2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.2集合的基本关系学案新人教B版

1、1.1.2集合的基本关系（教师独具内容）课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个集合包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系.教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的 判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系.教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2. 一些关系符号（？，？，C, ?）的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况 .I核心概念掌握I【情境导学】（教师独具内容）我们学校共有高一、 高二、高三三个年级，每个年级都分为两个级部，每个级部都有若干个班级，每个班级都有若干个学生.学校可以看成“所有学

2、生组成的集合”，而年级、级 部、班级可以看成“某些学生组成的集合”.这里有个体（学生）、局部（年级等）、整体（学校）一些研究对象.怎么用集合语言刻画它们之间的关系呢？【知识导学】知识点一子集一般地，如果集合A的任意一个元素口01都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的陛 子集,记作B3A? B（或04B? A ,读作“：08包含于 B，（或“EB包含 A'）.对应地，如果A不是B的子集，则记作"A B（或08B?A| ,读作"理八不包含于B”（或 “坦B不包含A"）.规定：也空集是任何集合的子集.注意：（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整

3、体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）.（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如：A=1,2 , B=1,3,因为2CA,但2?B,所以A不是B的子集；同理，因为3c B,（13?A,所以B也不是A的子集.（3）子集有下列两个性质：自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A? A;传递性：对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C（4）为了直观地表示集合间的关系，常用平面上的封闭图形的内部表示集合，称为维恩图.因此，A? B可用维恩图表示为知识点二真子集一般地，如果集合 A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于 A,那么集合A 称为集合B的即真子集

4、,记作g2A B(或B A),读作“眄真包含于 B，(或“4B真包含 A' ) .可用维恩图表示为很明显，空集是任何非空集合的真子集.从真子集的定义可以看出，要想证明A是B的真子集，需要两步：一是证明口 05A? R即A中的任何元素都属于 B),二是证明B中至少有 一个元素不属于 A知识点三集合的相等一般地，如果集合 A和集合B的元素完全相同，则称集合 A与集合 分相等,记作？A =B,读彳“国3八等于B，.由集合相等的定义可知：如果口 04A? B且05B? A,则06A= B;反之，如果？AB,则08A ? B且09B? A【新知拓展】1 .对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A

5、中的任何一个元素都是集合 B中的元素，即由xC A,能推出xC B,这是判断 A? B的常用方法.(2)不能简单地把" A? B'理解成" A是B中部分元素组成的集合”.因为若A= ?,则A中不含任何元素；若 A= B,则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B,其次至少有一个xeB,Hx?A2 .集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n(nC N*)个元素的集合有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2 n-2)个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合

6、本身易漏掉.3 .由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：不能忽视集合为 ？的情形；当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.什侨佰领I1 .判一判(正确的打，错误的打“X”)(1)若A? B,则B中至少有一个元素不属于A(2)若A? B,则要么A B,要么A= B.()(3)空集没有真子集.()(4)若A?B,则B不会是空集.()(5)若 A= B,则必'有 A? B()答案 (1) x (2) V V x (5) V2 .做一做(请把正确的答案写在

7、横线上)(1)用适当的符号(？，？，=)填空. * _N N, R Q,x|x2=1 1,1,'x+ y=1,、( x, y)| x+y = 1f x, y |x- y = 0(2)给出下列集合：A=x|x是平行四边形, B=x|x是矩形, C= x|x是菱形, D= x| x是正方形,它们的关系可以表示为 .答案(1)=(2) D BA, D C A核心素养形成题型一 判断集合之间的关系例1判断下列各组集合的关系：(1) A= 1,2,4 , B= x|x 是 8 的正约数;(2)A=x|x是等边三角形, B=x| x是有一个内角是60°的等腰三角形; -_* _(3) A

8、= x|x=2n1, nCN, B= x|x=2n+1, nCN.解(1)集合A中的元素1,2,4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B,即A? B;但B中的元素8不属于A,从而Aw B,所以A B(2)等边三角形的三个内角都是60°且等边三角形都是等腰三角形，即A? B;有一个内角是60。的等腰三角形是等边三角形，即B? A,所以A= B.(3)解法一：两个集合都表小一些正奇数组成的集合，但由于nCN,因此集合A含有兀素“1”，而集合B不含元素“ 1”，故BA.解法二：由列举法知 A=1,3,5,7 , B= 3,5,7,9 ,所以B A金版点睛集合间的关系是由两集合中元素的关系确

9、定的，因此，要判定集合间的关系，必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的关系给出结果；很明显当B或者A= B时，不宜表不'为 A? B.跟踪训练1例1中(3),两集合中条件“ nC N*”改为nC Z,结果如何？解A= B题型二 写出集合的子集和真子集例 2 写出集合 a， b， c 的所有子集和真子集 解 因为集合 a， b， c 中有 3 个元素，所以其子集中的元素个数只能是0,1,2,3.有 0 个元素的子集： ? ；有 1 个元素的子集：a， b ， c ；有 2 个元素的子集：a，b， a， c， b， c ；有 3 个元素的子集： a， b， c 因

10、此集合 a， b，c 的所有子集为?，a ， b， c ， a，b， a，c， b， c ， a，b，c 集合a, b,c的所有真子集为？，a,b,c, a,b, a, c, b,c.金版点睛本例采用分类列举的办法， 分类的标准是子集中元素的个数， 这样做， 所写的子集不重不漏，是一种思路清晰、条理明确的解题方法. 在写出的集合的子集中，除去集合本身，剩下的都是该集合的真子集. 跟踪训练 2 写出集合 1,2,3 的所有子集和真子集解 集合 1,2,3 的所有子集为 ？， 1 ， 2 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3 ， 1,2,3 集合 1,2,3 的所有真子集为 ？， 1 ， 2

11、 ， 3 ， 1,2 ， 1,3 ， 2,3.题型三 有限集子集个数探究 . . ，、- * . . .例3令集合 A=?,集合A = ai, a2, a3,，an( nCN),试探究集合 An子集的个数. 解 为了方便， 不妨设集合An 的子集数为m( An) 我们把An 的子集分为两类，第一类：含元素an；第二类：不含元素an.易知，第二类就是集合A1的子集，且第一类和第二类同样多.因此，m(A)= 2m( A-1).从而，m( A-1) = 2m(A-2),，m(Ai)=2m( Ao),易知m(Ao)=1.所以 m(An) = 2mA i) = 22mA 2) =23m(An 3) =3

12、= 2nmAo) = 2n.金版点睛若一组对象分为甲、 乙两类， 当两类对象同样多时， 我们只要知道其中一类对象的个数，也就知道了另一类对象的个数， 从而也就知道了这组对象的总个数 “同样多”是一种一一对应的观点如下例：很明显，第二行就是 A的所有子集，从而 n（ A3） = 2m（A2）.注意：如果非空集合 A中有n（nC N*）个元素，那么集合 A的子集有2n个，真子集有（21）个，非空真子集有（2n2）个.跟踪训练3满足1,2 M? 1,2,3,4,5 的集合M有多少个？解由1,2M可知，M中必定有1,2两个元素，且至少还有异于1,2的“其他” 一个元素；由M? 1,2,3,4,5 可知

13、，上面所说的“其他”应当来自于3,4,5这三个数：可以是其中的1个（三种情况），2个（三种情况），3个（一种情况）.故满足条件的集合M有7个（也就是集合3,4,5的非空子集的个数）.题型四集合相等的应用例 4 设集合A=1 , a,b,B=a,a2,ab,且A=B 求a2019+b2020.a2= 1,a2= b,解由八=B,有，或，ab= b ab= 1.a= 1,a= 一 1, a=1,解方程组得或t或i©CR|b=0b=1,由集合元素的互异性，知 aw1.a= 1, b=0,故 a2019+ b2020= - 1.金版点睛集合相等的应用方法根据两个集合相等求集合的待定字母，一般

14、是从集合中元素对应相等来建立方程（或方程组），要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要将方程（方程组）的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去.跟踪训练4已知集合A= 2, x,y,B= 2x,2,y2,若A= B,且x, y为整数，求（x+y）2019 的值.解-. A= B, .集合A与集合B中的元素相同.x，或y=yly=2x,x =。, 解得y = 0.x= 0, 或二y=i1 x=4,1 y=2（舍去）.验证得，当x=0, y=0时，A= 2,0,0,这与集合元素的互异性相矛盾，舍去.当 x = 0, y=1 时，A=B= 0,1,2,符合题意.x, y 的取值为9 0,.（x+

15、y）2019= 1.iy=1,题型五含参问题探究例 5 已知集合 A= x| -2<x<5, B= x|mH 1Wxw2m 1.若 B A,求实数 m的 取值范围.解当Bw?时，如图所示：*XA i>2 rn +12,IR- I 5 二的 1>- 2, "2mT 1<5,、2mT 1 , mu 1诏 1>-2,或I2mr K5,、2mr 1 > m 1,解这两个不等式组，得 2wm 3.当 B= ?时，由 mu 1>2rmr 1,得 m<2.综上可得，m的取值范围是 m m 3.金版点睛本例的难点是解读集合事实上，集合0就是不等式

16、组二 的解集（只是写法不同），易知当机十 【nW2 m 11>2机一1,即根2时，不等式组无解，即B=0;当m =2时，8= 3；当>2时，集合£即为区间切+八 2m一口（从几何角度讲，集合B是数轴上一条变端点、 变长度的线段）.跟踪训练 5已知集合A=x| -3<x<4,B= x|2mr1<x<m 1,且B?A 求实数 m的取值范围.解 B? A,分两种情况考虑:当 B= ?时，mK2 m-1,解得m> 2.当Bw ?时,1一3<2 m- 12m- 1<m+ 1解得1W m<2,综上得m的取值范围为mm> 1.随堂水

17、平测试1 .下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若？ A则Aw ?.其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案 B解析 空集是它本身的子集；空集只有一个子集；空集不是它本身的真子集；空集是任何非空集合的真子集.因此，错误，正确.2 .集合 P= 0,1 , Q= y|x2+y2=1, xCN,则集合 P, Q间的关系是（）A. P= QB. P QC. Q PD.不确定答案 B解析 由 x2+y2= 1, xC N,彳导 y=±1,0,即 Q= -1, 0,1,所以 P Q 故选 B.23 .已知集合 A= x|x -1 = 0,则下列式子表不正确的有（）1C A; 1C A;？ A;1 , - 1? AA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案 C解析 A= x|x21 = 0=1,1,故正确，不正确.4.满足a? M a, b, c, d的集合M共有（）A. 6个B. 7个C. 8 个D. 15 个答案 B