《大学物理学》习题解答(第11章静电场)

1、qi qq(a4% (/ + 员)l+ b2i qq/_ a乙仗+. b .1 +iy)a2 + b2 >bqq=鬻器講所以当“土卸曲受的电场力咲第11章静电场1M仃两个相距为加，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂胃平分线上悬挂另一个点电荷心cf 与连线相距为九 试求：（1）q'所受的电场力；（2） /放在哪一 位置处，所受的电场力最大？解（1）如图/所受的合力为 F = Fl+F2=?20 （a + Jr）头如果电荷q'与q同号，F方向与y轴同向：如果与q异号，F方向与y轴反向。可得11-2如图所示，质彊为加的两小球帯等最同号电吊4 现用长为/的细线悬挂J：空间同点

2、。（1）试证明:当0很小且两球平衡时，则有X i，式中X为两球间的距离。（2）丿试求：当/ = 120cm , m = 150g , x= 5cm时，q的值?（3）如果每个球都Wl.OxlO-9-1的变化率失去电荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率（即）是多少？dr解（1）如图所示，小球平衡时，Tsin 8 = F、Tcos。= mg, F = - 4矶广则 mg tan 0 =-一 &很小时，tail 0 sin ,因此 x = 4%q21（2）由上式解出以 I = 1.2m. w = 0.15kg, x= 0.05m 代入上式得 = ±J2x3.14x&85xl0&q

3、uot;x 0.15x9.82x1 = ±9.23xl(T'C(3丿dx dx dq ( q2l Y3/2 dt dq dt Imng 2ql dq 2x dq3兀£jng dt 3q dt0.05x(-l.OxlO"9) = -3.61x10ni s'1319.23x10负号衷示X减小，即两球彼此趋近。11.3两个点电荷所带电荷Z和为0，问它们乞带电荷为多少时，相互间的作用力最人? 解两点电荷z间的库仑力f= 19_q）qA% r由极值条件=0,得dgq=Q2#因匸3二<0,这表明两电荷平分电荷0时，相互作用力最大。d旷2兀J厂11.4若电

4、荷0均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为厂处的电场强度人小为E= 牡 4r 一 I:（2）在棒的垂直平分线上，离棒为厂处的电场强度大小为E=-j < 2%t yj4r2 + 1若棒为无限长（即Its）,试将结果与无限长均匀带电肖线的电场强度相比较。 证（1）延长线上一点P,収dqndx，则盍启r畀士-缶吩岛Qdx#-I38 2亦0厂+ 4尸/厶22叫（2）若点P在棒的垂直平分线上，因对称性，E沿x轴方向的分吊徨加为零，因此，E的方向沿）轴,.u r r sin adq人小为 E= 扎 4or2由 T sin a = rjr , r = yjr2 + X1 ,

5、则fQdx>L1W 4% L(x2 + r2)3/z2%r 屈 + 4斥当厶ts时，若棒单位长度所带电荷；l为常量，则=lmi ;11.5 一半径为/?的半圆细环上均匀的分布电荷0.求坏心处的电场强度。 解収坐标O巧，电荷元dg=%dZ=2Rd&,由点电荷场强公式dE = eR由电荷対称分布，场强也对称，则：EdE/OE、= f d£、= - f dE sm 0 f sin 0d0 g-v J ' J4龙R2也Ry负号表示E方向沿y轴负方向。11.6 一半径为/?的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为CT求球心处电场强度的大小。 解将半球壳分割为一组平行细関环，

6、取任一个微尤圆环，所带电荷dq = adS = bNR' sin M 6在点O激发的电场强度为dE =阮0(疋 + r2 f2由* x = RcosO 9 r= Rsin 0,则EE；社养疳蛊警如 翻。sm&cosOde11.7】半径为/?的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线性变化，为b=%Q_=)°试求在圆盘轴 线上距圆盘中心O为x处的场强E。解 把圆盘分为许多同轴圆环带.取一与原点相距为带宽为ch的閲环带，其上带电最为dqxdq=ads = a2zrdr9利用均匀带电圆环轴线上的场强公式，仃._叫、_ o lnrdr x _ %(1-厂/P' 4;rq

7、(r + x2 )3/24 砖° (尸 + F)'/'4;rq (r2 +x2)3/:对于整个带电圆盘來说,有Ep話aQx r«(l-r/?)?dr4#习题11-8图【118】冇一无限长带电貢线电荷线密度为另有一长为/的均匀带电 细棒，电荷线密度为入。棒与直线在同一平面内,且棒垂直丁直线，如图所示。棒的-端与直线距离为d,求它们的相互作用力。【解】无限2带电直线产生的场强为E=-2叭r在距长苴带电线为r处取电荷尤dg = /Ldr，则dF = Edq = Zdr粮个带电细棒所受的电场力为F= fdF=（Edq=f坐茁=生山（绊）J J / 2% r 2矶 a

8、11-9两条无限长平行直导线相距为,均匀带仃等鼠异号电荷，电荷线密度为八 试求：（1）两导线 构成的平面上任一点的电场强度（设该点P到其中一线的垂肖.距离为X ）:（2）每一根导线上单位长度受到另一根导线上电荷作用的电场力。【解】（1）E+、E-分別表示正，负带电导线在P点的电场强度，则仃E = E + E.=2 G f2矶 x(r0 -x)6#（2）役几.F一分别农示正，负带电导线单位长度所受的电场力，则仃#显然有-相互作用力人小相等，方向相反，两导线相互吸引。11.10 设匀強电场的电场强度E与半径为/?的半球而的对称轴平行，试计算通过此半球而的电场强度 通量。【解】垂直E方向作半径为尺的

9、平面亍,根据电场线的性质,穿过平面S'的电场强度通呈在数值上等J： 穿出半球面S的电场强度通量。因而0 = £ E d S = -（ E d S = -E龙R cosk = ER111.11 边长为d的立方体如图所示，其衷面分别平行JF，W和旷平 面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置丁电场强度 E=（ + ）i+E;j的非均匀电场中，求立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通就。1111解】如题图所 OABC =。廿© = 0abgf = js (E【+ kx)i + EdSj = E2a皿。=_典财= AOEF = E d S = J （EJ + E J）

10、 （一 d S” = -E a2%dg = jsE dS = Ss© + 5 + EdSi = （Et + kx）a2 因此，整个立方体衣面的电场强度通駅=工=竝？11.12 设在、f径为R的球体内，梵电荷为对称分布，电荷体密度为p = kr, （ 0 <r </? ）； p = 0 t （ r > R ）k为-特氐 试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。«r7T1L12解】球体内(OSE(r)47rrz =一| krnrdr =r4, E(r) =er5Jo54q球体外(r > R),£(r) 4r2 =丄心4开产dr =叫疋,E(r)

11、 =qJo54务产11.13 一球壳体的内半径为尺，外半径为心，壳体内均匀地分布着电荷体密度为Q的电荷。求离球心 为r处的E,并画出E-厂曲线。(11.13解】由高斯定理，球壳内r<Rt，该高斯面内无电荷工q = 0故E, =0球壳间<r </?2).高斯面内电荷工q = Q为(厂一/?；),故E： = PU乂 :')球壳外(r>/?,),高斯而内电荷工笃(用-/?；),故E3 = PR1 Rl 3'3心厂11.14 -无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为<7,在平板中部有一半径为7的圆孔。求圆孔中心轴线 上与平板相距为X的一点P的电场强度。解用补偿

12、法求解，把小圆孔看作冇等灵的正，负电荷币:叠而成。圆盘激发的电场却占老在带电平面附近 E严 e, e为沿平而外法线的单位矢屋: 2岛合电场为£=£, + £, =/ 2% 7F77)在圆孔中心处x=0,则 E=0在距离El孔较远时,则711.15 如图所示，在电荷体密度为。的均匀带电球体中.存在一个球形空腔， 若将带电体球心O指向球形空腔球心。的矢起用«表示。试证明球形空腔屮任一点的电场强度为E=H3刍证 用补偿法求解。挖去球形空腔的带电球体在电学上等效一个完整的电 荷体密度为°的均匀带电球和一个电荷体密度为，球心在O的帯电小球(半径习题11

13、15图和空腔球体的半径从用耐球体内部点的昨度公式7焰在空腔内任"点的电场.卸小球在空腔内任7点的电场E宀卸,则P点的电场强度 E=El + E1=-(rl-r1) 立0根据几何关系n - r, = n ,上式可改写为£=丄(13®【11.16】半径为R的无限长圆柱,柱内电荷体p=ar-br /为某点到HttM线的距离，G上为常最。试求带电圆柱内外电场分布。工 q =pd V = ("- hr2)2r/dr = 2/(r3-r4)(S)s 41146解】作长为/,半径为厂,与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面S。当r<R时，高斯面S内由高斯定理可得：E =

14、a厂- ,(r</?)当 r>R 时， 若§ =內U (ar-br)2nrl6r = 2?r/(y/?3- /?4)dd 2/?p4由高斯定理可得E=-,( r>R)12 V11.17 一个内外半径分别为K和丘的均匀带电球壳，总电荷为Q，球壳外同心罩一个半径为心的均匀帶电球面.球面帯业荷为求业场分布，电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析介11.17解】r<R该高斯面内无电荷，工q=0,故 E严0山高斯迟理紂1 QW-R：)4% 产(R：-R；)R2<r<Rv高斯面内电荷为Q,宙高斯定理得E- 03 4吟2r>R,，高斯血内电荷为

15、Q + Q，由局斯定理得E _ Q + G44吟2在带电球而的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R.的带电球面两侧,电场强度的跃变量f厂。li.is两个带仔等晴异号电荷的无限长同轴MIEifti.半径分别为心和冬(冬 >久)，单位长度上的电 荷为久。求离轴线为/处的电场强度：(1)r</?, (2) Rl<r<Rlt (3) r>RzO11.18解】取同轴闘柱面为高斯面，由高斯定理，得工Q = 0，& = 0< R、, y <7 = 2L , E. - In vL =丄汕，E、= 厶02矶厂r > & ,

16、A g =(兄-兄)L = 0, E3 = 0在带电面附近，电场强度人小不连续， E=E、-El=Z2 龙2 九 £jL s【11.19】如图所示，冇三个点电荷Q、Q、0沿一条直线等问距分布，已知其中任一点电荷所受合力均 为零，110 = 03 = 00试求在固定Q和0的情况卜，将Q从点O移到无穷远处外力所做的功。11.19解】由题意G所受的介力为零Q 红+Q- =0)4亦。沪140(2J)2可得：2 =44*电势的恵加得Q, Q在点O的电势 = - + 务 =4%d 4 开邙 2%d将Q从点O推到尢穷远处的过程屮，外力做功A =y0 = -j11.20】半径为/?的无限长育.關柱体

17、内均匀带电，电荷体密度为°,分别以柱面及轴线为电势零点，求电势的分布。11.20解】由高斯定理得，当r<R时，E(t*) = Q；当r>R时，E(r) =2® 2/(1) 取棒衷面为零点时，空间电势的分布仃当r<R时V(r) =空击=上-(用一 r2)Jr 2®4®当 r>R 时V(r)=dr = ln-J2ror 2% r(2) 取轴线处电势为咨，由电势的泄义可得当r<R时当r>R时11.21 fill图所示，冇一薄金属环，其内外半径分别为尺和圆环均匀带电，电荷面密度> 0） o （1）计算通过环心垂直F环面的

18、轴线上-点的电势：（2）若仃质了沿轴线从无限远处射向 带正电的圆环，耍使质子能穿过岡环，它的初速度至少应为多 少？（11.21解】（1）取半径为I宽度为力的带电细阴环.习题11-21图dq在轴线上产生的电势为ardr2£0(r+ x2)1/2薄金属环的电势V = :计=話府二陌刃（2）根据能届守恒定律，为使质子在圆环中心，其动能应满足耳0,即*m诟c（V。匕>0 则：>1-（-）11.22 两个同心球面的半径分别为人和心，各自带有电荷Q和0-求：（1）各区域电势分布，并画 出分布曲线;（2）两球面间的电势差为多少?11.22解1】（1）由高斯定理可求得电场分布E=0 ,

19、( r < /?t )； E = Q、冇,(R、<r<RQ； E3 = Ql + Q； er, (/>/?、)；1- 40r21-4% 尸-并区域的电势分布：当r<R,时，有葩+厲心+爲1、/+_ a+R2 4叭R： 4%/?11#当<r<Rz时，有11'Q+2_#R,（2）两个球面间的电势差u=JR】当 r > R2 Hj,佔 V3 = w EdT=Ql + Q1【11.22解2】（1）由乞球而电势的徨加计算电势分布。若该点位J：两个球而内，即则V>4矶代 4%/若该点位J 两个球面Z间，即RKR、,则 K=-+ 4tt£

20、;j 4o/?2若该点位于两个球面之外，即4R、,则匕=鱼24矶厂（2）两个球面间的电势蓋aj4 开 JR、4%/?212#11.23电荷q均匀分布在长为2厶的细自线上.试求：（1）屮垂线离帯电百线中心O为x处的电势和场强：（2）带电直线延长线上离中心O为y处的电势和场强；（3）离带电fl线端点处为x的场点的电势和场 强的x分杲.dq【11.23解】（1）取也角坐标系，取带电1S线中心为坐标原点0,在带电耳线上取电荷元dq = My =竟dy在P点产生的电势为dVp=4% &2 + y1整个带电系统在戶点产生的电势为w 铲、=亠In出叵Z7 4r0 Jx2 + y2 4%Lx则该点的场

21、强为E卡盂廿所以，P点的场强为E=E=4开£川 + X（2）带电r线延长线的电势.设P点位Jy>厶处，同样取电荷元dq,则冇v _讥 dq _ q 说 dy _ q g)厶 卩 J" 4%y40 2Ly 8%L y-厶则相应的场强人小为證E严詈嬴甘同理在zl处的电势为岭T：誥厂匚盘少最峠左场强为：E = 0； E = _詈4矶（八巧（3）坐标原点O处J：带电苴线的端点处。则P点电势为2丄 dy_dv厂一7V = f2L2匚 _ 4 广 _dy _ q 2丄+丁4/； + 亍卩 o 4%“ + y$0 4% Jx' + y$8%厶 0 卜 + y，8%Lxq .

22、1_77相应的P点场强的x分量为e1_'&x (2厶 + j4/? + F)j4Z? + F4亦川应11.24 半径为/?的均匀带电岡盘，带电甌为0。过盘心垂直J：盘而的直线上一点P到盘心的距离为厶。试求：（1） P点的电势；（2） P点的场强。11.24解】 如图所示,取坐标OX轴过盘心垂直于盘面,原点0位J盘心处。在圆盘上取一距原 心为厂，宽度为小 的圆环带dS, dS=2rdr为圆环带的而积，其上带电届为dq=bdS = 2开心。 dq在P点产生的电势为J1ZdqQlnrdrd V =/4 开£詁 E + r2 4 亍 “R、J C + r1所以，整个帯电圆盘在P点产生的电势为V= dV=糾， =°、7 H L）“ Jo