第六讲几何轨迹

1、第六讲几何轨迹几何轨迹的基本知识一、轨迹的意义1 定义给定条件或性质C,满足条件C的一切点所构成的图形 F,称为由条件C所决定的轨迹。2 轨迹命题的两面证明： “不漏不滥”( 1 )完备性：符合条件C 的任何点都在图形F 上，或不在F 上的任一点均不满足条件C。即点无遗漏。(2)纯粹性：在图形F上的任一点都符合条件C;或不符合条件C的任一点都不在图形 F 上。保证图形F 上的点没有鱼目混珠或冒充的点。一般来说，图形 F 是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形。研究轨迹问题，就是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一。3轨迹命题的三种类型轨迹问题根据结论部分叙述是否

2、完整可分为三种类型：第 I 类：命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置和大小。第 II 类：命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置和大小或缺，或叙述不全。第 III 类：命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息。一般把第I类、第II类命题称为轨迹定理，把第III类命题称为轨迹问题。二、基本轨迹命题命题1和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。命题2和两个定点距离相等的点的轨迹是连结这两个定点的线段的中垂线。命题3和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线。命

3、题4与两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线距离相等的一条平行线。命题5与相交两直线距离相等的点的轨迹， 是分别平分两已知直线交角的互相 垂直的两条直线。命题6对已知线段的视角等于定角（0o180o）的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于的两段弓形弧。命题7和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为球心，定长为半径的球面。命题8和两条平行线距离相等的点的轨迹是这两平行直线公垂线段的中垂面。命题9和两条定相交直线距离相等的点的轨迹，是通过这两条直线所成角的平分线。且与已知两直线所在平面垂直的两相交平面。命题10和一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是以这条定直线为轴，半径等于定长的一

4、个圆柱面。命题 11 和一条定线段的两端连线所张成的角等于直角的点的轨迹，是以这条定线段为直径的一个球面。各种轨迹类型命题举例一、第 I 类轨迹命题这类问题的求解步骤为：写出已知与求证；证明完备性与纯粹性；作出结论。例 1 设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和， 则其轨迹为矩形的两条对称轴。已知：ABC时矩形，l和1'是它的对称轴，P是适合条件PA PC PB PD（ i ）的点。求证：点P的轨迹是直线1和1'.证明：（1）完备性 证满足条件（i）的点必在直线1或1'上.由 PA PC PB PD 得以。表示AC与BD的交点，则PO是APAC和4P

5、BD的中线，由斯特瓦尔特定理知由上知PA2 PC2 PB2 PD2 及 2PA PC 2PB PD从而 （PA PC）2 （PB PD）2所以 PA PC PB PD 或 PA PC PD PB又 PA PC PB PD所以PA PBPC PDPA PDPC PB 即满足条件(i )的点P不在l上便在1上。(2)证纯粹性 即证在直线1或1,上的点满足条件(i)。由图形的对称性，这是显然的。(3)得结论 由上知，所求轨迹是直线1和1.例2给定直角XOY, 一条定长(记为a)的线段AB在角的两边上滑动，则 AB中点的轨迹是以。为中心，以a为半径的圆被角两边所截的圆弧 Qr (如图) 2证明：(1)

6、完备性 设P为AB的中点，则P为直角三角形 OAB斜边中点，有OP -AB -a ,即 P在 QR上。 22(2)纯粹性 在Qr上任取一点P,下面证经过P存在长为a且两端在 XOY的两边上的线段 AR现作e(P,OP)交角的两边于 A、B,由于 XOY为直角，又12, 34,1 4 2 3 90°,于是 APB 180°,即 A、P、B 共线，于是 AB 为 e(P,OP)的直径，从而AB 2 OP a,即P是一条定长线段 AB的中点。(3)结论：所求轨迹是以O为中心，以且为半径的圆被角两边所截的圆弧 Qr.2二、第II类轨迹命题第II类轨迹命题，明白说出轨迹形状，至于位置

7、和大小，或叙述不全或干脆不说，解决这类问题，分三步：探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定。 证明完备性和纯粹性，并下结论。 讨论，即研究所给定的条件对轨迹的影响。例3和两定点距离之比等于常数(不等于 1)的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆设A、B为定点，点M的轨迹使m（m 1）, m为定常数 MB探求：若一点M满足此条件，则 M关于AB的对称点也满足此条件，即所求轨迹以AB为对称轴，那么就是直径在直线 AB上的圆。设内分线段 AB于C,外分线段AB于D,使 那么C D满足条件，轨迹可能是以 CD为直径的圆周(1)完备性MA AC ADMB CB DB如下图，设 M为符合MA m而不在

8、AB上的任一点，由于MB由三角形内外角平分线的性质知MC MD分别是AMB的内外角平分线，从而CM MD ,故M在以CD为直径的圆周上（2）纯粹性 如下图，设M为圆上异于 C D的任一点，过M作 CMA CMB交DC于A 0下证A = A.由于MCJ AMB的内角平分线且CMMD知MDJ A MB的外角平分线，则有AC MA A D AD AC CDCB MB BD BD CB BD CB（内、外角平分线的性质）又由假设CC （m）第AD AC CDBD CB BD CBA和A重合。从而 AC £C,AC AC ,又A和A均在C的同侧，故 CB CBMA AC一 m.MB CB例4到

9、两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为 一点），称为定和募圆设A、B为定点（如下图）,k为定长，求点M的轨迹，使满足条件2_ 22MA MB k .探求：若M符合条件，则M关于直线AB的对称点及M关于AB的中垂线l的对称 点也都符合条件。可见轨迹以 AB和l为对称轴，故可能是以 AB的中点为中心的圆。证明：(1)完备性 设M符合条件，连MO由斯特瓦尔特定理知k2 MA2 MB2 2MO2 - AB2 ,于是 MO 112k2 AB2 r22即 M在e(O,r)上，其中r由上式给出。(2)纯粹性 反之，设M为e(O,r)上任一点，有即M符合所给条件。(3)讨论轨迹为圆;A

10、B,2时，轨迹为一孤立点;AB. 2时，轨迹不存在，即没有适合条件的点例5到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直 线，称为等差募线。设A、B为两定点(如下图 )，k为常数(正、负或零)，求满足条件MA2 MB2 k的点的轨迹。探求：点M满足条件，则M关于AB的对称点也满足条件，故若轨迹是直线，就一定对称于AB,因而与AB垂直，只须知道这直线l和AB的交点N,轨迹就完全 定了。由 k MA2 MB2 (AN2 MN2) (BN2 MN 2)故ANAB2 k2AB由上式定一点N,及通过N垂直于AB的直线l .证明：(1)由探求过程知，符合条件的点 M在过N且垂直于AB的直

11、线l上。 反之，在l上任取一点M,有MA2 MB2 AN2 BN2 k,即点M满足条件(3)讨论 当k 0时，l是AB的中垂线；当k 0时，可看作满足条件的轨迹是AB中 垂 线 的 对 称 线三、第III类轨迹命题与解决第II类轨迹命题一样，只是探求较麻烦。探求轨迹的有效步骤为：描迹 按所给条件作出轨迹上若干点，连以平滑曲线，往往可发现轨迹的形状及大体位置，是直观有效的初步方法。预测轨迹的性质，主要观察轨迹的对称性及范围。i）若所给图形及条件均有对称性，则轨迹有相应的对称性，如轴对称和中心对称；ii ）轨迹上有可达任意远处的点，且无（有）端点，轨迹为直线（射线） ；iii ）轨迹上没有可达任意

12、远处的点，轨迹为线段、圆或圆弧，若有起讫，则是 圆弧或线段。确定特殊点研究任意点和特殊点的关系如上一步或几步骤，足可判断轨迹，然后加以证明，必要时进行讨论。例6从已知半圆直径 AB延长线上任取一点 C,作切线CT及 ACT的平分线，从圆心作这平分线的垂线，求垂足 M的轨迹。探求：作OD AB,若C B时，CT趋而为B的切线，角平分线为 BD,点M为BD的中点G。由图形的称性知，G关于OD的对称点H也应为轨迹上一点。若C趋向无穷远，则切线趋而为点 D的切线，角平分线为 OD的中垂线，点M为P。故G H P在轨迹上且共线（距 AB均为R）,预测轨迹为线段 GH.2证明：（1）设M是符合条件的点，下

13、证 M在GH上。由探求过程知，当 C在以B(A)为端点的射线上连续移动时，点M由G (H)连续移动到点P,只须证明M到AB的距离me 1R即可。2设OM交CT于N,并作MF CT,显然 M是等腰 OCN底边 ON的中点，故 1 -1ME MF -OT -Ro 22(2)设M为GH上一点，下证 M符合条件。作MC OM , MCf AB的延长线交 于点C,彳OC关于MC的对称线CN形成等腰4 CON彳ME AB , MF CN ,ROT CN ,则 OT 2MF 2ME 2 - R,即 CT为切线。2注：若着眼函数关系，设 M为符合条件的任一点，设 OCT 2 ,则 故M在线段GH上。例7 设B

14、C是定半圆的直径，从半圆周上动点 A作AD BC ,在半径OA上截OP = AD,当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？探求：动点A在B处，显然O'AD= 0, P重合于O,即O为轨迹上一点；若 A 在BC的中点M时，AD重合于MO P重合于M即M在轨迹上。下面考察特殊点 O M与一般点P的关系。显然有 AOD OMP ,因此 OPM ADO 90°,又 图形与条件均以OM为对称轴，轨迹也以 OMfc对称轴，故可判断轨迹是以 OMR 直径的圆。证明：(1)完备性由探求已证。(2)纯粹性 在这圆上任取一点 P异于。M, A表示OP与半圆周的交点，作 AD BC,则由Rt AOD与

15、Rt OMP斜边等，一锐角相等，故 OP AD ,即P符 合条件。我们说明的轨迹命题的两面证明(即一方面证明合于条件C的点在图形F上，另一方面证明图形 F上的点合于条件 Q,乃是轨迹定义的必然要求，使得轨迹上的点不漏不滥。我们所选的例子都是那样典型， 恰巧每次都是合于条件C的点在图形F 上， 而图形 F 上的点又个个合于条件C， 乃至可能引起这样的误解：认为证明一面已经够了，两面证明徒然麻烦而已。现在通过一个具体例子说明事实并非如此。在处理轨迹问题时，一不小心便犯下错误。例8 BC是给定等腰三角形 ABC的底边，求合于条件APB APC的点P的轨迹。分析 给定图形即等腰 ABC和给定条件都允许以 BC的中垂线l为对称轴。显然 l 上的点满足条件。但若以为所求轨迹即是直线 l ，却错了。设P为合于条件的点，则两个三角形ABP和ACP有一边相等，即AB AC,而这两边的对角也相等，即 APBAPC ，所以这两三角形的外接圆相等。在同圆或等圆中，对于等弦 AP上的内接角 ABP和 ACP是相等或相补的。1）若 ABP ACP ，则 ABP ACP ，从而 PB PC ，故点 P 必在 BC 的中 垂线 l 上。2）若 ABP和 ACP相补，且A、B、C P无三点共线，则 P在 ABC外接圆 的 ?B