最新线性代数习题集(带答案)

1、精品文档精品文档第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是（A） 243152.如果n阶排列(B) 14325j1j2 jn的逆序数是).(C)41523k,则排列jn(D)24351j2j1的逆序数是().(A)k(B)nn!(C), k(D)n(n 1). k3. n阶行列式的展开式中含&a2的项共有（4.5.(A)0(B)n(C) (n2)!(D) (n 1)!0001001001001000).0001(A)00100(A)0(B)(C) 1(D)210000010).(B)(C) 1(D)26.在函数f(x)2x13012313项的系数是（).

2、(A)0(B)(C) 1(D)2ana12a13g ,则D2a11al3a112a127.若Da21a22a232a21a23a212 a22(a31a32a332a31a33a312 a32).(A) 4(B)4(C) 2(D)28 .若 a11 a12a,则 a12 ka22().a21 a22a11 ka21(A) ka(B) ka(C)k2a(D) k2a9 .已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次为).(A) 010.若 D(A) 111.若 D(A) 18614310501137213(B)4317(B)41020102(B)(C) 3(D) 23115

3、,则D中第一行元的代数余子式的和为(C) 3(D)0,则D中第四行元的余子式的和为（(C) 312. k等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组).).()(A) 1(B) 2(C) 3(D)0X1X2kx3X1kx2X3kx1X2X3(D)000有非零解.02,5,1,x,1 . 2n阶排列24 (2n)13 (2n 1)的逆序数是 .2 .在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符一号是3 .四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是 .4 .若一个n阶行列式中至少有n2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于1 15 .行列式° 10 10 00 10 06

4、.行列式0 01001111000200 n 100W(n1)Wna2(n1)07 .行列式a11a21n 0a11a2a13a11a133a123a128.如果Da21a22a23M ,贝U D1a21a233a223a22a31a32a33a31a333 a323a32009 .已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 10 .行列式11 . n阶行列式12 .已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为13.设行列式D1 2 35 6 74 3 28 7 6，A4j(j1,2,3, 4

5、)为D中第四行元的代数余子式,则 4A413A422A43A4414.已知Da b c a c b a b b a c ca c b dD中第四列元的代数余子式的和为15.设行列式D12 3 43 3 4 415 6 7112 26, A4j为a4j(j1,2,3, 4)的代数余子式，则A41，A4316.已知行列式D2n 100,D中第一行元的代数余子式的和为kx1 2x217.齐次线性方程组 2x1 kx2X3x1x2X300仅有零解的充要条件是0Xi18.若齐次线性方程组3x12x22x22x2x35x3kx300有非零解，则k =0、计算题1.a2a3ab c dc2c3ca b dd

6、 d： d：2.3.解方程x1110；4.a1a1a1xa2a2a2xan 2an 2an 2a1a1a2a2a3a3an 1ao111&13 1, j 0,1, ,n)；5. 11a2111an11113 1b116. 112 b1111 (n 1) b1111hawa7.h b2 a2a2;b1b2b3anXa1a2ana1Xa2ana1a?Xana1a?a3X8.J21009.2X1X2X1X1X21X2XnX1XnX2X2Xn10.1 a a00011 aa0011. D011 a a 00011 a a00011 a四、证明题2 ab1 2 *2 cd212 a1b21d2a

7、 bc d1 a1 b 1c1 d11110.a16xa1xbc1a1b1c1a2 b2x a2x b2 c2(1xb c 0的充要条件是a b c 0)a2 b2 c2a3 b3xa3x4 qa3 b3 q2.1111abcd2,22.2abcd4,44, 4abcd11a1a2n 2a1n 2a2nna2(b2 ann 2anna)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)(a b cnai d).i 11 i j nd).15.设a,b,c两两不等，证明a3 a一.单项选择题A D A C C二.填空题1. n ;2. “，3.a14 a22 a31a43 ;4.0 ;5. 0

8、;6. ( 1)n 1n!;n(n 1)7. ( 1) 2a1n a2(n 1)an1 ;8. 3M ; 9.160;10.x4; 11.( n) n1; 12. 2;13.0; 14.0;15.12,9；16.n!(1k 11a 17*2,3;18.k 7计算题1.(a b cd)(ba)(c a)(d a)(c b)(db)(dc)；2.2(x3y3);3.x 2,0,1;n4.k(xak)5.n(ak1)(10k o ak 1);6.(2b)(1 b)(n 2) b);7.n1)n (bkk 1ak);8. (xnnak) (x ak);k 1 k 19.nxk ;k 110. n1;1

9、1. (1 a)(1a4).四.证明题(略)尺N zzfe 弟早矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)A2A2(b) A2 B2 (A B)(A B) (c) (A B)A A2 AB(d) (AB)T ATBT2 .设方阵A、R C满足AB=AC当A满足()时，B=C(a) AB =BA (b) A 0 (c) 方程组AX=0有非零解(d) B 、C可逆3 .若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA ()(a) kA(b)k|A4.设A为n阶方阵，且|A 0,则()(a) A中两行(歹！J)对应元素成比例(b)(c)A中至少有一行元素全为零(d)nn(c) k

10、n A(d) k AA中任意一行为其它行的线性组合A中必有一行为其它行的线性组合5 .设A , B为n阶可逆矩阵，下面各式包正确的是()(a) (A B) 1 A1 B 1(b)(AB)TAB(c) (A 1 B)TA 1 B (d) (A B) 1 A 1 B* n 1* n 1A |A (d) A A6 .设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则()(a) (a)A*A1(b)A*|A (c)7.设A为3阶方阵，行列式1A 1A为A的伴随矩阵，则行列式1 *(2A) 1 2A ( ) 0(a)27 (b)8-(c)生(d)-88278278.设A, B为n阶方矩阵，A2B2,则下列各式成立的

11、是（）22(a) A B (b) A B (c)|A |B (d)|A|B9 .设A, B均为n阶方矩阵，则必有()。22(a) A B A B (b) AB BA (c) AB BA (d) A B10 .设A为n阶可逆矩阵，则下面各式包正确的是()。T T 11 T T(A ) (A )(a) 2A 2 AT(b)(2A) 0 0(c) A 0 0 10 1 0 2A 1(c) (A1) 1T (AT)T 1 (d)a11a12a1311.如果 Aa21a 22a23a31a32a33a113a31a123a32a13 3a33a21a 22a31a 32a23，则 A (a3310 0(

12、a)01 0 (b)3 0 11 03010(c)0010 03010(d)1 0112.已知A(a) ATA(b)A 1A*100(d) 001A01013 .设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC I ,则（）(d) BAC I(a) ACB I(b) CAB I (c) CBA I14 .设A为n阶方阵，且| A| 0,则（）（a） A经列初等变换可变为单位阵I（b）由 AX BA,可得 X B(c)当(A |I)经有限次初等变换变为(1|8)时，有人1 B(d)以上(a)、(b)、(c)都不对15 .设A为m n阶矩阵，秩(A) r m n,则()。(a) A中r阶子式不全

13、为零(b) A中阶数小于r的子式全为零(c) A经行初等变换可化为1r 0(d) A为满秩矩阵0 016 .设A为m n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B AC ,则()。(a)秩(A)> 秩(B) (b)秩(A尸秩(B)(c)秩(人)<秩(8)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定17 . A, B为n阶非零矩阵，且AB 0 ,则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b) 都为n (c) 都小于n (d) 一个小于n, 一个等于n18 .n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a) r(A) r n(b)A 的列秩为 n(c) A的每一个行向量都是非零向量(d) 伴随矩阵存在19.n

14、阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a) A的每个行向量都是非零向量(b) A中任意两个行向量都不成比例(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量X ,均有AX 0二、填空题1 .设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且A2 I,则行列式|A 0ab2 .行列式 a 0 c b c 01 0 13 .设2A0 2 0,则行列式(A 3I) 1(A2 9I)的值为0 0 11 堂4 .设A2_2 、且已知a6 I ,则行列式A11也 1225 .设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且|A 3,则A* 6 .设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为7.非零矩阵a1bla1b

15、2a2baha2bn的秩为anbianb2anbnn21148. 设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X,均有AX 0,则A的秩9. 若A (a。)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是10. 若 方 阵 A 与 4I 相 似， 则 A 1 2K11. lim 歹 KJ K 11K 3K1212. lim 0 n三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).2231)11 0 X1212232022)01013201 00X211100110101C 212121 ；3103) X(I B 1C)T BT I , 其中 B 4 0 44221014) AX A2 X I , 其

16、中 A 0 2 0101 ；4235) AX A 2X , 其中 A 11 0123；2.设A为n阶对称阵，且A2 0 ,求A.3. 已知 A1100 21 , 求 (A 2I )(A2 4I)1014. 设 A11 2 , A21 0123 4 , A30 0 , A4233004,求A1A3A2A45. 设 A1122 2 4 , 求一秩为 2 的方阵 B , 使 AB0.3362116. 设 A 1 0 1 ,B1100111 2 1 , 求非奇异矩阵C , 使 A CTBC .1107. 求非奇异矩阵P , 使 P 1 AP 为对角阵 .1)21121122)A 1312018. 已知

17、 三 阶方 阵 A 的三 个特征根为 1,1,2, 其相应 的 特征 向 量依 次为 (0,0,1) T,( 1,1,0)T,( 2,1,1)T, 求矩阵 A.24, 求 A100 .5539. 设 A 6444四、证明题1. 设A、B均为n阶非奇异阵，求证AB可逆.2. 设Ak0( k为整数)，求证I A可逆.3. 设 a1.a2,L ,ak 为 实 数 , 且 如 果 ak 0 , 如 果 方 阵 A 满 足Ak a1Ak 1 L ak 1 A ak I0 , 求证 A 是非奇异阵 .4. 设 n 阶方阵 A 与 B 中有一个是非奇异的 , 求证矩阵 AB 相似于 BA.5. 证明可逆的对

18、称矩阵的逆也是对称矩阵.6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和 .7. 证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵 .9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案一：1.13.b ;二.1.10. I ;a ; 2. b ; 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ; 8.d ;14.a ; 15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d.9.c ; 10.d ; 11.b;12.c ;15

19、1 或-1; 2. 0; 3. -4; 4. 1; 5. 81; 6. 0; 7. 1; 8. 100; 9.ai4 ai8 ;i 112. 0 ; 11.三、1.11.10 021)、132;2)、2 3160102；3）、14320153；4)、030；641 0 25)、35. 1138. 11386296. 2. 0; 321291111 不唯一;004.2100102112010106.100; 7. 1)、0011132)、2 111222031002(21001)2210031003100100 ； 9.2(2100310°)44 21002(31°°

20、;)2(31001)112( 31001)2(13100)2(3100)1第三章 向量一、单项选择题1. 1, 2, 3,1, 2都是四维列向量，且四阶行列式1 231m,1232n,则行列式1 2312()(a)m n (b)m n (c) m n(d) m n2 .设A为n阶方阵，且|A 0,则()0(a)A中两行(列)对应元素(b)A中任意一行为其它行的(c) A中至少有一行元素全为(d)A中必有一行为其它行的3. 设A为n阶方阵，r(A) r(a)必有r个行向量线性无关成比例线性组合令线性组合n ,则在A的n个行向量中()(b)任意r个行向量线性无关(c)任意r个行向量都构成极大线性无

21、关组(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是()(a)r(A) r n(b)A的列秩为nc) A 的每一个行向量都是非零向量(d) A的伴随矩阵存在5. n 维向量组1, 2 , s 线性无关的充分条件是()(a) 1, 2, s都不是零向量(b) 1 , 2 , s 中任一向量均不能由其它向量线性表示(C) 1, 2, s中任意两个向量都不成比例(d) 1, 2 , s 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组1, 2s(s 2)线性相关的充要条件是()(a) 1 , 2 , s 中至少有一个零向量(b) 1, 2, s中至少有两个向量成比例(C)

22、 1, 2, s中任意两个向量不成比例(d) 1 , 2, s 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组1, 2s(3 s n)线性无关的充要条件是()(a)存在一组不全为零的数 k1,k2,ks使彳4 k1 1 k2 2ks s 0(b) 1, 2, s中任意两个向量都线性无关(C) 1 , 2, s 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示(d) 1 , 2, s 中任一部分组线性无关8. 设向量组 1 , 2 , s 的秩为r ,则 ()(a) i, 2, ,中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关(b) 1, 2, 5中存在由r 1个向量组成的部分组线性无关(c) i,

23、2, s中由r个向量组成的部分组都线性无关(d) 1, 2, s中个数小于r的任意部分组都线性无关9.设 1, 2 , s 均为 n 维向量, 那么下列结论正确的是()(a)若 ki i k2 2 ks s0,则 i, 2, s 线性相关(b)若对于任意一组不全为零的数ki,k2,ks，都有,都有ki 1 k2 2 ks s 0,则 1, 2, $线性无关(c)若1, 2, s线性相关，则对任意不全为零的数k1,k2,kski i k2 2ks s 0(d)若0 1 0 20 s0,则1, 2, s线性无关10.i, 2, 3 , 4 线性无关，则向量组( )(a) 12,23,3(b) 12

24、,23,3(c) 12 ,23 ,3(d) 12,23,34, 41 线性无关4, 41线性无关4, 41 线性无关4, 41线性无关11.若向量 可被向量组 1 , 2s 线性表示，则( )kss(a)存在一组不全为零的数ki,k2,ks使得ki i k2 2(b) 存在一组全为零的数k1, k2, ks 使得k1 1k2 2ks s(c)存在一组数 kik,ks使得 ki ik2 2ks s(d)对的表达式唯一i2. 下列说法正确的是( )(a)若有不全为零的数ki,k2,ks,使得ki i k2 2ks s 0 ，则i , 2,s 线性无关(b) 若有不全为零的数ki,k2,ks ，使得

25、kiik22kss 0 ，则i , 2,s 线性无关(C)若i, 2, s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示(d)任彳sj n 1个n维向量必线性相关13.设 是向量组i (1, 0, 0)T ,2(0, 1, 0)T的线性组合，则=()(a)(0, 3, 0)T (b)(2, 0, i)T(c)(0, 0, i)T (d )(0, 2, i)T14.设有向量组 11,1, 2, 4 T ，20, 3, 1, 2 T ，33, 0, 7, 14 T ，41,2, 2, 0T ，52, 1, 5, 10 T ，则该向量组的极大线性无关组为( )(a) 1,2,3(b)1,2,4(c)

26、 1 ,2 ,5(d )1 ,2,4,515. 设 (a1 , a2 , a3 ) ，(b1 , b2 , b3) ，1 (a1 , a2 ) ， 1(b1 , b2 ) ，下列正确的是( )(a)若，线性相关，则1,1也线性相关(b)若，线性无关，则 1,1也线性无关;(c)若1, 1线性相关，则，也线性相关；二、填空题1.若 1(1, 1, 1)T,(d)以上都不对2(1, 2,3)T ,3(1, 3, t)T 线性相关，则 t=2 . n维零向量一定线性 关。3 .向量线性无关的充要条件是。4 .若1, 2, 3线性相关，则 1, 2, s (S 3)线性 关。5 . n线单位向量组一定

27、线性。6 .设向量组1, 2, s的秩为r,则1, 2, s中任意r线 的向量都是它的极大线性无关组。7 .设向量 1(1, 0, 1)T与 2 (1, 1, a)T 正交，则 a 。8 .正交向量组一定线性。9 .若向量组1, 2, 与1, 2, t等价，则1, 2, s的秩与1, 2, t 正秩。10 .若向量组1, 2, s可由向量组1, 2, t线性表示，则s)11.向量组1a1,1, 0, 0a2, 1, 1, 0T,3 a3, 1, 1, 1T的线性关系是。12.设n阶方阵A 1, 2n , 123, 则 A13.设 1(0, y,2(x, 0, 0)T ,若和是标准正交向量，则x

28、和y的值 .14.两向量线性相关的充要条件是三、计算题1)T ，3 (1, 1, 1)T ，1. 设 1(1, 1, 1)T ，2(1, 12T(0,2 ) ，问1) 为何值时，能由 1, 2, 3 唯一地线性表示？2) 为何值时，能由 1, 2, 3线性表示，但表达式不唯一？3) 为何值时， 不能由 1, 2, 3线性表示？2. 设 1(1, 0, 2, 3)T，2(1, 1, 3, 5)T ，3(1, 1, a 2, 1)T ，4(1, 2, 4, a8)T ，(1, 1, b 3, 5)T 问：(1) a,b为何值时，不能表示为1, 2, 3, 4的线性组合?(2) a,b为何值时，能唯

29、一地表示为1, 2, 3, 4的线性组合?3. 求向量组1 (1,1, 0, 4)T ，2(2, 1, 5, 6)T ，3(1, 2, 5, 2)T ，4 (1,1,2, 0)T ，5 (3, 0, 7, 14)T 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4. 设1 (1, 1,1)T， 2(1, 2,3)T，3(1,3, t)T， t 为何值时 1, 2, 3线性相关， t 为何值时1 , 2, 3线性无关？5. 将向量组1(1,2,0)T ，2(1,0,2)T ，3 (0,1, 2)T 标准正交化。四、证明题1. 设 112, 23 21, 32 12 ，试证 1, 2

30、, 3 线性相关。2 .设1, 2, n线性无关，证明12, 23, n 1在n为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关。3 .设1, 2, s,线性相关，而1, 2, s线性无关，证明能由1, 2 , s 线性表示且表示式唯一。4 . 设 1 , 2, 3线性相关， 2, 3, 4线性无关， 求证 4不能由 1, 2, 3线性表示。5 . 证明：向量组1, 2, s(s 2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6 .设向量组1, 2, 中10,并且每一个i都不能由前i 1个向量线性表示(i 2,3, ,s),求证1, 2, s线性无关。7 . 证明：如果向量组中有一个

31、部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8.设 0, 1, 2, s 是线性无关向量组，证明向量组0, 01, 02,0 s 也线性无关。第三章向量参考答案单项选择1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a、填空题1. 52.相关 3.0 4.相关 5.无关 6.线性无关 7. -18.无关 9.相等 10.11.线性无关12. 0 13. x 1,y14.对应分量成比例 三、解答题1.解：设 X1 1X2 2 X3 3(1 )X1X2X30则对应方程组为X1 (1)X2 X3X1X2 (1)X3111其系

32、数行列式|a 111111(1)当 0, 地线性表示；2(3)3时，A 0,方程组有唯一解，所以 可由1, 2, 3唯1110(2)当0时，方程组的增广阵 A 1 1 1 0111011100 0 0 0,0 0 0 0r(A) r(A) 1 3,方程组有无穷多解，所以可由1, 2, 3线性表示,但表示式不唯一；(3)当3时，方程组的增广阵211012 13A121303 312 , r(A) r(A),方程组无解,112900018所以不能由2, 3线性表示。2.解:以2,4,为列构造矩阵1023113511b 35(D(2)3.解:1,4.解:5.解:1且b CB寸，不能表示为1,b任意时

33、，能唯一地表示为2,3,4 ,4为一个极大无关组,11042156t 5,先正交化:3线性相关，当1, 2, 0T1,再单位化:3,12a41 a41,4的线性组合;4的线性组合。12521 , 2,112030714100001001100001021100 4,3线性无关。1,1，5,2.5,四、证明题1.证：: 3(2.证：设k1(则(k1k1k13-1-.6 ,1.一 62, 3为标准正交向量组2) 4(2 13线性相关2)kn) 1knk2k2 ( 23)kn ( n1)kn 1kn其系数行列式(k1 k2 ) 2n线性无关(knkn)1)n2, n为奇数0, n为偶数当n为奇数时,

34、k1 , k2 ,kn只能为零,2,n线性无关;当n为偶数时,k1, k2,kn可以不全为零,n线性相关。3.证：: 1, 2, s,线性相关存在不全为零的数ki,k2,ks,k使得ki i k2 2ks s k 0若 k 0 ,贝U ki ik2 2ks s 0, (ki,k2,ks不全为零)与1， 2，, s线性无关矛盾所以k 0于是能由设k1 1k1k2ks丁1121skkk1, 2, s线性表示。k2 2ks s (ks ls) s 0l2则-得(k l1 ) 1 (k2 l2 ) 2s线性无关kili 0,(i1,2,s)ki li,(i1,2,s)即表示法唯4.证：假设4能由1,

35、2, 3线性表示, 2, 3, 4线性无关，；2, 3线性无关1, 2, 3线性相关，1可由2, 3线性表示,4能由2, 3线性表示，从而2, 3, 4线性相关，矛盾:4不能由1, 2, 3线性表示。5 .证：必要性设向量组1，2，, 5线性相关ks s 0则存在不全为零的数ki,k2,ks,使得ki 1 k2 2不妨设ks 0 ,则sk1k21112ksksks 1ks1'即至少有一个向量是其余向量的线性组合。 充分性设向量组s中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设sk11 k2 2ks 1s 1则 k1 1k22ks1 s 1 s0 ,所以1，2，, s线性相关。6 .证：用数

36、学归纳法当s=1时，10 ,线性无关，当s=2时，: 2不能由1线性表示，1, 2线性无关，设s=i-1时，1, 2, i 1线性无关则s=i时，假设1, 2, i线性相关，Q 1, 2,L , i 1线性无关，i可由1, 2, i1线性表示，矛盾，所以1, 2, i线性无关。得证7 .证：若向量组1, 2, s中有一部分组线性相关，不妨设1, 2, r(r<s)线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,kr,使得k11k22kr于是 k1 1 k2 2kr r 0 r 10 s 0因为kik，,kr，0,0不全为零所以1, 2, s线性相关。ks( 0 s)08 .证：设 k0 0 k1

37、 ( 01 )k2 ( 02 )则 (k0 k1 k2ks) 0 k1 1 k2 2ks s 0k0k1k2k1所以 k20, 1, 2, s 线性无关，ks000解得 k0k1k2ksks0所以向量组0,01 , 02,0 s 线性无关。精品文档精品文档第四章线性方程组一、单项选择题设n元齐次线性方程组AX 0的系数矩阵的秩为r,则AX 0有非零解的充分必要条件是(2.3.则4.5.6.7.(A) r(C) r(B) r(D) r设A是m n矩阵，则线性方程组 AX b有无穷解的充要条件是(A) r( A) m(C) r( Ab) r (A) m(B) r(A)(D) r(Ab)设A是m n

38、矩阵，非齐次线性方程组AXr( A) nb的导出组为AX)(A)(C)AXAXb必有无穷多解0必有非零解(B)(D)AXAXb必有唯一解0必有唯一解方程组(A)方程组(A)方程组(A)已知AX(A)1,X2X1 2x2 x3X2 2x32)X3(B)X1 X2:2X2 X3X31)X3(X3(B) 2x1 2x23x2 x33)(4)(C)1243)(1)X3X3(3)(B) 2无解的充分条件是1)(D) 4有唯一解的充分条件是(C)124)(C)2是非齐次线性方程组(D) 4有无穷解的充分条件是2)(D) 4AX b的两个不同的解,1,2是导出组0的基本解系，k1,k2为任意常数，则AX b

39、的通解是(k1 1k2 ( 12)-2(B) K 1 k2( 12)(C)ki 1 k2( 1(D)ki 1k2 ( 12)0仅有零解0有非零解0仅有零解的充要条件为(A) A的列向量线性无关(C)A的行向量线性无关(B) A的列向量线性相关(D)A的行向量线性相关10.线性方程组X1X14x1X22x27x2X313x3 0 10x3 1(A)无解有零解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其导出组只8 .设A为m n矩阵，则下列结论正确的是()(A)若AX 0仅有零解，则AX b有唯一解(B)若AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 (C)若AX b有无穷多解，则AX(D)若AX b有无穷多

40、解，则AX9 .设A为m n矩阵，齐次线性方程组 AX、填空题1 .设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X,均有AX 0,则A的 秩为.kx1 2x2 x302 .线性方程组2x1 kx2 0仅有零解的充分必要条件是 .x1 x2 x3 03 .设X1,X2,L Xs和gX1 02X2 LCsXs均为非齐次线性方程组AX b的解(G,C2,L Cs为常数)，则 C1 C2 L Cs .4 .若线性方程组 AX b的导出组与BX 0(r(B) r)有相同的基础解系，则r(A)5 .若线性方程组AmnX b的系数矩阵的秩为m,则其增广矩阵的秩为6 .设10 15矩阵的秩为8,则AX 0

41、的解向量组的秩为精品文档7 .如果n阶方阵A的各行元素之和均为0 ,且r(A) n 1 ,则线性方程组AX 0的通解为8.若n元齐次线性方程组AX0有n个线性无关的解向量，则A1 219 .设 A 2 3a 2 ,b1 a 21x13 ,xX2 ,若齐次线性方程组AX0X30只有零解,则a 110 .设 A 21213 a 2 ,ba 21X13 ,xx2 ，若线性方程组AXb无解，则0X311 . n阶方阵A,对于AX0,若每个n维向量都是解，则r(A)12 .设5 4矩阵A的秩为3, 1, 2, 3是非齐次线性方程组AX b的三个不同的解向量，若 1223 (2,0,0,0) T,3 12

42、 (2,4,6,8)T ,则 AX b 的通解为.13 .设A为m n矩阵，r(A) r min(m,n),则AX 0有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1.已知1, 2, 3是齐次线性方程组AX 0的一个基础解系，问12, 23, 31是否是该方程组的一个基础解系？为什么?2.设A54 3 31012 2632 11311111151120106001 ,已知B的行向量都是线21002320性方程组AX 0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为 什么？精品文档3. 设四元齐次线性方程组为（J :12x2 x401）求（I的一个基础解系2）如果k1（0,1,1,0）T k2

43、（ 1,221）T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（I和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4. 问a, b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）x1 ax2 x3 a1) ax1 x2 x3 12 x1 x2 ax3 ax1 x2 bx3422) x1 bx2 x3 bx1 x2 2x34精品文档x11x21x335. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为12G 3 c23 .(c,c2为任意实数)2122136. 设 A ，求 4 2一个矩阵B ，使得 AB 0 ，且 r(B) 29528一、单项选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空题1. 100 2. k2且k 33. 1 4. r 5. m 6. 77. k(1,1,L ,1)T (k 为任意实数) 8. 09. a1或310. a 111.012. (-,0,0,0) T k(0,2,3,4)T,k任意实数13.无穷，n r2三、计算题1.是2. 不能3. 1) V1(0,0,1,0)T,V2( 1,1,0,1)T2) k( 1,1,1,1T(其中 k为任意非零常数)4.1)当a 2时，无解；当a2且a 1时有唯一解：(-,',