二轮复习直线与圆专题卷

1、适考素能特训一、选择题1. 2015 湖南岳阳一模已知圆 C: x2+ (y 3)2= 4,过 A( 1,0) 的直线I与圆C相交于P, Q两点.若|PQ|= 2 ,3,则直线I的方程为 ()A. x= 1 或 4x+ 3y4= 0B. x= 1 或 4x 3y+4= 0C. x= 1 或 4x 3y+ 4 = 0D. x= 1 或 4x+ 3y 4 = 0答案 B解析 当直线I与x轴垂直时，易知x= 1符合题意；当直线I与x轴不垂直时，设直线I的方程为y= k(x+1),由|PQ|= 2.3,则圆| k+ 引4心C到直线I的距离d= 1,解得k=3此时直线I的方程pk2 +13 为y = 3

2、(x + 1).故所求直线I的方程为x= 1或4x 3y+4= 0.2. 2016重庆测试已知圆C: (x 1)2+ (y 2)2= 2与y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y= 2x+ b分圆C的内部为两部分，其 中一部分的面积也为S,则b=()A. 6B. 士 6C. 5D. 士. 5答案 D解析 本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想.依题意圆心C的坐标为(1,2),则圆心C到y轴的距离为1,由圆的对称性可知，若直线2x y+ b = 0分得圆C内部的一部分面积也为|2x 1 2+ b|S,则圆心C(1,2)到直线2x y+ b= 0的距离等于1,于是有=1,解得b=

3、77; 5,故选D.3. 2016南昌一模已知点P在直线x+ 3y 2 = 0上，点Q在直线x + 3y+ 6 = 0上，线段PQ的中点为M(xo, y°),且y°vx。+ 2,则0的x0取值范围是()A. 3, 0B. - 3, 0 (1( nc. 3，+乂 p.乂， 3P(0，+乂) 答案 D解析本题考查点到直线的距离、直线的斜率.由题意得|xo+ 3yo 2| |xo + 3yo+6|y010= 710，整理得 Xo+3y° + 2 = 0又 y°vx。+ 2,设±=koM，如图，当点位于线段 AB(不包括端点)上时，k°M&g

4、t;0，当点位于射1y(1)线BN(不包括端点B)上时，koM< 3,所以x的取值范围是(X, 3 qo, +X)，故选 D.4. 2016金版原创四倾斜角互补的直线1仁mx y+ 1 m= 0, I2: rmx y+ 1 m2= 0分别被圆Oix2 + y2 = 4所截得的弦长之比为 今, 贝 S m1m2=( )、1 、1A. 9 或9B. 9 或91C. 9 D . 9答案 A解析本题考查直线与圆的位置关系.由题可知两条直线斜率分别为mi,m2,又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即mi+ m2= 0,被圆O: x2 + y2= 4所截得的弦长之比为¥，化简得 3m

5、2 10mi + 3 = 0,解得 mi =扌或 3,所以 mim2= mi=19或9,故选A.5. 2016广东综合测试已知直线x+y k= 0(k>0)与圆x2 + y2 = 4 交于不同的两点A, B, O是原点，且有|OA+ OB|身，则k的取 值范围是()A . ( 3，+乂 ) B. 2,+乂)C. 2, 2 2) D. 3, 2.2答案 C解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算.设ABV3yf3的中点为D，则OD山B,因为|OA+ OB|>3|AB|,所以|2OD|§ab |, |AB|< 2 3|OD|,又因为 |OD|2 + 4|AB|2

6、= 4,所以 |OD|> 1因为直线 x+ y k = 0(k>0)与圆x2+ y2 = 4交于不同的两点，所以|OD|<2，所以1<| k|2<2,解得 2<k<2 .2,故选 C.6. 已知点 A( 2,0), B(0,2)，若点 C 是圆 x2 2ax+y2 + a2 1= 0 上的动点， ABC面积的最小值为3 2,则a的值为()A . 1 B . 5C. 1 或5 D. 5答案 C解析 解法一：圆的标准方程为(x a)2 + y2 = 1,圆心M(a,0)到直线AB: x y+ 2 = 0的距离为d=|a+ 2|2，可知圆上的点到直线AB的最

7、短距离为d 1 =|a+ 2|21 , (SABc)min1 _=2X 2.2X|a + 2| v 22解得a= 1或一 5.解法二：圆的标准方程为(x a)2 + y2 = 1,设C的坐标为(a+ cos 0,sin®, C点到直线AB: xy + 2= 0的距离为|a+ cos 0sin 0+ 2| d= 2ABC的面积为S如 2 2X 2sin 一a+ 2当 a>0 时，a+ 2 2 = 3 2 解得 a= 1;当一2<a<0 时,|a + 2 2= 3 ,2,无解;当 a< 2 时，|a+2+ ,2|= 3 .2,解得 a= 5.故a= 1或一 5.解

8、法三：设与AB平行且与圆相切的直线I的方程为x-y+ m=|a+ m|O(mz2),圆心M(a,O)到直线I的距离d= 1,即2 = 1,解得m= 士 2 a,两平行线I, I之间的距离就是圆上的点到直线 AB的最短距离， m 2| ±2 a 2|即.2 =2，1 厂 | ±2 a 2|(Swc)min = 2X 2 2X2= I ± 2 a 2|.当 a>0 时，| ±2 a 2|= 3 2,解得 a= 1.当 a<0 时，| 士 2 a 2|= 3 2，解得 a= 5.故a= 1或一 5.二、填空题7. 2015福建厦门一模已知a>

9、0, b>0，若直线h : x + a2y+ 2 = 0与直线l2: (a2 + 1)x by+ 3= 0互相垂直，则ab的最小值是.答案2解析 依题意可得，1 x (a? +1) + a ( b) = 0, a a?b+1 = 0,.2 2a +1a +11b=丁，ab= a+一2.a 'aa1当且仅当a=a，即a= 1, b= 2时，ab取到最小值2.a8 2015云南统考已知f(x) = x3 + ax 2b,如果f(x)的图象在切点P(1, 2)处的切线与圆(x 2)2 + (y + 4)2 = 5相切，那么 3a + 2b=答案 7解析由题意得f(1)=- 2? a 2

10、b=- 3,又'.f' (x) = 3x2 + a,f(x)的图象在点P(1,- 2)处的切线方程为y+ 2= (3+ a)(x-1),即(3 + a)x y a 5 = 0,2,1 b=：,.3a + 2b= 7.4，9. 2015山东青岛质检在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0) 在圆C: x2 + y2 2mx 4y+ m2 28= 0内，动直线AB过点P且交圆C 于A, B两点.若 ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围 为.答案(3 2 7, 3 2 3U 3 + 2 3, 3+ 2.7)解析 由题意得圆心C(m,2)，半径r = 4 2因为点P(3,0

11、)在圆C: x2+ y2 2mx 4y+ m2 28= 0 内，所以 32+ 06m 0+ m2 28<0,解 得 3 2 7<m<3 + 2 7.1 1设圆心C到直线AB的距离为d,则d< |CP|.又Sabc =d (AB| =16, d=4 时取等号，因此 |CP|>4,m 3 2+ 22>4,即 m3 + 2.3或 m< 32 3.综上，实数 m的取值范围为(3 2 7, 3 2 3 L3 + 2 3, 3+ 27).三、解答题10. 2015河北唐山调研已知定点M(0,2), N( 2,0)，直线I: kx y 2k+ 2 = 0(k 为常数

12、).(1)若点M, N到直线I的距离相等，求实数k的值；对于I上任意一点P, / MPN恒为锐角，求实数k的取值范围.解(1)丁点M, N到直线I的距离相等，I /MIN或I过MN的中点.M(0,2), N( 2,0),直线MN的斜率 kMN = 1 ,MN的中点坐标为C( 1,1).又 T 直线I: kx y 2k+ 2=0 过定点 D(2,2),当I /MIN 时，k= kMN = 1;1当I过MN的中点时，k= kcD = 3.1综上可知，k的值为1或3.对于I上任意一点P,JVIPN恒为锐角，与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线I的距离大于半径, 使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长

13、交过B且垂直于x轴的直线I于点D, N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆0的位置关系.°d =| k 1 2k+ 2|> 2,解(1)由题意得，Fi( 3, 0), F2( 3, 0),圆Fi的半径为4,且|MF2|= |MP|,从而|MFi|+ |MF2|= |MFi|+ |MP匸4>|FiF2|= 2 3,点M的轨迹是以Fi, F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长 2a=4,焦距 2c = 2 3,则短半轴长 b=” :a2 c2 =4 3= 1,X22点m的轨迹c的方程为4+y =i.|HK| = |KQ|,Qx0,2yo).OQ| = Ajx0+2y0f

14、 = 2,Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上.又 A( 2,0),二直线AQ的方程为y= 细(x + 2). xo + 2L8y° 令 o 4 一 x2 = 2,得 D 且离心率e=¥., xo+ 2丿又B(2,0), N为DB的中点，0Q NQ = Xo(Xo 2) + 2yo Xo+ 2=Xo(xo- 2) + 4Xoy0Xo + 2xo(xo 2) +Xo+ 2=xo(xo 2) + Xo(2 Xo)= O.oQjnQ.直线QN与以AB为直径的圆O相切.2 212. 2O15福建高考已知椭圆E: a+b2= 1(a>b>O)过点

15、(O,问,(1)求椭圆E的方程；设直线I: x= my 1(m R)交椭圆E于A, B两点，判断点(9G 4, 0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.解(1)由已知得，b=V2,a= 2,解得 b=/2,亠b2+ c2.7飞x2 y所以椭圆E的方程为4+ 2 = 1.设点 A(xi, yi), B(X2, y2), AB 的中点为 H(x°, y°).x= my 1y2mm2 + 222m3所以 y1 + y2=2, yy =-m2 + 2m2+ 2,得(m2 + 2)y2 2my 3= 0,从而yo=所以|GH|2=xo + 4 2 + 久=(my + 4)2 + £ = (m2 + 1朮+|my°+磊.AB|242 2xi X2 + yi y22 21 + m yi y2221 + m yiy2=(1 + m2)(y2 yiy2),故 |GH|2 4|AB|25225myo + (1 + m)yiy2 + 祀3( 1 + m2)2( m2+ 2)m2+ 2