析式y=f（x）而没有指明它的定 义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的 集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数X的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分 母不等于零

7、；（24禺次方根的被开方数不小于零；（3）对数 式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底必须大于零且 不等于1. （5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结 合而成的那么它的定义域是使各部分都有意义的的值组 成的集合.（6）指数为零底不可以等于零6）实际问题中的 函数的定义域还要保证实际问题有意义（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域） 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系 和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定日所以如果 两个函数的定义域和对应关系完全一铿口称这两个函数相 等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定 义域和

8、对应关系完全一致而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一 致(两点必须同时具备(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法财论采取什 么方法求函数的值域都应先考虑其定义域(2).应熟悉掌 握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的 值域它是求解复杂函数值域的基础。3 .函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系出函数y=f(x) , (xG A) 中的x为横坐标函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫 做函数y=f(x),(x WA)的图象.C上每一点的坐标x,y)t匀满足函数关系y=f(x)反过来 以满足y=f(x；的

9、每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y), 均在 C 上.即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 图象C 一般的是一条光滑的连续曲缆或直线)，也可能 是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条 曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法:根据函数解析式和定义域求出x,y的一些 对应值并列表以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的,的(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来B、图象变换法(请参考必修三角函数)常用变换方法有三种即平移变换、伸缩变换和对称变(3肝用：1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法 分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4 ,

10、快去了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间；3)区间的数轴表示.5 .什么叫做映射一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定 的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元匏 与之对应那么就称对应f: A B为 从集合A到集合B的一个映像。记作ffA B”给定一个集合A到B的映像如果a W A,bW B.且元素a 和元素b对应那么我们把元素b叫做元素a的象元素a 叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射映射是一种特殊的对应 集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有方向 性;即强调从集合A到集合B的对应它与从B到A的对应

11、关系一般是不同的；对于映射：A-B来说，则应满足：(I )集合A中的每一个元素在集合B中都有象并且象 是唯一的；(n)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可以是同一个；(田)不要求集声中的每一个元素在 集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线也可以是直线折线、 离散的点等等注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法：必须注明函数的定义域;3图象法：描点法作图 要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函 数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表恺应能反映 定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查 出函数值。图象法：便于量出函数值

12、补充一：分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达 式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程就写函 数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起海分别注 明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各 段定义域的并集值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果 y=f(u),(uG M),u=g(x),(xG A),贝ij y=fg(x)=F(x),(x GA)称为f、g的复合函数。例如：y=2sinX y=2cos(X2+1)7.函数单调性(1).增

13、函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域内的某个 区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称 为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当 x1<x2时都有f(x1)>f(x2)那么就说f(x府这个区间上是 减函数区间D称为y=f(x)的单调减区间注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质,是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当 x1<x2 时，总有 f(x1)<f(x

14、2)。(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是tf函数或减函麴B么说 函数y=f(x)a这一区间上具有严格的)单调性在单调区间 上增函数的图象从左到右是上升獭函数的图象从左到右 是下降的(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取x1,x2W D,且x1<x2; 2 作差 f(x1)f(x2); 3 变 形(通常是因式分解和配方)；4定号(即判断差f(x1) f(x2)的正负)；5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性).(B)图象法(从图象上看升随(C)复合函数的单调性函数的单调性注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 不能把单调性相同的区间

15、和在一起写成其并彩、还记得 我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8.函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f(x)=f(x)方B么f(x)B叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有 f( x尸一f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶;也 可能既是奇函数又是偶函数。2由函数的奇偶性定义可炯数具有奇偶性的一个必 要条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义 域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶

16、性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点 对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先 确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(x)与f(x)的关系；3作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若f(x) =f(x)或 f(x)+f(x) = 0 则 f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对嵇不 对称则函数是非奇非偶函数音又t称(1漕根据定义判定(2) 有时判定f(-x)=f( x)比较困难，可考虑根据是否有 f(-x

17、) f(x)=0或f(x)/f(-x)= 1来判定(3两用定理或借助函 数的图象判定.9、函数的解析表达式(1) .函数的解析式是函数的一种表示方漉求两个 变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则 二是要求出函数的定义域(2) .求函数的解析式的主要方法有待定系数法、换 元法、消参法等如果已知函数解析式的构造时0"用待定系 数法；已知复合函数fg(x)的表达式时可用换元法这时要 注意元的取值范围当已知表达式较简单时也可用凑配法； 若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)10.函数最大(小)值(定义见课本36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(

18、小) 值2利用图象求函数的最大(小)值利用函数单调性的 判断函数的最大(小)值：如果函舞f(x庭区Wa,b上单 调递增，在区Wb,c上单调递减则函数y=f(x庵x=b处有最 大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b":单调递减在区间 b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数哥的运算1 .根式的概念：一般地如果，那么叫做 的次方根 (n th root)淇中 >1,且 *.当是奇数时正数的次方根是一个正数负数的次方 根是一个负数.此时的次方根用符号表示.式子叫做 根式(radical)，这里叫做根指数rad

19、ical exponent ,叫 做被开方数(radicand)当是偶数时正数的次方根有两个，这两个数互为相 反数.此时正数的正的次方根用符号表示，负的次方根 用符号一表示.正的次方根与负的次方根可以合并理(>0) .由此可得：负数没有偶次方根0的任何次方根 都是0,记作。注意：当是奇数时，当是偶数时，2 .分数指数募正数的分数指数曷的意义规定：0的正分数指数募等于0,0的负分数指数募没有意义指出：规定了分数指数募的意义后旨数的概念就从整 数指数推广到了有理数指嬲B么整数指数募的运算性质也 同样可以推广到有理数指数哥.(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数

20、(exponential )，其中x是自变量函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范底数不能是负数、 零和1.图象特征函数性质1 .向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R2 .图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3 .函数图象都在x轴上方4 .函数的值域为R+5 .函数图象都过定点0,1）6 .自左向右看图象逐渐上升自左向右循象逐渐下降 图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极，策U 了某一值后减小速度较慢； 注意：利用函数的单调性结合图象还可以看出：在a,b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指

21、数函数，总有；当时若，则；二、对数函数（一）对数1 ,对数的概念:一般地如果，那么数叫做以为底的 对数记作：（一底数一真数一对数式）两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数；2自然对数：以无理数为底的对数的对数.（二）对数函数1、对数函数的概念：函数且叫做对数函数其中是 自变量，函数的定义域是0,+°°).注意：1对数函数的定义与指数函数类传都是形式定 义，注意辨别。图象特征函数性质1 .函数图象都在y轴右侧函数的定义域为0, 十 °°)2 .图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3 .向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R4 .函数图象都过定点1,0)自

22、左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降(三)曷函数1、曷函数定义：一般腓如的函数称为曷函3中 为常数.2、曷函数性质归纳.(1)所有的曷函数在0,+°°)都有定义并且图象都 过点(1,1);(2)时,福函数的图象通过原点并且在区间上是增 函数,特别地当 时曷函数的图象下凸;当时，曷函数的图 象上凸；（3）时曷函数的图象在区间上是减函数,在第一象 限内，当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴 正半轴，当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.第三章函数的应用、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数把使成立的实数叫 做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点

23、就是方程实数根 亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零 点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1 （代数法）求方程的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方幽以将它与 函数的图象联系起来并利用函数的性质找出零点.3 、二次函数的零点：4 次函数.1） Z>0,方程有两不等实根二次函数的图象与轴有 两个交点二次函数有两个零点.2) Z=0,方程有两相等实根(二重根)，二次函数的 图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零 点.高一数学必修4正角：按逆时针方向旋转形成的角3) 2<0,方程无1、任意角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角

24、:不作任何旋转形成的角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为k 360k 360k 360k 360k 360o 90o,k90o k 360o 180o,k180o k 360o 270o,k_oo o270 k 360 360 ,k终边在x轴上的角的集合为 终边在y轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角终边相同的角的集合为 4、已知是第几象限角，确定- nk 180o,kk 180o 90o,kk 90o, kk 360o ,k所在象限的方法

25、:先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起, 依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象 限对应的标号即为-终边所落在的区域.n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角 的弧度数的绝对值是1r7、弧度制与角度制的换算公式o2360o,1o 荷,118057.3o.8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为r,弧长为1,周 长为 C ,面积为 S,则1 r , C 2r 1 , S 11r -| |r2 .229、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的 坐标是x,y ,它与原点的距离是r r尸丁 0 ,则 yxysin-, cos-

26、,tan-x 0 .rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二 象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为 正.11、二角函数线：sin , cos , tan .12、同角三角函数的基本关系：1 sin2cos21sin21 cos2 ,cos21 sin2;2 tan' cos,sinsin tan cos ,cos -tan13、三角函数的诱导公式:1 sin 2ksin,cos 2kcostan 2k ,2 sinsincos ,costantan .3 sinsincoscostantan4 sinsin,coscos , tantan口诀：函数名称不变，符

27、号看象限.5 sin cos , c0s sin .226 sin - cos , cos sin . 22口诀：奇变偶不变，符号看象限.14、函数y sin x的图象上所有点向左（右）平移| 1个单 位长度,得到函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将函 数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到 原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图 象.函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原 来的工倍（纵坐标不变），得到函数y sin x的图象；再将函数

28、y sin x的图象上所有点向左 （右）平移U个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象.函数y sin x 0,0的性质：27 / 25振幅：；周期：上；频率：f 1 2相位：x函数ysin x当x X时，取得最小值为yminx x2时，取得最大值为112 YmaxYmin,- YmaxYmin,万x?% %x?.ymax15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函 性质平Hin xy tanxy cosx0(J定义域值x k ,k 21,11,1当 x 2k k时,x

29、2k 2时，ymax1 ；ymax 1 ；当 x2kk 时，ymin 1 .x 2k 2k既无最大值也无最小值奇函数偶函数奇函数2k ,2k2在 2k ,2 k k上是增函k 上是增函数；在上是增函数；在2k ,2 k2k2,2k32上是减函数.数.上是减函数.对k ,0,0 k290 k对称轴x k无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为。的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的 非零向量.零 向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且 方向相同的向量.17、向量加法运算：三角形法则的特点： 首尾相连.运算性质：交换律:平行四边形法则的特点：共起点.abba;结合律:a b c a b r ；a 0 0 a a.坐标运算：设a xi,yi , b x?.,则r ra b Xi 乂2,丫1 V2 18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向 指向被减向量.坐标运算：设 a x/，b X2,y2,则 a b x1 X2,y y2.设、 两点的坐标分别为x/ , X2,y2 ,则 uurXi X2,yi V2 19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的 数乘，记作a.1 a