《金融工程》作业一二三

1、1、 一只股票现在价格是100 元。有连续两个时间步，每个步长6 个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%(连续复利)，运用无套利原则求执行价格为100 元的看涨期权的价值。2、假设市场上股票价格 S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式看涨期权的价格是3 元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？3、 股票当前的价格是100 元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是3 元和 7 元。 如果买入看涨期权、 卖出看跌期权， 再购入到期日价值为 100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征(可以叫做合成股票) 。

2、试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？作业解答：1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08, 所以 p=( e 0.08 x0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是：(0. 70412X21+2X0.7041 X0.2959 X0+0.2959 2X0) e -08=9.61 02、 本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT =20-18e -0.1 =3.71 。 显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。 17 以 10%投资一年，

3、成为17 e 0.1 =18.79。到期后如果股票价格高于18,套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利 18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票 并将股票空头平仓，盈利是 18.79-17=1.79元。3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。第一，若投资成本低于 96元（比如是93元），则合成股票的成本只有 97 元（7-3+93 ）,相对于股票投资少了 3元。套利者以97元买入合成股票，以100 元卖空标的股票，获得无风险收益 3元。第二，若投资成本高于96元（比如是98元），则合成

4、股票的成本是102元， 高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来 2 元的无风险利润。作业二：1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入 5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：固定利率浮动利率A公司12.0%LIBOR+0.1%B公司13.4%LIBOR+0.6%A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个 利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1 %的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。2. X公司希望以固定利率借入美元， 而Y公司希望以固定利率借入日元,而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：

5、日元美元X公司5.0%9.6%Y公司6.5%10.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是 50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6 个月的LIBOR利率交换12%的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6 个月的UBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10% （连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6%。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值 为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？ 作业答案：1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。

6、而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利 率贷款上的年利差是1.4%,在浮动利率贷款上的年利差是 0.5 o如果双方合作， 互换交易每年的总收益将是 1.4%0.5%=0.9%。因为银彳f要获得0.1%的报酬I, 所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和B公司将分别 以LIBOR 0.3%和13%勺利率借入贷款。合适的协议安排如图所示12%a ,r愀金融Kr | BLIBOR+0.6%LIBOR LIBOR2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y公司在美元市场上有比较优势但想借入日

7、元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元 贷款上的利差为1.5%,在美元贷款上的利差为0.4%,因此双方在互换合作中的 年总收益为1.5%0.4%=1.1%。因为银行要求收取 0.5%的中介费，这样X公司 和Y公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X公司实际上以9.6%0.3%=9.3% 的利率借入美元，而 Y实际上以6.5%0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排 如图所示。所有的汇率风险由银行承担。日元5%日元6.2%日元 5%-A 士金融介 ."B美元 10%美元9.3%美元10%3. 根据题目提供的条件可知，L旧OR的收益率曲线的期限结构是平的，者B 是10%

8、（半年计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为6e 0.3333 0.1 106 e 0.8333 0.1 103.33 百万美元互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为100 4.8 e 0.3333 0.1 101.36 百万美元因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33 101.36 1.97百万美元，对支付固定利率的一方的价值为一1.97百万美元。加元5%加元6.25%加 元 5% AM金融 中不I BB 美 元LIBOR+1%美元 LIBOR+0.25% 美元 LIBOR+1%本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭 头指示相同。金融中介在此期间承担了

9、外汇风险，但可以用外汇远期合 约抵补。作业三：1 .假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%年波动率30%该股票当天收盘价为 50元，求： 第二天收盘时的预期价格， 第二天收盘时股价的标准差，在量信度为95%青况下，该股票第二天收盘时的价格范围。2 .某股票市价为70元，年波动率为32%该股票预计3个月和6个月后 将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%现考虑该股票的美式看涨期权， 其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权 都不是最优的，并请计算该期权价格。3 .某股票目前价格为 40元，假设该股票1个月后的价格要么为 42元、 要么38元。

10、连续复利无风险年利率为 8%请问1个月期的协议价格等于 39元 欧式看涨期权价格等于多少？习题答案：1、由于一S ( t, C)S在本题中，S= 50,=0.16, =0.30, t=1/365=0.00274.因此，0.5、S/50 (0.16 0.00274,0.3 0.00274 )S (0.022,0.785)因此，第二天预期股价为 50.022 元，标准差为 0.785 元，在95的置信水平上第 2 天股价会落在 50.022-1.96 0.785 至 50.022+1.96 0.785, 即 48.48元至 51.56 元之间。2、 D1=D2=1,t 1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65可见，显然，该美式期权是不应提早执行的。红利的现值为：该期权可以用欧式期权定价公式定价：S= 701.9265 =68.0735, X= 65, T=0.6667,r=0.1,° = 0.32N(d 1)=0.7131,N(d 2)=0.6184因此，看涨期权价格为：3、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和股股票构成。如果股票价格升 到42元，该组合价值就是42-3。如果股票价格跌到38元，该组合价值 就等于38 Ao令：42 -3=38