数列求和习题精选精讲

1、数列求和教学目标掌握数列求和的方法与技巧教学重点掌握数列求和的方法、利用常用求和公式求和_cn® an) n(n1) ,_1、等差数列求 和公式Sn na1-d2、等比数列求和公式:22nai(q 1)Snai(1 qn) ai anq (q 1)1 q 1 q例1已知数列an ,an xn, (xwo), sn数列白前n项和，求sn o【巩固练习】 1:已知数列an 的通项公式为an 3n 14, Sn为 an的前项和，求sn；二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法, 项和，其中 an、 bn分别是等差数列和等比数列.这种方法主要用于求数列an -b

2、n的前246例2求数列一，一2, -32 22232n,2n ,前n项的和.练习求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 (x 1且 x 0)三、倒序相加法求和,再把它与原这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）数列相加，就可以得到n个(a1an).2 2 一 sin 88 sin 89 的值.,.2 .22例 3求 sin 1 sin 2 sin 3四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例4求数列的前n项和:111 1,2 3三 5,2

3、n 12n 1,练习 9 99 999999 9五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 .通项分解（裂项）如：111（1）ann(n 1)nn 1an例51求数列，122-；, 的前n项和.n 、. n 1一 ，,2练习 在数列an中，ann,又bn ，求数列b n的前n项的和.an an 1数列的概念【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第 n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f（n）。（通项公式不唯一）3、数列的表示：(2)

4、(4)列举法 图解法 解析法 递推法如1,3,5,7,9由(n,an)点构成;用通项公式表示，如an=2n+1用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列, 有界数列，无界数列5、任意数列an的前n项和的性质摆动数列，常数数列;Sn= a1+ a2+ a3+ +ananSnS nSn6、求数列中最大最小项的方法：最大anan最小an an 1anananan 1考虑数列的单调性【例题选讲】例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项(1) -1,7,-13,19，；(2)7,77,777,777，; ，一3 153

5、58 10.,.;63 99(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,；(5)1,0,1,0,15,;1 )an=(-1)n(6n-5);(2)7 n .1019an2n(2n 1)(2n 1)(4) an5sin n;(5) an21 ( 1)n2N ;an.2 nsin 一2点评根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。“一 2 4 1 4练习：一，,.3,5,9,17,33, 122,4,3,8,4,16,5,7 11 2 5解：1 an417 3n2 an 2n 1 3ann 12n22n为正奇数或ann为正偶数1 n - 222一 2 nsin 22 ncos 2n2&quo

6、t;例2、已知数列9n2 9n 29n2 1(1)求这个数列的第10项；(2)竺是不是该数列中的项，为什么？101(3)求证：数列中的各项都在区间(0, 1)内；12(4)在区间 1,2内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。3 3解：设f(n)29n 9n 29n2 13n 23n 1(1)令 n=10，得第 10 项；a102832(2)令3n2 国,得9n 300,此方程无自然数解，所以不是其中的项3n 1101(3)证明：an 3n3n 23n 1 33n 13n3n 11, 0an(4)3n 2an3n 123,3n9n9n6n768378-n - 当且仅当n 2,在区间内6

7、3点评数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解例3、下面各数列的前n项和Sn的公式，求an的通项公式.(1) Sn=2n2-3n(2) Sn= 3n-2解： a1S11,当 n>2 时,anSnSn 14n 5由于a1也适合此等式，所以an4n(2)a1S11,当 n>2 时,an Sn Sn12 3n 1an12 3n点评已知数列前n项和Sn,相当于知道了 n>2时候an,但不可忽视n=1.即anSnSn 1练习：已知数列的前n项和Sn满足10g2（Sn+1）=n+1,求an的通项公式解：由题意sn2nan32n例4、有一数列an, a1=a,由递推公式川+1=011

8、,写出这个数列的前4项，并根据前41 an项观察规律，写该数列的一个通项公式。详见优化设计P37典例剖析之例2,解答过程略。（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法） 变式：在数列an, a1=1, an+1=a,求不。1 nan详见优化设计P37典例剖析之例1,解答过程略。点评对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如: 迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。N ，试问数列an有没有最大项？10例5、已知数列an的通项公式ann 1 一11若有，求最大项和最大项的项数;若无，说明理由.解: anan2 1010 n111011n 9 n11当

9、 n<9,anan0,an 1an当 n>9,anan当 n=9, an 1 an 0,an 1an故 aia2a3a9a10 ail 所以,数列an有最大项,为第9,10项点评求数列an的最大项 最小项，考虑数列的单调性，即通过对an的单调性进行讨论练习：已知an-兽 n N ，则在数列an中的前30项中,最大项和最小项分别为什n 、99解：an1、的最大ai0最小a9n , 99【课堂小结】1、了解数列的概念、分类与表示法;2、重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；3、任意数列an的前n项和的性质S n 1Sn= a1+ a2+

10、 a3+ + ananSn Sn 1 n 24、求数列中最大最小项的方法：最大anan 1anan 1最小ananan 1an 1考虑数列的单调性【作业布置】高考胜卷裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算（一）阅读思考1 2 = ±例如亏厂证,这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式:11冏十1片 - = - n 日+1 坤5 + 1） 忒网+1）用+ 1一限1 .+ 1）汽（内 + 1）1 1 1 = 即月展"D1 1 1= 一 .或''

11、. 一 '' 卜面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题【典型例题】例1.计算：1111十-+ 1985x1 死6 19g6 区1 把7 1957x1588199x1995111+ 4-4-1995x19% 199” 1997 1997分析与解答：1 1 11985x1986 1985 19S61_ 1 . 11986x1987 - 1986 - 19871_ 111987 x198g - W7 19881 _ 1 _ 1 19941991 1994 19951 _ 1 11995-1996 =砺 13%1_1_ I1996x1397 - 1996 1997上面12个式子的

12、右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。1985 Ml 闷6 +丽获彳市十 19371988 + 1995 Ml996 + 1995 乂 199719箝111111111=_+_4+ +_+1985 1S86 1986 1987 19S7 19881995 1995 1996_ 1 1 _ 1 1S97 1997 1985像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。一十+十十例 2.计算：1 1*2 1 + 2*31+2 + 34 TO。公式的变式1_21+ 2

13、 +旧也父第-1)当量分别取1, 2, 3,，100时，就有 1 _ 21 '7x21 _ 21722x31 _ 21+ 2 + 3 "37=21十2十3+4 - 4x51 2卜云+MO . 1派101 1 1 1 1-十十十 , 十1 1 + 2 12+31 + 2 + +10022222=+ - +1x2 2x3 3*499x100 100x101111 1 1=2 x r+ +)2xfl-)499100 100 1011x2 2x3 3x499x100 10010111011002落101200 101=1"101例3.设符号（）、代表不同的自然数，问算式6

14、（） 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？1 1 1 +分析与解：减法是加法的逆运算，6 （）就变成1 1 _ 1 1 1 16 （）, ,与前面提到的等式界界*1对界*D相联系，便可找到一1 1 1=+组解，即6 7 42 另外一种方法1 1 1一 =,+ :设乩兀尸都是自然数，且当耳内y时，利用上面的变加工一用_ 1为减的想法，得算式如 y。工这里尸是个单位分数，所以工一总一定大于零,假定耳以=士）口,则t _ 1/工=双十"代入上式得加制+*）方，即 工 。又因为尸是自然数，所以工一定能整除盟'即工是/的约数，有正个色就1 1 _ 1有越个尸，这一来我们便得到一个比

15、汽司*1仪内*1）更广泛的等式，即当y = + 内一 = 一 十一工二片十以 且 ，工是川的约数时，一定有并走乎，即«” £ 司（理 +£）L1 - 1 + 1V 十九苗_._十一上面指出当走=理十九 七 ,£是后的约数时，一定有"天V,这里忌=6,黯=交，36共有1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36九个约数当f =1时，42当L2时，,¥ 二加当上=3时，齐=9 , y ' 1日当-4 时，A = 10,k 15当5时，冗= 12,严10当f = 9时，五=15 ,川=1。当£ = 12时，尤=

16、1吕，当 £ = 18 时，无=24 , y 3当f =无时，入=42 ,，故（）和<> 所代表的两数和分别为49, 32, 27, 25。【模拟试题】.尝试体验:1 .计算:+ - - +兜 99x1001 1 1十十1x2 2工3 3x42 .计算：11111111111111十十+十+-+-+-+十3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 73 91 105 1201 1 1二 一十一3.已知心了是互不相等的自然数，当18 X b时，求走十 【试题答案】1.计算：1 1 1 1 1 + - + 1x2 2 工？ 3x4死x99 99x10011111

17、1111-1 十十+十2 2 3 3d 98 99 99 1WW0 99 Too2 .计算：11111111111111_ + 十+-+-+-+十3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 73 91 105 120222222+十+1101321561822102022222222三一十一十十十 一+ 十十 一+& 12 20 30 42 56 72 902 x (- 4. + + 4 + + +2x3 3乂4 4x5 5x6 6x7 7x8 8x9 ”1。WxU11111 、11x12 12x13 13x14 14x15 15 父 16因为3 .已知工，尸是互不相等的自

18、然数，当18 K A时，求 羌+。齐+F的值为：75, 81, 96, 121, 147, 200, 361。18的约数有1, 2, 3, 6, 9, 18,共6个，所以有1 1+1 1 1 |18 18x(1 + !) 5? 3611+21118 - 18x(1+ 2) - 54 2754 + 27 = 8111+3I1 = = 4_ 18 10x(1 + ?)72 2472 + 24 = 961 1十一126 211 _1$618 lSx(H6)21 + 126 14711+911 13 18X(1+ 9) 180 2020-n 180 =20011 + 1811 = = 18 lgx(l

19、+l& 19 34219 + 342 = 36112+311_ = = _ + _18 ，乂(2+牙 4$ 3。3" 45 = 751 _2+9_ 1 1 11S = 12x(2 +9) =2222 + 99 = 121(二)1 1 1 前一节我们已经讲过，利用等式“总+1附(展+1),采用“裂项法”能很快求出2 6 12 209900这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等11 E=式：林M + f可5+£),现利用这一等式来解一些分数的计算问题。【典型例题】11 1 , 1 1+ .' . +例 1. 1 一 一：,二.二二1.;，分析与解：此题

20、如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。1 F下面我们用“趋+f盟5+订 ,现在给即、£ 一些具体的值，看看有什么结果。2 _ 1_ 1当"二2时，有京 J )2 _ 1_ 1当其二 31二2时，有 35352 _ 1_ I当灯二5 J二2时，有5x7 5 12_ 1 _ 1当福工 1993/二2时，有1993x199广砺一访2_ 1 _ 1当八1995," 2时，有1995x199厂询一丽上面这998个等式左边的分数， 其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1,但是很容易将题目中各数的分子变为2,例如112112= X , = X

21、 1x321x3 3x523x5,，这样采用裂项法也能较快求出结果来。1 _ 121 _ L 2因为 土 = 5父而，而二3%而，112112_ x _x 1993x 1995 - 2 1993x19951995x1597 -I 1995x1597+1+. + +所以 1 二一一 1._1.一1111=-X (1H1- 十23 3 5=-x (1)219371 19962 199799819931 1 111995 1995 199719971 1 + 例 2. 1 - -1 _ 1 _ 3-1 _ 因为 1 二 二,二 -二 -11,11=M ( 所以1二：一 :一 一 一二；1 1,1=x

22、 (- 同样可得一二 二 二_ 1+ 98x99x1002<2x3I _ 11 _ 13x4x5 V(彳 - 75,般地，因为弗伽十1）（理+ 1）（盟+ 2）科+ 2 一得武基十1)5 + 2)_2存(器 + 1)07 + 2)司5十1)5十2)= -xJ2 标 + 1) ("1)3+2)这里程是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。1F "十 1x2x3 2x3x493x99x10021x2 2k/ x 3 3x498x99 99x 1001 . z 1 1 1 1 1 1 、 x 1-+-+' ' +)21x2 2x3

23、 2x3 3x498x99 95 x 100= -><(-)21x2 99 x1001 495Q -1 =-x2 990。1 4949- 2 9900_ 4949=19800十 十十+ 十例 3.计算：2 "3 2 + 3+4 2 + W+4+52 + 3 + 4+20。分析与解:1 _2_ 21222 + 3+4 - (2+4)x3- 3x61_2_ 22十3十4 十5 一12 十5) x4 - 4 kT123用十2折1) SV保十之)1573 + 2)(1)3 + 2)2十3十4十,一十万J 1 _ - +_3而；：1:二，：二：二即；，：二：二,二 1:二连续使用上

24、面两个等式，便可求出结果来。-十十一 , H2 2 +32 + 3 +4 +2QQ-+ , +199然 2Q2二一十2 2父5 3父612333 、_ 十 一 K (+)2 3 2x5 3x6199x20212 4 11111111 111、2 3 253647587 10199 2022 3 2 3 4+函)飞1一 +八7)200 201 202-H x (I 1 1 1- H2 32 351992 3 %2 3 4 200 201 2021 2 , 996699、2 3 ”口0 201 4041334433二一十十 2 100 201 2021430933=12030100【模拟试题】（答

25、题时间：15分钟）尝试体验.十十十 十1.求和：3 3+4 3+4 + 5 3+4 + 5+63 + 4 + 5+202.求和:培十3身5身7古+9短+1小3.求和: + i +lx 2 x 3x4 2x3x4 然 517x18x19x20【试题答案】1.求和：111 1 1一十.十十十 十3 3+4 3+4 + 5 3+445 + 63+4 + 5 +20687836叼 12252 .求和：3 .求和:+ +1139205201x2m3m4 2x 3x4 x5 17 x18 k19x 20数列通项的求法【知识点精讲】求数列的通项方法1、由等差，等比定义，写出通项公式2、利用迭加 an-an-

26、i=f(n)、迭乘 an/an-i=f(n)、迭代pan A 看成bn的等比3、一阶递推an ipan q,我们通常将其化为an i A数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【例题选讲】n 1 a2 i na2 an 冏 0 n 1,2,3,.求它an 1 an n 1 an i nan例1、设an的首项为1的正项数列，且 的通项公式。解：由题意 ai=1 , an>0,(n=1,2,3, .)an 0,an 1 an 0有 ani-ann 1n 1 n 22 .11n n 11 nanan 1a2an

27、aian 1an 2ai 1an 一 n变式：已知数列an,ai=2,an+i=an+3n+2,求 an,解：On= (an-an-1)+ (an-1-3n-2)+ ( an-2-an-3)+ .+ (a2-ai) +ai点评根据数列递推公式,利用迭加(an-an-i=f(n)、迭乘(an/an-i=f(n)、迭代2例 2、已知数列an, ai=i,an+i=2an1,求 an32,、2解法一：an 1-an 1.an-ani 1(n 2)(2)33,2 ,由(1)-(2)信：an 1an-(anan i) 设bn anan 1则数列bn为等比数列3bnanan 11(l)nlan 1anan

28、 3 3法二:an 1解得:3即原式化为anan设bnan3,则数列bn为等比数列bnan2)a22一 a131, a31 a431anan点评注意数列解题中的换元思想，如bnan对数列递推式 an 1 pan q,我们通常将其化为p an看成bn的等比数列练习：(1)：数列an中,a1 = 1,2an=an 12(n 2),求 an解方法同上：an212n(2)数列an中,a1=1, an 12aan“,22解:原式化为an 1an1，利用换元思想。利用上法得an2n 2例3、（猜证）已知数列an满足a1 = 1, an3an 1(1)求 a2,a3 ,a4 (2)证明：an3n 12解：（

29、1） a2=4a3 = 13a4=40(2) a1 ,a2,a3 ,a4由前可知,成立假设n=k时也成立，即akkn=k+1 时，ak 13 ak2k 3k 1323k 1 12也成立综上，an3n 1 t an练习：设正数数列an前n项和Sn,存在正数t,使得对所有自然数 n,有JtSn2,则通过归纳猜想得到Sn并证明？解：n=1 时，得 a1二t, n=2 时，得 a2=3t, n=3 时，得 a2=5t,猜测 an=(2n-1)t证明：n=1,2,3时，已经成立假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Sk=k2tn=k+1 时，Vts77 t j a22t 33tSn2t 3 6

30、1 3t又a 3t3tSn12t 3 Sn 2 3t. ,4t(k2t a-)(t a)22_22_.ak 12tak 1 (4k1)t0 ak 1(2k 1)t 2(k 1)-1t 也成立综上，an=(2n-1)t,Sn= n2t点评用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手 例4、设数列an的首项为1,前n项和为Sn,满足关系3tSn 2t 3 Sn 1 3t t 0,n2,n N(1) 求证：数列an是等比数列；1.(2) 设数列an的公比为 f(t),作数列bn,使 b1=1,bn= f (n=2,3,4，.)求bnbn 1的通项公式解(1)由 Sia11,S2aa 21

31、a2a22t 33t(1)3tan 2t 3 an 10an2t3t3c cn 2,3,4,5得证(2) f (t)2t 33tbn fb2 .3 bn1bn1点评对an与Sn进行熟练转化解题n, an与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2练习：设数列an为正项数列，若对任意正整数 的等比中项，求an的通项公式解:an 222Sn, Sn1一 an82,anSnSn 1anan 1anan 1anan 14 n 2a1S14n备用补充:求下列数列(1)Sn(2)anyn x0 , a10,前三项和x(3) ai0,an 1 snn2 2n1 n 1 2n 22n 2n或3n3n32n 1【课堂

32、小结】求数列的通项方法1 .由等差，等比定义，写出通项公式迭代2 .利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1 =f(n) >3.一阶递推an 1pan q,我们通常将其化为an 1 Ap anA看成b n的等比数列.4 .利用换元思想5 .先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6 .对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【作业布置】高考胜卷数列疑难解析1 .怎样理解“数列是一类特殊的函数”？数列这类特殊的函数，其特殊性表现为如下两个方面：(1)数列这类函数的定义域只能是正整数集合N*或它的有限子集1, 2, 3,，n.即定义域中的元素的取值既有着特殊性

33、，又有着从小到大依次取值的有序性；(2)数列这类函数的函数值也是有序的，它是按自变量从小到大依次取值时所分别对应的函数值先后出现的次序“摆放”的一列函数值的“队”.例如对于定义在实数集 R上的函数g (x),当我们把函数值列g (0), g ( 1), g ( M2 ), g (勺)，2视为一个数列，实际上确实是一个数列时，那么数列的定义域是1, 2, 3, 4,按自变量从小到大依次取值时所分别对应的函数值先后出现的次序依次是：a1=f (1)= g (0),a2=f (2)= g (1), a3=f (3)= g (J2), a4=f (4)= g (2).由此“摆放”出的一列函数值 的队是

34、：f (1), f (2), f (3), f (4).2 .怎样理解等差数列定义中“从第 2项起”以及“差等于同一个常数”这两个要点？要求“从第2项起”是为了确保每一项的前一项差的存在性，而只有使“差等于同一 个常数”，才与“等差”名副其实，体现了等差数列的基本特征.3 .等差数列的通项公式可以写成an=dn+c (其中c= (a1一d)的形式，当dw。时，可以说an是n定义在N上的一次函数.4 .对于等差数列 an ,当dwo时，为什么不能说前 n项和S是常数项为零的n的二 次函数？对于等差数列，其前 n项和Sn可表示为Sn=an2+bn (其中a , b a1 ).当22dw。时，当然有aw 0.但仍不能说 Sn是n的二次函数.这是因为二次函数是有严格定义其定义域是实数集R ， 图像是一条抛物线 而由等差数列前n 项和的公式Sn=an2+bn 确定的函数值 Si, S2,，Sn,，只是二次函数 yax2 bx(x R)中