平行四边形的性质及判定知识点及典型例题

1、平行四边形的性质及判定1 .平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等. 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形.平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.2 .平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.一、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形 ABCD为平行四边形，即 AB/CD

2、, AD II BC .通过证明三角形全等来说明:AB =CD , AD =BC .（对边相等）AO =CO , BO = DO .（对角线互相平分）例2如图，点E, F是平行四边形 ABCD对角线上的两点， 且BE = DF ,那么AF和CE相等吗？请说 明理由B2A1 .' DC例3 如图所示，已知四边形ABCD ,从 AB II DC ;AB = DC ;AD II BC ;AD = BC ;/A=/C ； （6） ZB =/D中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有哪几 种情形？请写出具体组合。例4如图，在平行四边形平行四边形ABCD 中,【例5】如图，在平

3、行四边形EC的长度分别为（A, 2和 3 B.ABCD 中,)3和2EF / BC , GH / AB , EF与GH相交于点 O ,图中共有AD =5 , AB =3 , AE平分/BAD交BC边于点E ,则线段BE ,C. 4和 1D. 1和4如图【例6】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A. 2个B. 3个 C. 4个D. 5个【例7】 如图，平行四边形 ABCD中，AB_LAC.对角线AC, BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时 针旋转，分别交BC , AD于点E , F . 证明：当旋转角为90邙寸，四边形 ABEF是平行四边形； 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总

4、保持相等.【例8】 在平行四边形 ABCD中，点A、A、A、A和Ci、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点，点Bi、 B2和Di、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形 AiB2c4D2的面积为1 ,则平行四边形 ABCD 面积为（）A. 2 B. 3 C. 5D. 1553A J8【例9】 如图，在平行四边 ABCD中，AC、BD为对角线, 面积为（）.A. 3 B. 6 C. 12 D. 24BC=6, BC边上的高为4,则阴影部分的【例10】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想 用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设

5、计三种不同的分割方案.【例11如图3, 一个平行四边形被分成面积为Si、8、S3、S4四个小平行四边形，当 CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时.S1S4与S2S3的大小关系为个平行四边形,已知点C与点A、B不重合时，图中共有【例12如图1,。1,。2,。3,。4为四个等圆的圆心， A, B, C, D为切点，请你在图中画出一条直 线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ;如图2,。1,。2,。3,。4, O5为五个等圆的圆心，A, B, C, D, E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆 分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 .【例13如图

6、，E,F是平行四边形 ABCD的对角线AC上的两点，AE =CF .求证：(1) MDFACBE;(2) EB II DF .【例14如图，已知：在平行四边形 ABCD中，NBCD的平分线CE交边AD于E , ZABC的平分线BG交 CE于F ,交AD于G.求证：AE=DG .【例15已知：如图，平行四边形 ABCD内有一点E满足ED_LAD于点D ,/EBC=/EDC ,/ECB = 45, 请找出与BE相等的一条线段，并给予证明.【例16如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点，BE/ DF ,求证：AF=CE.【例17如图，平行四边形 ABCD中，AE_LBD于E, CF _L

7、 BD于F .求证：AE=CF.【例18如图，在平行四边形 ABCD中，连接对角线BD,过A,C两点分别作AE _L BD , CF _L BD , E , F为 垂足，求证：四边形 AECF是平行四边形【例19】如图，平行四边形 ABCD中，E是BC的中点，DE、AB的延长线交于点 F ,连接AE、CF .求 证：SBE =SFC -D【例20如图，已知等边三角形的边长为10, P是 MBC内一点，PD II AC , PE / AB, PF / BC，点D, E, F 分另1J在 AB, BC , AC 上，则 PD + PE +PF =【例21如图1,在平行四边 ABCD中，/A =12

8、0）则/D=【例22如图2,在平行四边形 ABCD中，DB=DC, /A=65： CE _L BD于E ,则/BCE =图2A【例23】已知四边形的四条边长分别是 则这个四边形是（）a,b, c d,其中 a, b 为对边，并且满足 a2+b2+c2+d2 = 2ab +2cdA.任意四边形C.对角线相等的四边形B.平行四边形D.对角线垂直的四边形【例24】（2009东营）如图3,在平行四边 ABCD中，已知 AD=8cm , AB =6cm , DE平分/ADC 交BC边于点E ,则BE等于 cm .【例25】已知平行四边形 ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于O点，AAOB的周

9、长比ABOC的 周长多8cm ,则AB的长度为 cm .【例26】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7 ,则它的一条边长 a的取值范围是 【例27如图，是某区部分街道示意图， 其中CE垂直平分AF , AB II DC , BC II DF ,从B站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B-D -A-E ,路线2是B-C-F-E,请比较两条路线路程的长短，并给出证明.【例28如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE_LAC, DF_LAC, E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG , GF , FH . HE为公园中小路，问小明从 B 地

10、经E地，H地到F地，与小强从 D地经F地，G地到E地，谁的路程远.【例29在平行四边形ABCD中，过A任作一直线 AM ,过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG , 垂足分别是 E、F、G ,求证： BE = DGCF.例30 AC是平行四边形 ABCD较长的一条对角线，点O是ABCD内部一点， OE _L AB于点E ,0尸，八口于点尸，OG_LAC 于点 G ,求证：AE AB+AF AD=AG AC .A二、平行四边形性质和判定的综合应用【例31】点A、B、C、D在同一平面内，从 AB/ CD ,AB=CD ,BC/ AD ,BC = AD .这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是

11、平行四边形的选法有（）种A. 3 B. 4 C. 5D. 6【例32如图，已知： AD是AABC的角平分线， DE / AB,在AB上截取BF=AE,连接DE , EF ,求 证：四边形BDEF是平行四边形A【例33已知：如图，在平行四边形 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点.求证：(l)AAFDACEB; (2) 四边形AECF是平行四边形.【例34如图所示，P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四 边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC .AD【例35如图，四边形 ABCD中，AB/CD, /B=/D, BC=6, AB

12、=3,求四边形 ABCD的周长.【例36如图所示，在平行四边形 ABCD中，、F是对角线AC上两点，且AF =CE ,求证：四边形BEDF 是平行四边形.【例37已知：如图，AD / BC , ED / BF ,且AF =CE .求证：四边形 ABCD是平行四边形.【例38如图，在平行四边形 ABCD的各边AB, BC,CD,DA上，分别取E, F,G, H ,使AE = CG, BF =DH ,求证：四边形 EFGH为平行四边形【例39如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P ,过点P作直线交AD于点E ,交BC于点F .若PE阴 ，且AP+AE=CP+CF .求证：四边形 ABCD是

13、平行四边形.【例40如图，在平行四边形 ABCD中，点E , F在AD , BC上，且AE =CF , AF与BE交于点M , CE 与DF交于点N ,求证：四边形 EMFN是平行四边形【例41如图，在平行四边形 ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM =CN , DE = BF ,求证: 四边形MFNE是平行四边形.【例42如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的AD、BC边上的点，且 AE=CF.求证：MBEACDF;若M ,N、分别是BE、DF的中点，连接 MF、EN ,试判断四边形 MFNE是怎样的四边形, 并证明你的结论.【例43如图，过四边形 ABCD对角线白交点O作直线E

14、F交AD、BC分别于E、F,又G、H分别为 OB、OD的中点，求证：四边形 EHFG为平行四边形.【例44如图，MCD> MBE、&BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB#AC时，证明四边形 ADFE 为平行四边形.EA【例45如图，点E, F,G,H ,M , N分别在AABC的BC, AC, AB边上，且NH / MG / BC, ME / NF / AC , GF II EH II AB ,有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从 F点 出发，黑蚂蚁沿路线 Ft Nt Ht EtMtGt F爬行，白蚂蚁沿路线 F t Bt At Ct F 爬行，那么（）A.黑蚂蚁先回到F点B.

15、白蚂蚁先回到F点C.两只蚂蚁同时回到 F点D.哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【例46】以&ABCD的对边AB、CD为边分别在外作等边 MBE 等边ACDF .求证： 四边形AECF是 平行四边形.【例47】等边 MBC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE,所以AD为边作等边 MDF .求证: 四边形CDFE是平行四边形.【例48如图，已知AC是平行四边形 ABCD的对角线， 必CP和AACQ都是等边三角形，求证：四边形 BPDQ是平行四边形.【例49如图，MBC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点， EF / AB , DF / BE.求证：DF与 AE互相平分.【例50

16、已知BD为平行四边形 ABCD的对角线，过C作CE II BD ,连接AE交BD的延长线于F , 求证：AF=FE.B【例51如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A, B, C, D处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由【例52如图，在AABC中，/ACB=90）点E为AB中点，连结CE ,过点E作ED L BC于点D ,在DE的延长线上取一点 F ,使AF =CE .求证：四边形 ACEF是平行四边形.【例53如图，在平行四边

17、形 ABCD中，DE_LAB于E, BM =MC =DC ,那么/EMC与/BEM的大小 关系怎样？【例54】已知平行四边形 ABCD, BC=2AB, M为AD的中点，CE_LAB.求证：NEMD=3/AEM.【例55已知：如图，平行四边形 ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分/BAD、/ABC、/BCD、ZCDA, BE、DF的延长线分别交 AD、BC于点M、N .连接EF ,若AD =7 , AB=4 .求EF的长.【例56如图，P为平行四边形 ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交平行四边形于 E、F、G、H 四点，若 Sahpe =3, SpFCG =5 ,求 Sa

18、pbd 【例57】已知五边形ABCDE中,AC / ED ,交 BE 于点 P , AD II BC , ?交 BE 于点 Q , BE / CD ,求证：ABCPAQDE.【例58如图，在 MBC 中，AB =AC , AD _LBC 于 D, 交 AC 于 F。 求证：2AD=PE+PF ;点P在BC上， PE _L BC交BA的延长线于 巳B【例59如图，在等腰 MBC中，延长边AB至IJ点AD= BC= CE D 球证：/BAC=100D ,延长边CA到点E ,连接DE ,恰有E【例60如图，四边形EFGH中，若N1=/2,则/3必然等于N4 .请运用结论证明下述问题：如图, 在平行四边形 ABCD中取一点P,使得 /5=/6,求证：/7=/8.【例61如图所示，在平行四边形 ABCD中，求证AC2 +BD2 = AB2+BC2+CD2+DA2 .