(完整word版)三角函数的图像与性质--知识点与题型归纳解读(良心出品必属精品)

1、第四也三图像与性质10高考明方向1 .能画出 y = sinx , y = cosx, y = tanx 的图象， 了解三角函数的周期性.2 .理解正弦函数、余弦函数在0,2兀上的性质（如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解 正切函数/X兀 兀. 在区间5，5内的单调性.备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的 热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题， 难度属中低档，如2014课标全国n 14、北京14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技 巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法 一、知识梳理名师一号P55 知识点二、

2、例题分析：(一)三角函数的定义域和值域例1. (1)名师一号P56对点自测3函数 y = lg(sinx) +、/cosx 2的te义域为解析要使函数有意义必须有rsinx0 ,1 cosx-0, 2(sinx0 ,即1 解得、2,2k 兀 x 兀 + 2kx ,兀兀目+ 2k兀w xW 4 + 2k兀(k 6 Z).兀/.2k%x + 2k 兀,kZ.3 兀函数的定义域为x|2k %x 0,即sinx ncosx,同一坐标系中作出 y= sinx , y=cosx, x 0,2兀的图象如图所示.结合图象及正、余弦函数的周期是 2兀知, 函数的定义域为ix 2k% +wxw2k兀 + 5兀,k

3、6Z44注意：名师一号P56高频考点例1规律方 法(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式 (组).一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解.例2. (1)名师一号P56对点自测4函数y = 2sin与最小值之和为（A. 2-73 B兀 X 兀 i上乙t=t r /3-3 (0x9)的取大值)_解：00x09,兀 兀 兀 7兀300一万亨.0 C . -1 D . 1季i冗 兀)33sin iJx-T)1 芋 1”#, 2 , ymax+ y min = 2- 3.注意：名师一号P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之一：利用sinx和cosx的值域（图像）直

4、接求； 例2. （2） 8月月考第17题（1）17.（满分12分）已知函数2 C.2f(x)=3cos x + 2cosxsin x+ sin x.(I)当xw0,二时，求f(x)的值域;22. 22f (x)= 3cos x 2cosxsin x sin x = 1 2cos x sin 2x=2 cos2x sin 2x二、2( ”2sin 2x .2 cos 2x) 222=/2sin(2x +) + 2 3分4 5 二 x0,一时，2x+一,一,4分2_ 44 42L 八sin(2x + )乏,1, 5分4 _2f(x)w1,V2+2, 即f (x)的值域为1,五+ 2. 注意：名师一

5、号P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求y = Asin(ox +中)+b的值域如： y=asin x bcosx y = Asin( x)合一变换 y = a sin2 x bsin xcosx ccos2 x y = d sin 2 x e cos2 x f y = A sin(2 x ) b注意弦函数的有界性!变式：名师一号P58特色专题典例1一、)，,兀一，一右函数 f(x) = asinx bcosx 在 x = 可处有取3小值2,则常数a, b的值是()A. a=1, b=3 B . a=1, b=近C. a = m, b= - 1 D. a= 一b=

6、1解：函数f(x) = asinx bcosx的最小值为一02 a + b2.f(x) =a2+ b2sin(x j )a 一 b 、其中 cos 3 sinVaTb2:-ya2+b2 =-2,则 小 1解得1fH ,!= 2a-2b=-2，a= 3,b=1.【名师点评】解答本题的两个关键：引进辅助角，将原式化为三角函数的基本 形式；利用正弦函数取最值的方法建立方程组.例2. (3)名师一号P56高频考点 例1(2)当 x6 小，函数 y=3sinx 2cos2x 的66 1最小值是,最大值是.1 sinx 6 I2,又 y = 3 sinx 2cos2x = 3 sinx 2(1 sin 2

7、x)=2 sinx 7 2+工 A O1 口17一当 sinx = 4时，ymin = 8 ；f1廿j当 sinx = 2或 sinx = 1 时，ymax= 2.注意：名师一号P56高频考点例1规律方法2求三角函数的值域的常用方法之三：把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数 求值域.练习：（补充）(1)求函数f( x) = tan2x -1的值域tan2 x 1【答案】1-1,1求函数” x)=*0, 的值域 0 2 JYf (x)2,3tan x-1- = J3 2 tan x 注意：求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域注意约束条件

8、-三角函数自身的值域!例2. (4)(补充)求函数 f (x) =sin xcosx +sin x - cosx 的值域【答案】-1 ,2,1一 2注意：求三角函数的值域的常用方法之四：名师一号P56问题探究问题3如何求三角函数的值域或最值？形如 y = asinxcosx +b(sinx cosx) +c 的三角函数，可先设t =sinx 士cosx,化为关于t 的二次函数求值域(或最值).利用sin2 x - cos2 x =1转化为二次函数在指定区 间上的值域问题 变式:求函数 f( x) =sin xcosx +sin x + cosx 的值域例2. (5)详见第一章第二讲函数值域7.

9、数形结合法： 例7(2)名师一号P14问题探究 问题(6)当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于 几何方法求出函数的值域.(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数y二4sin x 1的值域141 sin x解：y二匕以2 cosx -22cosx -4sinx -可视作单位圆外cosx - 21,一。 o 一点 P 2,-与圆 x + y = 1 上的点(cosx,sin x)44 J32所连线段斜率的2倍,设过点P 22,-的点的直I 4；线方程为1一1y + = k(x - 2)BP kx - y-2k - - = 044=1解得k = 一3或

10、卜=412答案：-3,5一 2 6注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数y = C0S X -1 xW DM的值域sin x。2答案：0,3变式：求函数v = cosx -1 Xw；JL三的值域y sin x-2_ 2,2答案：0,1一 2拓展：8月月考第16题2sin(x ) 2x2 x函数f (x)=一的最大值是M ,最2x2 cosxf(x) =2sin(x ) 2x2 x2x2 cosx小值是m,则M +m的值是 2.sin x cosx 2x x , sinx x=1 +222x cosx2x cosx,记g(x)= sinx+x ,则g(x)是奇函数且 2x

11、 cosxf (x) =1 +g(x),所以 f (x)的最大值是 M =1 + g(x)max , 最小值是m =1 +g(x)mm ,因为g(x)是奇函数，月F以 g(x)max *g(x)min =0 ,所以 M m =1 g(x)max T g(x)min =2 .(三)三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1. (1)名师一号P56对点自测5 f、兀一设函数 f(x) =sin 2x-y , x6 R 则 f(x)是()A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为 兀的偶函数一.兀.，一.C.最小正周期为了的奇函数D.最小正周期为万的偶函数 答案 B例1. (2)名师一号P57高频考点 例

12、3 (2) (2014 新课标全国卷I )在函数丫:cos|2x| , y=|cosx| , /X/y=cos 2x + -6 , y= tan 2x j 中，取小正周期为兀的所有函数为()A.B . C . D .解：由于y = cos|2x| =cos2x,所以该函数 2的周期为三二兀；由函数y=|cosx|的图象易知一, 一兀，一, 2兀其周期为兀；函数y = cos2x +云的周期为丁 =0)相 邻两对称轴之间的距离为2,则3 =【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2,即 T= 4.f(x) =sin wx +1sin a x= 2sin w x +23cos3x + sinax=si

13、n(ox +堂C0S3X= V31兀sin w x+ - 6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2,所以T= 4,所以红=43即(o = -2.注意：【名师点评】 函数f(x) =Asin( ax + d ) , f(x) =Acos(ox+ I )图象上一个最高点 和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数 的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解 |I决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要 注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数 图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标 等.练习：加加练P3第11题例2. (1)名师一号P57高频考点 例3 (1)(1)若函数 f(x) =s

14、in、( 6 0 0,2 兀)是 偶函数，则 d =()兀2兀3兀5兀2323解：(1)，f(x) =sin x； 是偶函数, 3.f(0) = 1.，sin3=1,-3- = kn+2(kez). = 3k% + 32-(k 6Z).又0 6 0,2 兀,二当 k=0 时，3 = -故选C.变式：若函数f(x) =sin x? ( 6 0,2兀)是 3奇函数，则。=?例2. (2)名师一号P57高频考点 例3 (3)(3)如果函数y = 3cos(2x + 0 )的图象关于点4兀0）中心对称,兀A. 6 B.那么| w的最小值为（兀4 C.兀3 D.解：（3）由题意得3cos%xZ+（|）

15、= 3cos d + 2 兀7t2I 3 J 3 3=3cos -（|） =0,（|）= k x +I 3 J 3k6 Z.兀一，i,.。内兀一忖，叱乙取k=，得1蛆的 最小值为会.6注意： 【规律方法】 若f（x） =Asin（ox+ 0 ）为偶函数，则当x = 0 日寸,f(x)取得最大或最小值，若f(x) =Asin( ax +。)为奇函数，则当x=0时，f(x) =0.对于函数y = Asin( ax+ ),其对称轴一定 经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判断直线X = X0或点(X0,0)是否 是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x 0) 的值进行判断

16、.名师一号P56问题探究问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若 f(x) =Asin(ox+ )为偶函数，则当x = 0时，f(x)取得最大值或最小值.若 f(x) =Asin( wx+(|)为奇函数， 则当 x = 0 时，f(x) =0.如果求f(x)的对称轴， *兀只需令 3 x+ 0 = 5+ k 兀(k 6 Z),求 x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 wx+(|)= k7t(k Z)即可.(补充)结果写点坐标！同理对于y = Acos(ox+ d ),可求其对称轴与对 称中心，对于y = Atan( wx+(|)可求出对称中心.练习1:名师

17、一号P58特色专题 典例3已知 f(x) =sinx +3cosx(x R),函数 y =/ 、 兀 _，f(x +。) H | v为偶函数，则。的值为f兀兀C. y = sin x + 万 D . y= cos X + -2解析 由函数的周期为兀，可排除C, D.又函数在4,为减函数，排除B,故选A.练习1:计时双基练P247第7题函数 y = cos - 2x 1的单调递减区间为4 ) 一练习2:加加练P1第11题(2)名师一号P57高频考点例2/乙一 r，兀已知函数 f(x) =4cos(ox sin wx+ -0)的最小正周期为 兀.(1)求3的值；讨论f(x)在区间,0, 2jh的单

18、调性.3x+_4 i= 2V2cos2 3x)+/ = 2sin 2(ox+十 1+ 啦.解：(1)f(x) = 4cos w x - sin sin ax coswx+ 21/2cos2wx = /2(sin2 wx +因为f(X)的最小正周期为兀，且30.从而有=兀，故 3 = 1.(2)由(1)知，f(x)=2sin 2x+y U陋.4 J v若0x1-，则，取+%7兀兀 兀兀当了2x+Z0万，即 OWxW,时,f(x)单 调递增；,兀兀 5兀 一兀兀，当了0）的单调区间时，要视 “ 3 x + 0 ”为一个整体，通过解不等式求解.但 如果3 0,那么一定先借助诱导公式将 3化为 正数，

19、防止把单调性弄错.例2 .名师一号P58特色专题 典例4（2014 全国大纲卷）若函数f（x） =cos2x+ asinx在区间67t ，一一 t ，一 , t.刀是减函数，则a的取值范 围是.【规范解答】先化简，再用换元法求解.f(x) = cos2x + asinx = 1 2sin 2x+ asinx.z、人.一 一 1兀 兀令 t =sinx , x6 r ,.g(t) =1-2t2 + at =-2t2 + at +1 1t1 M J由题意知一9 y 9 0 J，. a w 2.口人 一2.a的取值范围为(一s, 2.课后作业一、计时双基练 P247基础1-11、 课本P56变式思考

20、1二、计时双基练P247培优1-4 课本P56变式思考2、3 预习第五节练习：1、设函数 f(x) =2sin( x+g).若对任意 x6R, 都有f(X 1)f(X)f(X 2)成立，则|X 1 - X2|的最小 值为()-1A. 4 B . 2 C . 1 D. 2分析： f(x)的最大值为2,最小值为一2,对？ x6 R -2f(x) 0）的图像向右平移上个单位长度，所得图像经过点（打,0）, 44则切的最小值是特殊情况一三角函数的奇偶性例2 （补充）（1） （08.江西）函数sin x 曰,、f （x）=是（）sin x 2sin x2A.以4n为周期的偶函数 B .以2n为周期的奇函数C.以2n为周期的偶函数 D .以4n为周期的奇函数【答案】A（07年辽宁理）已知函数一、 ,ITt .1 U 22 切 X _f(x)=si