2011年考研数学三真题及答案解析

1、2011年考研数学(三)真题及答案详解一.选择题1.已知当x0时，函数f(x)3sin x sin3 x与cxk是等价无穷小,则(A) k 1,c 4(B) k 1,c4(C) k 3,c 4(D) k 3,c42 .已知f x在x 0处可导，且f 0x2f x 2f x30,则-3(B) f 0(A) 2f 0(C) f 0(D)03 .设un是数列，则下列命题正确的是(A)若un收敛，则 u2nl u2n收敛n 1n 1(B)若 U2n 1n 1u2n收敛，则un收敛n 1(C)若 un收敛，则 u2n 1n 1n 1u2n收敛(D)若 u2n 1n 1u2n收敛，则un收敛n 14 .设

2、 I 4 ln sin xdx, J4 In cotxdx, K 4 Incosxdx,则 I, J, K 的大小关系是000(A) I J K(B) I K J(C) J I K(D) K J I5 .设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵 B ,再交换B的第二行与第一行得单位矩阵1 0 00 0 1 ，则 A0 1 0(A) P1P21 .(B) P P2(C) p2 Hi(D) p2 P6 .设A为4 3矩阵,3是非齐次线性方程组 Ax的3个线性无关的解,ki, k2为任意常数，则Ax的通解为kik2(C)二一32kiik22 i7.设 Fi,F2 x为两个分布函数，其相应的概率密

3、度fi x，f2x是连续函数,则必为概率密度的是(A) f1(B) 2f2 x F1 x(C) f1F2 x(D) f1 x F2 xf2x F, xX服从参数为的泊松分布，Xi,X2,L ,Xnn 2为来自总体的简单随机样本,，、 i则对应的统计量Ti-Xii iT2i Xnn(A)ETiET2 ,DTiDT2(B)ETiET2QT1dt2(C)ETiET2, DTidt2(D)ETiET2, DTiDT2填空题9,设 f (x) lim x(ix 3t),(x)x 7dz(i,0)10 .设函数z (i x)y,则 y11 .曲线tan（x y ）ey在点（0,0）处的切线方程为412 .

4、曲线y Jx2 i ,直线x 2及x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转所成的旋转体的体积为i3 .设二次型f （xi,x2,x3） xTAx的秩为i, A中行元素之和为3,则f在正交变换下x Qy的标准为14 .设二维随机变量(X,Y)服从N( , ; 2, 2;0),则E(XY2)三、解答题15 .求极限 lim '1 2sinx U x 0 xln(1 x)f(u,v)的极值，16 .已知函数f (u,v)具有连续的二阶偏导数，f (1,1) 2是2z f (x y), f (x,y)。求一-x y(i,i)17.求arcsin、x ln x 一国dx18.证明4arctan x x

5、石 0恰有2实根.319. f(x)在0,1有连续的导数，f (0) 1,且 f'(x y)dxdy f'(x DtDty)dxdyDt(x, y) 10 y t,0 x t (0 t 1),求f (x)的表达式。20 -11,0,1 T, 20,1,1T, 31,3,5 T不能由1,a,1 T, 21,2,3 T, 31,3,5 T线性表出。求a；将1, 2 , 3由1, 2 3线性表出。1121. A为三阶实矩阵，R（A） 2,且A 0 01 1（1）求A的特征值与特征向量（2）求A22.P X2Y21X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1） X,Y的分

6、布；（2） Z XY的分布；（3） XY23. X,Y在G上服从均匀分布，G由x y 0,x y 2与y 0围成。求边缘密度fX（x）；求fXY（x|y）2011年全国帧士?形注入转一考试数学三试题答案、选他（IT 小心 酬越4分，共32分.宜海螺出的口阶选«中.只有 介选项符合题目要求，请娥选项前的字母蟠答碑指定位置匕) (1)【答案】。.【啷】因为lim.7)3sinx-sinlr3sin.r 一 sin xoos2x-cos*si n 2r6人sinx(3-cos2v-2cos23-cos2y-2cos2x= lim、T)#3二 limr 4-4cos x t. 4§

7、nrx Inn二 hm.11 &T f Cfd所以c=4次=3,魔滁迷(C).【答案】(H).【解析】lim kTJ口(力2/X-X=lim-X/>夕-外一纱十2/(0)二 limr旬/()-/(0) V(x3)-/(0)2：(3)【答案】(A).【解析】方法1：数礴傲的性质：收敛级数任概劭1括金司败敛，故(A浦确 方法2：扑除抬举反例.选项(H)取这时S)%” i+也 /r=l)二Zoq嫩,但娜，小姆巾(B)惜派选项©取成=且片，这时5>=并晅收敛，自£(必鬼)二却发散，故 "I /i=i a=im nMO饰足选呕D)飒,=I,这时£

8、;(八 A)=fo收贪但前 二X1发散，版网)针嵌.故 /t=lg|jT m=IjM偌笫网(4)咯案】(B).【解析】因为0<x< II0<sin.r<cosx<l<ootx,4XI耳litv 是单调i型郸Je耳数 所以Insiiu <In coS.< Incot x.故正解案为.【答案】(D).【解析】由于将加你2歹四剑第I列?糊林从故1 0 0、A 1 1 0 =8,10 0即力用二/4=B耳;由于交换的第2行和第3行得电位知阵，故。0 0、0 0 1 B=E,、。 0,即R8二区故8二=R.因此 /二£甲.故选®.咯案】

9、©.【解析】山于出小,7是小-=/r的3位戋性无关的所以器是个二0的两彳例既郑解 即=0期副解系中至少!以 饮性无呼廨,所以口南聆川、(吩选吸 又月为力号1=0,所以当%是心：=o的帐 不是小=外的解一的I滁)迎页，I大蛔©.由于%是公=4的二-介线性无刻弼,所以2是&>=()的两住雎做的解，即为=()的卿嘛系中至少行2仙洲无灯横亦即3-4冷之2,故 /储)41.由于/HO,所以r(4)21,故r(4) = l.这样.月30的班怖系中正好ff 2个 线性碳的解，由此如7一小小一”是小=0的 个鞠解系.因为不.弓是4r=/?的解，所以4万=近4=£,因

10、此/殳誉 二万，所以妇生一2是小=/府仰解蒯齐次线r防瞰蒯够胸 可知4x=/?的通解为安义十冬(历一始十匕0% 一/)(7)【答案】(D).【解刷出皿D)/6十，(x)£(x)拉=£玛(观耳+63(纥二】如"=6(砒e=1.所以工校x)+"；(x)为概率密度«)【答案】0.【解析】因为4 %,其工40 9所以凤%)=2, 9%)=，从iiM1 H 1E%孕)=济学)丁£如以小有产+卢卜百摩/>-I1&¥)+反 XJ=£(加二夙 ¥)= In因为所以耳7)£(/卜见因为41) = 4

11、,%).以©*). tfn n中;+与,)=$以*%)+?"尤) “一 k 。7-1) M 犷11(11)二一j-D(+=."¥)二+- An-ifn- nj由用A2时，-<44fl 77-1 IT二、填空88(9-14小氮 蜩嘏4分 共24分 诩络案现喀麒蜘位置匕) joi.4】【涔号】gD V,击=：徐依刖冽V-.SOO"一二叫念蝴mrvo=4、0='琳，/>=L传+"x| 专（P , 1M唱?"相蜘切，=-U+X眄甜（【眼纷【线】）“忡'|+即忆=j-包g4-+ 1 X rGX:m,（门）-

12、式“留 加十=方A xpD万（9-平尬U忆+1 ）=1亚革亿11忆+1卜平亿限+1 ）=T（o.，= G+D匚【奶棚】 中1M； J *(-)亿可丁【)【通皋】(01)gl)#=(x)J 7W .7 KJ / A' / K、产二 年住+1 ) l叫工=，住+|,叫1 =卜)/印闻(W)4L i工x1线十1）比。【涉易】小=*（【答案】3#.T【赳晰】因为/的牛仃元素之和为3,所以,4 1J二31 ,故3为烟MF端征值由r（=1为赳阵/有两个样征fft为零，从而4=34=4=0.由于火型仿Ei变换卜栩断雨面的系数即为二刻撕对八朔怖附征值，所九次型在（14）【答案】“十/卜【解析】根据题总

13、一Hi随机变量（x,y）财网“从企,决0）,因为只.=o,所以由维ii法分布的性岫|航机变最xy独%所以火炉.从而行4阳=w4石俨）=a 丫）+硝卜）卜”岛斗三、解（155 4飒 共94分.请将解答写在答题ftffi定明、证明过程或演算步骤）。5）（木酸酚1。分） - Vl+2sin.Y-x-l 【解析】linP； M .vln(l+x),.Vl+2sinj-x-l=hiTi：V 乂）/ 1 .-2005-12jl+2sinx2rcosr-vl+2siiLr=lim广；、t* ZrVl+2sinxP cosx-Vl+2sinx=liini 2x-sinx=lim.vT8SXJl + 2sinx

14、1. cosx=-lim,，5271 十 2sinx1= .2(16)(本懿分【0分)企【解析】=/：(x+y),/ay)H/n(x+y),/(%y)芥/7)髭=工；（工+讯/3切）1记（*十咒）（无十 Aq）* ZiT（ K+y） ,/（、”）+&（ x+H 代训侬必；（W） 式（工+为,/（、十切）/；（工j）由于/（I）=2为/（f峨值，故/ （】#=（u）=o,所以，会=/；（22）”3）/；（1,1）.（X V（17）（本题满分10分）【解析】令二4.则x二/，出二2/t九所以户联！= 产世土加=2 J®Sisi” W= 2/,arcsin，一2+2/-hr-2=

15、27,arcsin/+2"一小=2Vq arcsin G + 24x In x+2V1-X-4Vx+C.(榴插分I。分)UQ断】设/(ji)=4arutanxT+¥-M4则 %)=函7）（行+工）1+.Y2令f'3 = 0,解得驻=枢耳=-3.所以，当x-x/§时，/"j0,故/（k）单调通版 当时，/（x）（）, 故/（X）单调递增：总时，八”0,故/任）单调递减乂当X£（f t5）U（",6）时/（x）0，fl./（-V3）=0,故xw（f 石）时只有 个零点：又/诉#-2万：0. lim/任）二lim|4arctaiir

16、-x+一、6 二。0,由每¥>t-X4冗一 6=o恰行两股u点定理可知，存在以利，便/U）=0；所以，7/14 aitui.v- a4C9)(木睡满分10分)价淅】§危）小'城，=%»团， n 27了+）灿才=女小什历办=（/（，）一/（工）减=”（。-Lx/ 由题设有 处）一丫世二夕，小湍求曲幅的0Qt)=2曲,为变量可分离微分方程，解殍/（，）=0-2)2带入/（0）= 1,得 C=4,所以，f（x） =()1< I）伴幽满分II分）im 由丁,乌&0不能由44白线性花示,对（凡为4,%进行初等fja(4 禽4 4%)= 11、1

17、3 1 o r2 4；0 1 33 a 1 1 5)p 1 3 I I-> 0 1 1 1-1I(0 2 d-3, 01 4； 10 0 4-51 0 P-I 1 22 一 1 0)收7=5时，旦0）=2于M片区4.=3,此时，火不砥I混用4线性及易摄4, G0不能由440线性芯R（II）对（&,%月遂用进行初阴便换:。0（q,4,%月自，图二 0 1I 1"113、3; I 2 45； I 3 5,0 1 1t 0 1 3 1、0 1 4 0I 3、 (2 4fo2 2J 1013112I0 1；-1 03、400| 215、0I0 4210、001 -10-2/故力

18、二加十泣一电，食=可十数.4二%+1此一次.（2D （本邀满分11分）【解析】由于彳0 0 = 0 0,设乌二。,0,-1）、叼=（LQl）l则0）=（5,©,即/（乌=；-0；,以二七，而知月的特征价为4=T4=1,对血碉ffi间彩题为如化工0）,总药他工0）.由6(4) =2,故|40,所以4=0.illJF是一湖实对楙作 故不I甜剂值那加柠征向Q相片正交，设4=0初朝桃用 曲他为4二（七,曰E）,则«坦=0，即卜30.卅 q =0, （X, +玉=0.解此讲卷H,得图=（ojo）/,故4 =0对刚的征向最为。名（&司）.（io由r代咐征值对八州用正向出马工交 只需单位化月喝无（也出=令0=（%4用，则0/0=a=i°,A=Q02T o 042?06-10J包 2 此 20.叵Tofj2 To42I 2J220立2内0 0 1、= 000、1 0 0,2 7220(22)(本题；酚11例【解析】因为pK=y2=,所以片x。尸=1_"/=尸=o.即 P1x=(xy=_i=x=o,y=i=Rx=i,y=o=O.柳蚓绦概率利给概率的关系得到P|X=ay=0=P¥=0_pT=Qy=T卜片=