用放缩法证明不等式的方法与技巧

1、11 k(k1)1k21 k(k用放缩法证明不等式的方法与技巧1)2k k132kk2(k4)41232k(k2)51k！2 ( k1)！1k！6所谓放缩的技巧：即欲证由 A 到 C 叫做“放” ，由常用的放缩技巧A B ，欲寻找一个(或多个)中间变量B 到 C 叫做“缩”.C ，使 A C B ，1 )若t 0,at a,a t2)n， 2 nn11 ， n(n 1)n2n3)114)5)若6)7)7)8)nn12( n 1n(n1)12 n2n(n1)n12a,b,m2!12213!1321n!12 n11naa, b1(12212)1nnamb1 (n n1n1)2( n n 1) n1

2、(12112n 113)1n1111) (因为 21)(n 1)nn11或n112n1n11n111123n21n312n12n2n12n n2nn 等等。先求和再放缩1设Sn112nnnnn1，求证：Sn1n(n 1)2设bn) ，数列 bnbn 2 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn7（二） 先放缩再求和:1123L n1113证明不等式：L1 12 1231114设Sn 122 L 2n 22 32 n2（ 1 ）求证：当n 2 时， nSn 2 ；n1（ 2）试探究：当n 2 时，是否有6nSn 5 ？说明理由（n 1）（2n 1）35设bn( 1 ) bn13242n 12n2n 1

3、bn2n 1 16设an n ， bn(an)2 an 11n(n 1)2求证(1)anan 1n*2) b1b2 b3 Lbn(n N )n127 设 bn (n 1) ， an n(n 1)， 求证 :a1b1a2b2an15bn 128 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图 . 其中第一个图有1 个蜂巢，第二个图有7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以f （n） 表示第 n 个图的蜂巢总数.（ 1 ）试给出 表达式（不要求证明）14f(n) 3f (4), f(5) 的值， 并求 f (n) 的1112)证明：Lf(1

4、) f(2)f(3)9 （ 10 广州）设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，对任意的n N ，都有Snm 1man （m 为常数， 且 m 0) 1 ）求证：数列an 是等比数列；2） 设数列an 的公比 q f m ， 数列bn满足b1 2a1,bnf bn 1 (n 2 ， nN*)，求数列bn 的通项公式；3）在满足（2）的条件下，求证：数列bn2的前 n 项和Tn89181 , a2n 210（010 深圳） 在单调递增数列an中，a11 ，a22， 且 a2n 1, a2n, a2n1 成等差数列，a2n,a2n成等比数列，n 1, 2 , 3, L （ 1）分别计算a3， a5

5、 和 a4， a6的值；（ 2）求数列an 的通项公式（将an 用 n 表示） ；（ 3）设数列 1 的前 n 项和为Sn ，证明：Sn 4n ， n N * ann 22证：bnbnbb 21n111(n(n 2) 2 nTnb1b3b2b4b3b5L bnbn 23证明：12(1 (12111113) (4解：（ 1 ）当111111) (1 1) (n1112<1431) n212 时，1111) L4611 )nn21 2121321又2 nn(n1)Sn(112)2 时，2)111 225323122(12n44n213221212n 1Ln12n<22n 1当 n 2时

6、 ,要 Sn13)Sn(n 1)n11 (112)2.n1(1213)(n1111)n11 2(1nn1(2n 1)(2n 1)2(2n6nn1n12n 1111) (155121nn 只需(n 1)(2n 1) n 1即需 2n 1 6，显然这在n 3 时成立156n而 S2 1, 当 n 2 时4 4(n 1)(2n 1)即当 n 2 时 Sn6n也成立(n 1)(2n 1)综上所述：当n 2 时，有6nS 5 .(n 1)(2n 1) n 35 证法一：24n 111) L (7 2n2n 1)6n(n 1)(2n 1)62(2 1)(4 1)454 显然 55454n2, (2n 1)

7、(2n 1) 4n2(2n 1)2(2n 1) 4n2(2n 1).2n 12n 1证法二：证法三：2n2n2n 12n 12n13 5 L 2n 13 5 7 2n 12n12n2n 1设An(2n)2 1则AnBn.又An2AnBn2n 112n 14n2又因为An0 ，所以An13245L62n 12n证法四： （数学归纳法）假设 n则当 n2n 1，下同证法一.34 65L2n 12n 1当 n 1 时 ,13k 时 ,命题成立,即241351时 , L2462k2n 12nBn4n2.即2n2nx12k 14(k 1)22k 35L62k2k2k12n1,命题成立;32k 12(k

8、1)2(2k 1)(2k 3) 4(k 1)24(2k 3)(k 1)222(4k2 8k 3) (4k2 8k 4)4(2k 3)(k1)22k 14(k1)22k 310分10分6L72n2n2n 12n 1AnBn ， 也 即10分即13245L 62k 1 2k故当 n12k 112k 12k2k 12(k 1)2(k 2)4(2k 3)(k 1)22k 11即2k 22k2k 2(k 1) 2k 3k 1 时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数n ，不等式成立.10分91 由于2k 1 2k 1 2k 12k 12k 1 ，所以bk从而b1也即b112k 1 b2 L bn b2

9、L bn2k 12k 1 ，6 证明： （法一）Q anan 12(2)2anan 1b1（ 1 ）当2）假设b1b2kk1k(k( 3 1)2an 1( 53) L1 ( 2n1 2n 1) 2n 1 1 .14分an1n(n 1)n(n1 1),即 bnbn1121 n(n 13LLL1)L L 9分11L23n 1时 , 右k 时，bk 12k2 3)21n(n 1)n12分n1k1k1k2b12211)2n14,右91，显然成立25分(2k 3)27分22)(2k 3)2 4(k2 1)(k 2) (k 1)2 (2k3)22(k 1)(2k 3)2 (k 2)222(2k 3)2k(

10、k 2) (k 1)2 4(k2 3k 2)(k 1)(2k 3)2 (k 2)(k 1)(2k 3)2 (k 2)1 (2k2 3)2b1b2Lbk 1k1k2 k1 k2k 1 L L L L L 11分(k 1) 1即当 nk 1时，不等式成立，由（1 ） （ 2）可得原不等成立。12分6 证明： （法一）19Q anan 121anan 1an an(an2an1)2n(n11),即 bnn(n11)LLL1n(n 1)L L 9分b1b2 b3 Lbn11111L 223n( 1 )当 n 1时 , 右11111K 11 2 2 3 n(n 1)11n1n1 n1 n1241b1()

11、 2, 右 ，显然成立12119212分5分2)假设n k 时，b1b2Lbk 1kk1(2k 3)27分kk1(2k2 3)2b1b2Lbk 1k1k2k1 k1k 2 (k 1) 1L L L L L 11分k (2)2 k 1k 1 2k 3 k 2222k(k 2)(2k 3)(k 1)(2k 3)2 (k 2) 4(k 1)(k 2) (k 1)2 (2k 3)2(k 1)(2k 3)2 (k 2)222(2k 3)2k(k 2) (k 1)2 4(k2 3k 2)(k 1)(2k 3)2 (k 2)1即当 n k 1时，不等式成立，由（1 ） （ 2）可得原不等成立。12 分7证明

12、: 当 n1 时，1a1b15121111()2n(n 1) 2 n n 1当 n 2时 .an bn (n 1)(2n 1) 2(n 1)n an bn1a1b11a2 b211111综上，原不等式成立11162211336 22334n111116 22n11n(n 1)64128解： f (4) 37, f (5)61.f(2) f(1) 7 1 6, f(3) f(2) 19 7 2f(4) f (3) 37 193 6, f(5)因此，当n所以 f （n）2 时，有 f (n) f (n) f(nf(n 1)1) f(nf (4) 6(n 1)又 f(1) 16(n 1) (n23

13、12 3 12) L 21 ，所以 f (n)1)61 37 1), f(n 2)1 3n23n2 3n1当 k 2 时，1所以 1f (1)f(k)13k2113k 111 3k291）证明：当n 2 时，f(2)13(1f (3)1) 1 nf(n)4.31(3k 3 k11 (1)32an1 时，a1S1mma1 ，解得SnSn 1man 1 man 1 m anmanm 为常数，且man0 ， n anmn 21m2）解：由（bn1bn1bn1bn3 ）证明：由（an 是首项为f bn1bn 11）得，1 ，即1，公比为bnm 的等比数列mm ， b1 2a11mbn1bnbn 11

14、n 21是首项为121 的等差数列2n 12bn22n(n12 ）知bn2n 1bn26,43n1.111 (226,Lf(2) f (1) f(1)1.k1).13) L1(n 1a11N ）22n 1Tn22 b12b2222 b32 L bn24 494252n 1当 n 2 时，42n 142n 2n 211n1 n42n 144所以Tn 4Ln 9 2511114034n1 n8918910解：(1)由已知，得a33，a56，a4，a6823422 1 262 3122) ( 证法 1 ) a1， a3， a5122322522222282n12 (n 2)2283242a2， a4

15、， a62222n(n 1) (n 1)猜想a2n 1,a2n， n N* ，n2n2以下用数学归纳法证明之22当 n 1 时， a2 1 1 a11 ， a2 12 ，猜想成立；(k 1)22假设 n k (k 1,kN*) 时，猜想成立，即a2k 1 k(k 1) ,a2k2k 12 2k那么a2(k 1) 1a2k 1 2a2ka2k 1(k 1)2 k(k 1)222a2k 1a2(k 1) a2k 2a2k2(k 1)(k 2)2(k 2)22(k 1)22(k 1) (k 1) 122(k 1) 1.2n k 1 时，猜想也成立n N* ，猜想成立n1n11n 为奇数时，a n当

16、n 为偶数时，an22(n 1)(n 3)(n 1)(n 3)即数列an 的通项公式为an8(n 2)28, n为奇数n为偶数通项公式也可以写成an12n8( 1)n)16证法2）令bna2n 1N*a2n 1bn 1a2k 32a2k 2a2k22 a2k 1 a2ka2k 12a2k 11bn从而b故bn解之，得a2ka2k 1a2ka2k2a2k 1a2k 1 a2k 122(bn 1)1 bn1n 11 bn 1111 是首项为1a2n 1从而 a2n本小题解法中，也可以令a2k 1bna1a2k 1a2k 14bn bn1bn 111（常数） ，2n21 31a2na2n 13） （

17、 法 1 ）由（显然， S1a1 当 n 为偶数时，1Sn 81n 24a3a5a2n 1a7a2k 1(bn 1)2(bn 1)n N* ，又bn1b11 的等差数列，n2a2nbn 1n N*a2n 1(n 1)a142a353a5a2n1 a2n 12nn2n(n 1)2n1(na2n 3n(n 1)21)(n 2)(n1）2 （余同法 21）a2n 2bn 2n 2 ， 或令bna2na2na2n余下解法与法2 类似 ）12） ，得an(n 1)(n83), n 为奇数(n12)2n为偶数142146162168182n (n 2)1(n 2)21当 n 为奇数(综上所述，4nn2解法

18、 2)由(12411Sn1243 )时，46(n4nn212) ，得anSn当 n 1 时，S1当 n 2 时， S2a11a1假设 n k(k2) 时，不等式成立，即那么，当k 为奇数时，Sk 1Skak1461684nn2SnSn4(nan1)(n 3)nn2(n 1)4nn21)2a24k2N*8(n 1)(n82, (n 2)2, n 为奇数 3)n为偶数4n243N*(k41Sk42224k，k283)2168(n1 n (n(n 1)(n 3)81)(n 2)(n 3)1 , 2 时，不等式成立2) n(n 2)4nn24(k 1)k3当 k 为偶数时，(k23)2k3Sk 1Sk

19、ak 14k k4(k 1)(k822)(k 3)24(k 1) ；(k 1) 24(k 1) k3 4(k 1)(k 2)(k2(k 2)(k4)4)kk34(k 1)k38(k 2)(k 3)(k 4)(k 1) 2 n k 1 时，不等式也成立N*Sn4n成立14n221例 1 已知数列2an 3an 1a n 满足：a1=1 且2n 2 (n2)分析：这是还重要. 这就引导我们要重视数列的递推公式1)2)求数列 a n 的通项公式；1n设 m N ， m n 2，证明(a n + 206 年河北省高中数学竞赛的一道解答题(31an 1n 1a n = 22,学生对形如an Aan 1次

20、线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?an 不妨设x2n3 (an2xn1)(n 2)an 即1 )大家都知道数列的递推公式往往比通项公式m-n+1 )c=1.即a1 又an故即证 (bnbn 1an12n(32)an12n32(an12n 12m1B(AB 0,且 A 1, A， B 是常数)形式的一3an 12(32)nan,故 12n12n是首项为2 公比为 2 的等比数列，c3n 1 anan2n 1 与 21n12 比较系数得(2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强

21、.3n)m(m n2bn3n (32)m(m(32)1m(m m1)2m1m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。1)研究m >n 时1) n(32)1m (1mn),( bnbn 1)m31(32) 1(1)m n23(1m 1)mbnbn即 数 列 bnb2是 递 减 数 列 .因 为 n2，故只须证(3)即证 2m1m 。事实上，(m 1)mm1 Cm2 Cm512 2m4 故上不等式成立。综上，原不等式成立。无独有39偶，在不到1 个月的 06 年全国一卷高考题22 中恰出现了本例中构造数列求通项公式an 的模型。有兴趣的同学可找做一做。例 2 设数列 an满足a

22、1 3,an 1 2ann 11 ) 求 an 的通项公式；c11,bn cn1cn,dn2)an n11cncn 11求证：数列 bn d n 的前 n 项和 n 3分析： ( 1)此时我们不妨设an 1A(n 1) B 2(an An B)即 an 1 2an An A B 与已知条件式比较系数得A 1, B 0.an 1 (n 1)2(an n) 又 a1 12, a nn 是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列nnan n 2 , 即 an2 n3)nan 2 n, bn1)知1n2 . 当 n 2时 ,cn c1 (c2 c1) (c3 c2)(cn cn 1) 1

23、 b1b2bn 111111 2n 12. n 1n 1 .2 22n 112n 11当 n=1 时c1=1 也 适 合 上 式1cn 2 n 1所以21n1n1(22)(21)3 (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执bndnn (11 )2 2 21n 12 21nn1nn1方法一：22 2 ， 21果索因的分析才可推测出.)bndn13 2nSn323 2213 2n1 1 (12)n6112111(1)32n3方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的. 但是当n 3 时 ,我们看:Sn211415(2n

24、这样SnSn6(176114)11 2) (2n1显然1n2n 112n 1故 sn14(11515310)2n 1(2n11)12n 112n 1我们可重新加括号得 1)122n 1 12 0,21n1 111 得证.这样也实现了我们的初步想法.也易让学生接受.311 snsn易验证当n=1 ， 2 时3 . 综上3下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题a1例 3 已知正项数列 an 满足1, an1(n 1)2an,(n N )分析：1)2)判断数列 an 的单调性；求证： n 1an 11)n2an(n 1)2故数列 an 为递增数列.(2) 不妨先证an再证：1n1(n1)2

25、1137an 1anan an 11n2an1an 1(n0故an 1an(n 1)2 anan 11)2anan 1an1(n 1)12. (n 1)21an 1 原 解 答 中 放 缩 技 巧 太 强 ， 下 面 给 出 另种证法112an 1an 1an 1anan1a1n(n1.n( 用到了累差迭加法及12 an (n 1)2 n(n1)211nan1an2(n 1)1an 1annan 1an(n 1)2 anan 1(n 1)21(n 1)21 (na1n)2an 1 an, 也易让学生接受.当 n 2 时，ann1an1n1(n 1)(n2)1n2易验证当n=1 时 ,上式也成立

26、.11综上,故有n 1 nan 11(n 1)2 成立 .例 4 已知, 求证：分析 由 可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化构造出二项式定理公式，从而得出结论。证明设且对任意，有将上述各式叠加：例 5 求证：分析 左式是 n 个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。证明分析 左式很难求和，可将右式拆成n 项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。证明高考专题放缩法一先求和后放缩例1 正数数列an 的前 n 项的和Sn ，满足2 Snan1，试求：2）设解 ：（4an所以

27、 anbn1）an2bn2)anan2anan 12anan1 ，数列bn知 得 4Snan2an(2n2an的前 n 项的和为Bn，求证：(an 1)2n 2时 ，Bn1 ，所以(a nan 1 )(an a n是公差为2 的等差数列，由 2 S11)(2n1)12(2n124Sn 1 (an 1 1) ， 作 差 得 ：12）0 ，又因为an 为正数数列，2n 11， 得 a11 ， 所以 an 2n 11Bn12 (12n 12n 12(2n 1)1 ）数列a n 的通项公式；注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不

28、等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列an 满足条件an 1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和二先放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和2例 2已知各项均为正数的数列an 的前n 项和为Sn ,且 an an 2SnSn（1） 求证：22anan 14SnSn 1 1Sn(2) 求证：2解 ：（ 1） 在 条 件 中 ， 令 n21 ， 得 a1a1 2S12a1a1又由条件22an an 2Sn 有 an 1an2Sn 1an 1Sn1Sn 得(an 1an)(anan1)an0 an 1an0 an 1an所以，an 1(n1)

29、Snn(n 1)Sn 所以n(n1)2）因为S1S2n2 3n222放缩后成等比数列，再求和(n 1)222anan4nn(n 1) n 1 ，所以 2SSn 11S1S2例3 （ 1）设a， n N*， a 2，证明：a12）等比数列an中，12 ，前 nbn 前 n 项的和为B n，证明：Bn<3解： （ 1）当 n 为奇数时，an a，于是，2na项的和为2na当 n 为偶数时，a 1 1，且an a2，于是2nna ( a)nna (a1) (a2n1) aSn2)A9A7a8a9A8A91nan ( 2)bn14n11 ( 12)nn(n 1)2n12 ，所以n(n 1)22n

30、(n221)Snna)An，且na)(aa9，a8 a94n ( 2)n(a1)bnA7，A9，A8 成等差数列设2an1an ，数列nna (a1)(an1) a1)(a 1) aa9，公比1n32(aa9a8n1) a3放缩后为差比数列，再求和Bnb1b2bn3213 2213 2n12(11122) 113(121n)例 4已知数列an 满足：a ）求a4、 a5，并写出an 的表达式；anan 1an 1an ，证明 2n b1 b2 1an 1(1nn )an (n 1,2,3 )2求证：an 1ann12nan 1（1 n ）an证明：因为2 ，所以 an 1 与 an 同号，又因

31、为a110，所以anan 1an即n an 0 a2，即 a n 1an 所以数列 an 为递增数列，所以ana11an 1an即n n12n an nana122n 2 n ，累加得：222n12n 1Sn 令222n12n1Sn 22232n12 Sn12212312n 1Snn12n 1ann1 2n 1an 1 故得ann12n 14放缩后为裂项相消，再求和例5在m（ m 2）个不同数的排列P1P2 Pn中，若1 i< j m 时Pi> Pj（即前面某数大于后面某数）则 称Pi 与 Pj 构 成 一 个 逆 序 . 一 个 排 列 的 全 部 逆 序 的 总 数 称 为 该

32、 排 列 的 逆 序 数 . 记 排 列(n 1)n(n 1)321的逆序数为an，如排列21 的逆序数a11 ，排列 321 的逆序数a36bn2）令bn 2n 3解（ 1）由已知得a410,a5 15， ann (n 1)21n(n 1)22）因为所以 b1bn又因为b1 所以注：常用放缩的结论：bnb2b2综上，12(2) k练习 1 已知数列1）2）分析：这是还重要. 这就引导我们要重视数列的递推公式anan 1ananbn2nbn2n2nb11）1) k1a n 满足：n222,n12(12nb2k113)1 (2n1bn2nk(k2ana1=1 且求数列 a n 的通项公式；3an

33、 12 nn1,2,14)n2n 2 2,n 1,2,12)2n 33,n 1,2,1)1k2k(k 1)k11k1(k 2)2()(k 2)k1 k12n 2(n2)1n设 m N ， m n 2，证明(a n + 22 m1m-n+1 )06 年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1 ）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式3an 1 an=212n 1 ,学生对形如an Aan 1B（AB 0,且 A 1, A， B 是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?an 不妨设x3 n (a

34、n2n 2x2nx1)(n 2)an 即3an 12cn 1an2n 1 与3an 121n12 比较系数得an c=1.即13n2n (2) an132n2(an112n 113a1 又22an,故 2 n 是首项为2 公比为 2 的等比数列，an故(32)n12n(2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证3n)m(m n21)2m1m=n 时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。bnbn 1bnn3(32)m(m3(2)1m(m m1)先研究m >n 时3(2)1m (11), mn(bbnbn 1)m(32)1(1)m n23(1m 1)mb

35、nbn即 数 列 bnb2是 递 减 数 列 .因 为 n2，故只须证(3)即证 2m1m 。事实上，(m 1)mm1Cm11 C2Cm m2m4 故上不等式成立。综上，原不等式成立。2 设数列 an 满足a13,an 12ann1求证：数列分析：即 ananan1)2)1)此时我们不妨设求 an 的通项公式；c11,bn cn 1若b dsnbn d n 的前n 项和2an An A(n 1) 2(ancnanan 1 A(nB 与已知条件式比较系数得n) 又a1,dn ncn 11) B 2(anAn B)1,B 0.2, ann是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 。

36、n 2n,即 an 2n nan2nn,bnn 2时 ,3)由(1)知41bndn果索因的分析才可推测出c1n=1(c212221n (222n1c1)(c312n 1112n 1c12n，.)1bndn3 2n , Sn方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要到目的. 但是当Sn21(cncn 1 )1b1b2bn 1这样SnSn显然故 sn1 21n12n 1 .=1112n2n 132n 3 时 ,我们看:合上式(2n 1 2)(2n 1 1)cn 23 (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到123 2213 2n1 1 (12)n 6112. 必须要有执(121n ).

37、很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不1415(2n6(176114)1 2) (2n112n 112n 114(11515310)2n 1(2n1 1)12n 112n 11137我们可重新加括号得 12)2n 1 12 0,2n 11 111 得证.这样也实现了我们的初步想法.也易让学生接受.311 snsn易验证当n=1 ， 2 时3 . 综上3下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题a a11,an 13 已知正项数列 an 满足12 an,(n N ) (n 1)21 ) 判断数列 an 的单调性；452)求证： n 1n 2anan 1 (n 1)2分析： ( 1)1(n 1)20故an 1an，即an 1ana故数列 an 为递增数列111anan 1 (n 1)2(2) 不妨先证an an 1anan 1 (n 1)2 anan 1 (n 1)1(n 1)2再证：1n11n21an原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法1111an 112 23I ( 用到了累差迭加法及* 1 2n(n 1)(n 1)II 1.1n n1n11111an1)2