2019年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题(含答案)

1、2019年中考数学真题分类训练一一专题二十二：新定义与阅读理解题1. (2019天水)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图 2,在四边形 ABCD中，AB=AD, CB=CD,问四边形 ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O, AC± BD.试证明：AB2+ CD2=AD 2+ BC2;(3)解决问题：如图3,分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形ABDE ,连结 CE、BG、GE.已知 AC=4, AB=5,求 GE 的长.解：(1)四边形ABCD是垂美四边

2、形.理由如下： AB = AD, .点A在线段BD的垂直平分线上，. CB=CD,，点C在线段BD的垂直平分线上， 直线AC是线段BD的垂直平分线，. ACXBD,即四边形 ABCD是垂美四边形；(2)如图1,. ACXBD, ./AOD=/AOB=/BOC=/COD=90 ,由勾股定理得， AB2+ CD2= AO2+ BO2+ DO 2+ CO2= AD2+ BC2, .AD2+BC2=AB2+CD2;ABC图1（3）连接 CG、BE,Bn尸用三却Z CAG= ZBAE=90 , / CAG+ / BAC= / BAE+ / BAC,即/ GAB= / CAE,AG AC 在 GAB 和

3、CAE 中，GAB CAE ,AB AE .GAB，CAE （SAS）, ./ABG=/AEC,又/ AEC+/AME=90 , ./ABG+/AME=90 ,即 CEXBG, 四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2,. AC=4, AB=5, . BC=3, CG=4 百，BE=5 6， .GE2=CG2+BE2-CB2=73, .GE=J73.2. （2019白银）阅读卜面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边 ABC中，M是BC边上一点（不含端点 B,C) , N是 ABC的外角/ ACH的平分线上一点，且 AM=MN .求证：/ AMN =60点拨

4、：如图，作/ CBE=60 , BE与NC的延长线相交于点 E,得等边 BEC,连接EM.易证： ABMEBM （SAS ,可得 AM = EM, / 1 = /2;又 AM=MN,则 EM=MN,可得/ 3=/4;由/ 3+ / 1=/4+7 5=60° ,进一步可得/ 1=/2=/5,又因为/ 2+7 6=120° ,所以/ 5+7 6=120° ,即：/ AMN =60 .问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1, G） , N1是正方形 A1B1C1D1的外角/ D1C1H1的平分线上一点，且 A1M1=M1N1.求证：

5、/ A1M1N1=90 .E 解：延长 A1B1至E,使EB产A1B1,连接EM1、EG,如图所示：则 EB1 = B1C1, / EB1M1=90 = Z A1B1M1,， EB1C1是等腰直角三角形，. / BEC1= / BGE=45 ,N1是正方形A1B1C1D1的外角/ D1C1H1的平分线上一点,MiCiNi=90 +45 ° =135 / B1C1E+ / MiCiNi=180 ,E、C1、N1三点共线，A1B1EB1在 A1BM1 和 EB1M1 中，A1B1M1EB1M1 ,B1M1 B1M1.八自仙田4 EB1M1 (SAS),.A1M1= EM1, / 1=/2

6、, . A1M1=M1N1,EM1 = M1N1,Z 3= Z 4, /2+/3=45° , / 4+/5=45 ° , . . / 1=/2=/5, / 1+7 6=90° , .5+ / 6=90° , 八川网1=180° -90° =90 ° .3. (2019江西)特例感知 .一 2.2 一 .2_.一 一一(1)如图1,对于抛物线y x x 1 , y2 x 2x 1 , y3x 3x 1 ,下列结论正确的序号抛物线必，y2, y3都经过点C(0,1)；1抛物线y2, y3的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 y

7、1,y2,y3的对称轴分别是直线x1-, x21, x3 y,y2,y3与y 1交点（除了点C）横坐标分别为-1, ynxi 2 nx 1 n2 42 4令顶点 Pn横坐标 x - ,纵坐标 y , y 个单位得到;2抛物线y1，丫2, y3与直线y 1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念.一一2. (2)把满足ynx nx 1 (n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为?，P,用含n的代数式表示顶点 Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）"

8、：Ci, C2, C3,，Cn,其横坐标分别为：k 1, k 2, k 3,， k n （ k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由 在中，直线 y 1分别交“系列平移抛物线”于点 A, A2 , A3,，An,连接CnAn , Cn 1Ali，判断CnAn , Cn 1An 1是否平行？并说明理由3 一. ，2,所以正确;2, - 3,所以距离为1,都相等，正确.理由：根据题意得;2Cnk n, k nk 1 , Cn 12k n 1, k nk k 1 ,CnCn 1两点之间的铅直高度22k nk k 1 k nk 1 k.Cn

9、Cn .1两点之间的水平距离，由勾股定理得CnCn i2=k2+1 ,CnCn - 1 = k21 .CnA与Cn lA 1不平行.理由:根据题意得：Cn k n, k2 nk 1 , Cn 1 k n 1, k2 nk k 1 ,A n,1 ,An 1 n 1,1 .过Cn, Cn1分别作直线y=1的垂线，垂足为D, E,所以 D ( - k- n, 1) , E ( - k- n+1 , 1)在 RtDAnCn 中,CD tan / DA nCn= -nDA1D21 k nk 1n ( k n)k2 nkk在 RtEAn-1Cn-1中,k2 nk kkC_ ,E tanZEAn 1Cn 1

10、= n-1EAn1E21 k nk k 1n 1 ( k n 1) .tan/DAnCnWtan/EAn Qn 1, CnA 与 Cn 1Al 1 不平行.4. （2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22017+2 2018的值，采用以下方法:设 S=1+2+2 2+22017+22018,贝U 2S=2+2 2+-+2 2018+2 2019(2),-得 2S- S=S=2 2019 - 1, .S=1+2+2 2+2 2017+22018=22019 1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+29=(2)3+32+ +310(3)求1 + a+a2+an的和（

11、a>0, n是正整数），请写出计算过程.解:(1)设 S=1+2+2 2+-+29,贝U 2S=2+22+210,-得 2S- S=S=210- 1, . S1+2+2 2+ +29=210 1;故答案为：210-1;(2)设 S=3+3+3 2+33+34+310,贝U 3S=32+33+34+35+ +3 11(2),-得 2s=3 11-1,11即 3+32+33+34+310= 3-1;211故答案为：31;2(3)设 S=1+a+a2+a3+a4+ an,则 aS= > 3+a3+m+an+an+1 ，-得：（a- 1） S=aT+1 - 1,a=1时，不能直接除以 a-

12、 1,此时原式等于 n+1 ;n 1aw 1时，a- 1才能做分母，所以 S= a1,a 1n 1即 1 + a+a2+ a3+a4+ + an= a.a 15. （2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m, n,我们可将这个两位数记为 有，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abC=100a+10b+c.【基础训练】（1）解方程填空：若 2x+ x3=45，贝U x=；若 7y - y8=26,贝U y=；若 t93 +及8 = 131,则 t=；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm,则mn +而一定能被整

13、除，mn - nm 一定能被 整除，mn?nm -mn 一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相 同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为 325,则用532- 235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑

14、洞数”.该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ;设任选的三位数为 诙(不妨设a> b>c),试说明其均可产生该黑洞数.解：(1): mn =10m+n, 若 2X+X3=45,则 10X2+x+10x+3=45 ,. .x=2 ,故答案为：2.若 77 y8=26,贝U 10x 7+y- (ioy+8) =26,解得y=4 ,故答案为：4.由abC=100a+10b+c,及四位数的类似公式得若而+ 5t8= 131 ，贝U 100t+10x 9+3+100 x 5+10t+8=1000 x 1+100X 3+10t+1 ,.-100t=700, t=7,故答案为：7. mn + nm =10m

15、+ n+10n+m=11 m+11 n=11 (m+n), .则 mn + nm 一定能被11整除，mn - nm =10m+ n - (10n+ m) =9m - 9n=9 ( m - n),mn - nm '定能被9整除mn ?nm - mn= (10m+n) (10n+m) - mn=100mn+10m2+10n2+mn - mn=10 (10mn+m2+n2)mn ?nm mn 一定能被 10 整除故答案为：11; 9; 10.(3)若选的数为 325,则用532- 235=297,以下按照上述规则继续计算，972- 279=693,963- 369=594,954- 459=

16、495,954- 459=495,故答案为：495.当任选的三位数为 abc时，第一次运算后得：100a+10b+c- (10Qc+10b+a) =99 (a-c),结果为99的倍数，由于a>b>c,故a>b+l >c+2 , a - c>2,又 9> a>c>0,a - cw 9,.a- c=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,，第一次运算后可能得到：198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891,再让这些数字经过运算，分别可以得到：981 - 189=792, 972- 279=693, 963- 36

17、9=594, 954- 459- 495, 954- 459=495，故都可以得到该黑洞数 495.6.(2019衢州)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b), B (c,d),若点T(x,y)满足x a_c, y b_d那么称点T是点A, B的融合点.33例如：A ( - 1,8), B (4, -2),当点 T (x,y)满足x'41, y-2 时，则点 T (1,332)是点A, B的融合点.(1)已知点A ( - 1, 5) , B (7, 7) , C (2, 4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.(2)如图，点 D (3, 0),点E (t, 2t+3)是

18、直线l上任意一点，点 T (x, y)是点D, E的融合点.试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H.当 DTH为直角三角形时，求点 E的坐标.解：(1)=2, 口=4, 33点C (2, 4)是点A、B的融合点;(2)由融合点定义知 x (t+3) , y (2t+3 ),331贝Ut=3x3,贝Uy (6x 6+3) =2x- 1；3要使 DTH为直角三角形，可分三种情况讨论:当/ DHT=90°时，如图1所示,5E1设 T (m, 2m-1),则点 E (m, 2m+3),由点T是点D, E的融合点得：m m或2m 1 2m 3 033解得：m 3,即点E ( 3 , 6)

19、;22(ii)当/ TDH =90 时，如图2所示,则点 T (3, 5),由点T是点D, E的融合点得：点 E (6, 15);(iii)当/ HTD=90°时，该情况不存在； 3综上所述，符合题意的点为( 一，6)或(6, 15)27. (2019济宁)阅读下面的材料：如果函数y=f (x)满足：对于自变量 x的取值范围内的任意 xi, X2,(1)若Xi<X2,都有f(Xi)<f(X2),则称f(x)是增函数;(2)若 x1<x2,都有 f (x1)> f (x2),则称f (x)是减函数.6例题：证明函数f (x) = (x>0)是减函数.x证明

20、：设0<x1<x2,66f (x1)- f (x2)=Xx26x2 6x1x1x26 x2 x1x1x2. 0<x1<x2, 1- x2 - xo 0, x<x2> 0.6 x2 x1>0.即 f (x1) - f (x2)> 0.x1x261 f (Xi) > f(X2),，函数 f (x) (x>0)是减函数.X根据以上材料，解答下面的问题： 1,、已知函数 f (x) = + x (x<0),Xf (一1171) =-2+ (-1) =0, f ( - 2) =-2+ (-2) = - 7(1)2( 2)24(1)计算：f

21、 ( - 3) =, f ( - 4) =;一，1猜想：函数f (x) = +x (x<0)是 函数(填“增”或“减”)；x(3)请仿照例题证明你的猜想.-11解：(1)f (x) = + x (x<0),xf (- 3)故答案为：1_ 263=(3)29f ( 4)1 一 6394=(4)2162663.9 16'(2)- 4< - 3, f ( - 4) >f ( - 3),1，函数f (x) = + x (x<0)是增函数,x故答案为：增；(3)设 x1< x2<0 ,1x2= (xx2) X2x1x2X1 x21- f (x1)- f

22、(x2)= x1为- X1<X2<0, X1 - X2<0 , X1+X2<0 ,f (X1)- f (X2)<0, f (X1)<f (X2),1，函数f (x) = -2 + x (x<0)是增函数.X8. (2019宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在 ABC中，AB=AC, AD是 ABC的角平分线，E, F分别是BD, AD上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5X 4的方格纸中，A, B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线，E, F在

23、格点上.(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若 N为AC的中点，DE=2BE, QB=3,求邻余线 AB的长.园1国2解：(1) AB=AC, AD是 ABC的角平分线， .ADXBC, ZADB=90 , . Z DAB+/DBA=90 , / FAB 与/ EBA 互余， 四边形ABEF是邻余四边形； (2)如图所示(答案不唯一)， A 尸H | | |j I| | | | |l图2 四边形ABEF即为所求；(3) . AB = AC, AD是 ABC的角平分线， . BD=CD,. DE=2BE, . BD=CD=3BE, .CE=CD+DE=5BE. / EDF=90 , M 为 EF 中点，.DM=ME.MDE=Z MED ,.AB=AC,. ./ B=/C,. DBQA ECN,.QB BD 3NC CE 5 '. QB=3, ., NC=5,. AN = CN, . AC=2CN=10,.AB = AC=10.9. (2019枣庄)对于实数 a、b,定义关于“ ？ ”的一种运算：a? b=2s+b,