布莱克-舒尔斯期权定价模型

1、第六章第六章 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母第四节第四节 B-S公式的实证研究和应用公式的实证研究和应用vBlack-Scholes期权定价模型的基本期权定价模型的基本思路：思路：相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。响。标的资产价格的变化过程是一个标的

2、资产价格的变化过程是一个随机过程随机过程。因此，期权。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。价格变化也是一个相应的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到发现，由于它们都只受到同一种同一种不确定性的影响不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一定性，从而使整个组合只获得无风险利率。

3、从而得到一个重要的方程：个重要的方程：Black-Scholes微分方程。微分方程。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程一、随机过程一、随机过程v随机过程（随机过程（Stochastic Process）：）：用来描述一个随机变量随时间变化的过程。用来描述一个随机变量随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的划分：以做如下的划分：时间的连续性时间的连续性离散时间随机过程离散时间随机过程 连续时间随机过程连续时间随机过

4、程变量取值范围的连续性变量取值范围的连续性 离散变量随机过程离散变量随机过程 连续变量随机过程连续变量随机过程v普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。v期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化约执行价格之间的预期差异变化v在现实中，资产价格总是随机变化的。在现实中，资产价格总是随机变化的。第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程二、布朗运动二、布朗运动(Brownian Motion) 维纳过程维纳过程设设 代表一个小的时间间隔长度，代表一个小的时间间隔长

5、度， 代表变量代表变量z在在 时间内的变化，遵循标准布朗运动的时间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特具有两种特征：征：v特征特征1： 和和 的关系满足：的关系满足：其中，其中， 代表从标准正态分布（即均值为代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。的正态分布）中取的一个随机值。v特征特征2：对于任何两个不同时间间隔：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值的值相互独立。相互独立。t z t z z t zt t z 当当 0时，得到极限的标准布朗运动：时，得到极限的标准布朗运动：t dzdt 标标 准准 布布 朗朗 运运 动动第一节第一节 证券价格的

6、变化过程证券价格的变化过程二、布朗运动二、布朗运动对标准布朗运动的理解：对标准布朗运动的理解：v 本身具有正态分布特征，均值为本身具有正态分布特征，均值为0，方差为，方差为 ，标准差为标准差为 。v标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。v遵循布朗运动的变量遵循布朗运动的变量z在时间在时间T中的变化：中的变化：以以 表示变量表示变量z在在T中的变化量，可以看作中的变化量，可以看作N个个长度为长度为 的小时间间隔中的小时间间隔中z的变化总量，其中的变化总量，其中 ，因此：因此：z也具有正态分布特征，均值为也具有正态分布特征，均值为0，方差为，方差为T，标准差为

7、，标准差为 。z t t ()(0)z Tz t /NTt 1()(0)Niiz Tzt T第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程二、布朗运动二、布朗运动v变量变量X遵循普通布朗运动：遵循普通布朗运动：a和和b均为常数，均为常数，dz遵循标准布朗运动。遵循标准布朗运动。漂移率漂移率a：单位时间内变量：单位时间内变量z均值的变化值。均值的变化值。方差率方差率b2：单位时间的方差：单位时间的方差v普通布朗运动的离差形式普通布朗运动的离差形式 dxadtbdzadtbdt 普普 通通 布布 朗朗 运运 动动xa tbt 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程二、布朗运动二、布

8、朗运动对普通布朗运动的理解：对普通布朗运动的理解：v遵循普通布朗运动的变量遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和是关于时间和dz的动态的动态过程过程第一项第一项adt为确定项，它意味着为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位的期望漂移率是每单位时间为时间为a第二项第二项bdz是随机项，它表明对是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的这种噪音是由维纳过程的b倍。倍。v在任意时间长度在任意时间长度T后，后，x值的变化也具有正态分布特值的变化也具有正态分布特征，其均值为征，其均值为aT，方差为，方差为 ，标准差，标准差 。v标准布朗运动的漂移率标准布朗运动

9、的漂移率a为为0，方差率为，方差率为1。 2b TbTxa tbt dxadtbdz 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程三、伊藤过程三、伊藤过程v假设变量假设变量x的漂移率和方差率是变量的漂移率和方差率是变量x和时间和时间t的函的函数数vdz是一个标准布朗运动是一个标准布朗运动va、b是变量是变量x和和t的函数的函数v变量变量x的漂移率为的漂移率为a，方差率为，方差率为b2。(, )(, )dxa x t dtb x t dz 伊藤过程伊藤过程 ( Ito Process )dxadtbdz 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的

10、变化过程v目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。v基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为为 、方差率为、方差率为 的伊藤过程来表示：的伊藤过程来表示：dSSdtSdz S 22S 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程v ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率：证券在

11、单位时间内的连续复利的期望收益率v ：证券收益率单位时间的方差：证券收益率单位时间的方差v ：证券价格的波动率（：证券价格的波动率（Volatility）v ：遵循标准布朗运动：遵循标准布朗运动dSdtdzS 2 dz几何布朗运动的离散形式几何布朗运动的离散形式SttS 几几 何何 布布 朗朗 运运 动动第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程几何布朗运动的基本特征：几何布朗运动的基本特征：v在短时间在短时间 后，证券价格比率的变化值后，证券价格比率的变化值 为：为：v因此：因此： 也具有正态分布特征，其均值为也具有正态分布特征，其均值为

12、，方差为方差为 ，标准差为，标准差为 v即：即： 表示均值为表示均值为m ，标准差为，标准差为s的正态分布的正态分布t SS SttS SS t 2t t (,)SttS (, )m s 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程对几何布朗运动的理解：对几何布朗运动的理解：v但是，在一个较长的时间但是，在一个较长的时间T后，后， 不再具有正态分不再具有正态分布的性质：这是百分比多期收益率的布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题乘积问题。v因此，尽管因此，尽管 是短期内股票价格百分比收益率是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长

13、度的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率后，这个收益率的标准差却不再是的标准差却不再是 。SS t T 思考：思考：v一个投资者以一个投资者以100元的价格买入股票，元的价格买入股票， 首先获得首先获得10%的收益然后再损失的收益然后再损失10%，看上，看上去不赔不赚去不赔不赚v但是，具体情况如何呢？但是，具体情况如何呢？第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？v市场一般认同股票市场符合市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说弱式效率市场假说”：证券价格的变

14、动历史不包含任何对预测证券价格未来变证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息。动有用的信息。马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。的预测无关。几何布朗运动的随机项来源于维纳过程几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可，具有马尔可夫性质，符合弱式假说。夫性质，符合弱式假说。dSdtdzS SttS 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程续：为什

15、么股票价格可以用几何布朗运动表示？续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？v投资者感兴趣的不是股票价格投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格，而是独立于价格的收益率的收益率 。v百百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性v几何布朗运动最终隐含的是：几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布正态分布股票价格服从对数正态分布。股票价格服从对数正态分布。dSdtdzS SttS SS 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程四、证券

16、价格的变化过程v证券价格证券价格S遵循伊藤过程：遵循伊藤过程：v衍生证券的价格衍生证券的价格G是证券价格是证券价格S和时间和时间t的函数，的函数，G(x,t)将遵循如下过程：将遵循如下过程：其中，其中，dz是一个标准布朗运动是一个标准布朗运动vG遵循伊藤过程：遵循伊藤过程：漂移率：漂移率： 方差率：方差率：伊藤引理伊藤引理 ( Ito Lemma )dSSdtSdz 22222()1GGGGSSSStSdGdtdSz 222212GGGSSStSGSS 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程五、证券价格自然对数变化过程v令令G=lnS，v根据伊藤引理：根

17、据伊藤引理：22221()2GGGGdGSSdtSdzStSS 22211,0GGGSSSSt 2()2dGdtdz 这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 和和恒定的方差率恒定的方差率 。 在任意时间长度在任意时间长度T之后，之后，G的变化的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分仍然服从正态分布，均值为布，均值为 ，方差为，方差为 ，标准差为，标准差为 ，和，和时间长度平方根成正比。时间长度平方根成正比。22 2 2()()2Tt 2()Tt Tt 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程五、证券价格

18、自然对数变化过程从以上分析，可得知：从以上分析，可得知：v几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。令令t时刻时刻G的值为的值为lnS，T时刻时刻G的值为的值为lnST，其中，其中S表示表示t时刻的时刻的证券价格，证券价格，ST表示表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在时刻（将来时刻）的证券价格，则在Tt期间期间G的变化为：的变化为：即：即：v证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分布布v可知：可知：( )( )lnlnTG TG tSS 22lnln()(),TSSTtTt 22ln

19、()()ln,TSTtSTt T-tE(Se()TS T-tT-tVar(S ee222()()1TS 第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程五、证券价格自然对数变化过程例：例：v设设A股票的现价股票的现价50元，预期收益率为每年元，预期收益率为每年18%，波，波动率为每年动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动，该股票价格遵循几何布朗运动，且该股在且该股在6个月内不付红利，请问该股个月内不付红利，请问该股6个月后的个月后的价格价格ST的概率分布如何？的概率分布如何？22ln()()ln,TSTtSTt 第六章第六章 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型

20、舒尔斯期权定价模型第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母第四节第四节 B-S公式的实证研究和应用公式的实证研究和应用第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、布莱克一、布莱克-舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程假设：假设：v证券价格遵循几何布朗运动，即证券价格遵循几何布朗运动，即 和和 为常数为常数v允许卖空标的证券允许卖空标的证券v没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的v在衍生证券有效期内标的证券没

21、有现金收益支付在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付v不存在无风险套利机会不存在无风险套利机会v证券交易是连续的，价格变动也是连续的证券交易是连续的，价格变动也是连续的v在衍生证券有效期内，无风险利率在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数为常数 第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、布莱克一、布莱克-舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程v由于证券价格由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：遵循几何布朗运动，因此有：v其在一个小的时间间隔其在一个小的时间间隔 中，中，S的变化值的变化值 为为:v设设f是依赖于是依赖于S的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f一定是一定

22、是S和和t的函的函数，根据伊藤引理可得：数，根据伊藤引理可得：v在一个小的时间间隔中，在一个小的时间间隔中，f的变化值的变化值 为为dSSdtSdz t S SS tS z 22221()2ffffdfSSdtSdzStSS 22221()2fffffSStS zStSS f 从以上分析可得：从以上分析可得：v构建组合构建组合 :包含一单位衍生证券空头和包含一单位衍生证券空头和 单位单位标的证券多头标的证券多头SS tzS 22221()2fffffSStSStSSz zt fS ffSS t ffSS 22221()2ffSttS rt 222212fffrSSrftSS 2222102ff

23、frSSrftSS 布莱克布莱克-舒尔斯偏微分方程舒尔斯偏微分方程第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、布莱克一、布莱克-舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程风险中性定价原理：风险中性定价原理：v根据根据BS微分方程微分方程f(S,t,r,)，影响衍生证券的价值的是客观，影响衍生证券的价值的是客观因素：标的资产当前市价因素：标的资产当前市价(S)、时间、时间(t)、证券价格的波动率、证券价格的波动率()和无风险利率和无风险利率(r)。v反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率，对，对衍生产品的价值不会产生影响。衍生产品的

24、价值不会产生影响。v假设：假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。v风险中性定价的一般程序：风险中性定价的一般程序：所有资产的预期收益率都等于无风险利率所有资产的预期收益率都等于无风险利率确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值把期望值按无风险利率贴现把期望值按无风险利率贴现第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、布莱克一、布莱克-舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：v边界条件：边界条件：TTfS

25、K()()()()()()()()()r TtTr Ttr TtTr Ttr Ttr Ttr TtfeE SKeE SeKeSeeKSeK 第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型二、布莱克二、布莱克-舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式v股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代取代，即：即：v在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：时刻）的期望值为： 表示风险中性条件下的期望值表示风险中性条件下的期望值v欧式看涨期权的价格欧式看涨期权的价格

26、c等于将该期望值按无风险利等于将该期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：率进行贴现后的现值，即： max(,0)TESX E()max(,0)r T tTceESX2lnln()(),2TSSTtTrt 第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型二、布莱克二、布莱克-舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式v无收益资产欧式看涨期权的定价公式：无收益资产欧式看涨期权的定价公式： ()12()()r T tcSN dXeN d21ln(/)()()2S XrTtdTt 221ln(/)()()2S XrTtddTtTt N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数为标准正态分布

27、变量的累计概率分布函数 根据标准正态分布函数特性，有根据标准正态分布函数特性，有N(-x) + N(x) = 1第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型二、布莱克二、布莱克-舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式对对BS公式的理解公式的理解 N(d2)是风险中性下，是风险中性下，ST大于大于X的概率，即欧式买权被执行的的概率，即欧式买权被执行的概率概率 X的风险中性期望值的现值：的风险中性期望值的现值： ST的风险中性期望值的现值：的风险中性期望值的现值：()2()r TtXeN d ()11()()r T tTSN dS eN d =N(d1)是复制股票的数量，是复制股

28、票的数量，SN(d1)是股票的市值。是股票的市值。 是复制负债的价值是复制负债的价值()2()r T tXeN d ()12()()r T tcSN dXeN d第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型二、布莱克二、布莱克-舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式对对BS公式的理解公式的理解-波动率波动率 历史波动率：通过历史数据计算出的波动率历史波动率：通过历史数据计算出的波动率期权定价模型期权定价模型f(S,X,r,t)期权价值期权价值标的资产价格标的资产价格 隐含波动率：根据期权的市场价格，通过隐含波动率：根据期权的市场价格，通过BS公式反向计算得公式反向计算得到的波

29、动率到的波动率执执 行行 价价 格格到到 期期 日日波波 动动 率率利利 率率期权价格期权价格台湾市场股指与波动率的关系第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展无收益资产欧式看跌期权的定价公式无收益资产欧式看跌期权的定价公式根据欧式买权和卖权之间的平价关系，可以得到无收根据欧式买权和卖权之间的平价关系，可以得到无收益资产欧式卖权的定价公式：益资产欧式卖权的定价公式：()21()()r T tpXeNdSNd ()r T tpcXeS()12()()r T tcSN dXeN d第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型

30、舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展无收益资产美式看涨期权的定价公式无收益资产美式看涨期权的定价公式()12()()r T tCcSN dXeN d 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此是不合理的，因此C=c 无收益资产美式看涨期权的定价公式是：无收益资产美式看涨期权的定价公式是： 在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分：在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分期权有效期内已知现金收益的现值部分一个有风险部分一个有风险部分当期权到期时，现金收益部分

31、的现值将由于标的资产当期权到期时，现金收益部分的现值将由于标的资产支付现金收益而消失。支付现金收益而消失。因此，因此，BS公式中的公式中的S应该表示为有风险部分的证券价应该表示为有风险部分的证券价格、格、表示风险部分遵循随机过程的波动率表示风险部分遵循随机过程的波动率第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展有收益资产欧式期权有收益资产欧式期权-1 当标的证券已知收益的现值为当标的证券已知收益的现值为I时，用时，用(S-I)代替代替S:第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本

32、扩展定价公式的基本扩展有收益资产欧式期权有收益资产欧式期权-2 当标的证券的收益为连续复利计的固定收益率当标的证券的收益为连续复利计的固定收益率q时时:()12()()()r T tcSI N dXeN d()()12()()q T tr T tcSeN dXeN d()21() () ()r T tpXeNdSI Nd 21ln(/)()()2rqS XTtdTt 21ddTt 股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率的无风险利率欧式期货期权可以看作一个

33、支付连续红利率为欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资的资产的欧式期权产的欧式期权第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展有收益资产欧式期权有收益资产欧式期权-3()12()()r T tceFN dXN d()21()()r T tpeXNdFNd 21ln(/)(/2)()F XTtdTt21ddTt例：例：求求6个月期协议价格为个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式买权价格的英镑欧式买权价格假设当前英镑的即期汇率为假设当前英镑的即期汇率为$1.5000美国的无风险连续复利年利率为美国的无风险连续复利年利率为

34、7%，英国的无风险连续复利，英国的无风险连续复利年利率为年利率为10%英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展有收益资产欧式期权有收益资产欧式期权-4解答：解答：由于英镑会产生无风险收益，相当于支付一直收益由于英镑会产生无风险收益，相当于支付一直收益率为率为10%的资产，令的资产，令S=1.5000e-10%0.5，可得，可得()()120.1 0.50.07 0.512120.1 0.5121()()1.5000()1.5000()1.4268

35、()1.4484()0.0305ln(1.5000/1.5000)(0.070.01 / 2)0.50.10.50.050.03750.17680.07070q Ttr TtcSeN dXeN deN deN dN dN dedddTt .17680.10.50.2475 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能。当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能。 布莱克提出了一种近似处理方法：先确定提前执行美式看涨布莱克提出了一种近似处理方法：先确定提前执行美式看涨期权是否合理。期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若不合理，则按欧式期权处理；若在若在tn提前执行有可能是合理

36、，则要分别计算在提前执行有可能是合理，则要分别计算在T时刻和时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。大者作为美式期权的价格。第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展有收益资产美式看涨期权有收益资产美式看涨期权-1例：例： 假设一种假设一种1年期的美式股票看涨期权年期的美式股票看涨期权标的股票在标的股票在5个月和个月和11个月后各有一个除权日，每个个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为除权日的红利期望值为1.0元元标的股票当前的

37、市价为标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为元，期权协议价格为50元元标的股票波动率为每年标的股票波动率为每年30%无风险连续复利年利率为无风险连续复利年利率为10%求该期权的价值。求该期权的价值。第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展有收益资产美式看涨期权有收益资产美式看涨期权-2第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型三、三、BS定价公式的基本扩展定价公式的基本扩展美式看跌期权美式看跌期权无论标的资产有无收益，美式看跌期权都无论标的资产有无收益，美式看跌期权都有提前执行的可能，而且与其对应

38、的看涨期有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。通过数值方法来求美式看跌期权的价值。()r T tSXCPSXe 第六章第六章 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母第四节第四节 B-S公式的实证研究和应用公式的实证研究和应用第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母v期权敏感性因素：影响期权价值

39、变化的参数，通期权敏感性因素：影响期权价值变化的参数，通常用希腊字母表示，常称为常用希腊字母表示，常称为“Greeks 指标指标”。v影响期权价值的因素：标的资产市场价格影响期权价值的因素：标的资产市场价格St、执、执行价格行价格X、无风险利率日、有效期、无风险利率日、有效期T-t，标的资产，标的资产价格的波动率价格的波动率。v目的：了解期权的风险特征，把握期权的投资和目的：了解期权的风险特征，把握期权的投资和套期保值的策略，以及期权交易的风险管理。套期保值的策略，以及期权交易的风险管理。( , ,)ff S TtXr 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母vDelta用于衡量

40、衍生证券价格对标的资产价格变动的敏用于衡量衍生证券价格对标的资产价格变动的敏感度，它等于衍生证券价格变化与标的资产价格变化的感度，它等于衍生证券价格变化与标的资产价格变化的比率。比率。v无收益资产看涨期权的无收益资产看涨期权的Delta值为：值为： v无收益资产欧式看跌期权的无收益资产欧式看跌期权的Delta值为：值为： Delta()标的资产价格标的资产价格S对期权价值的影响对期权价值的影响fS 1()N d 11()()1NdN d 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母证券组合的证券组合的Delta值与值与Delta中性状态中性状态v当证券组合中含有标的资产和该标的资产的

41、各种衍生证当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证券时，该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的券时，该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的总和总和 v由于标的资产和衍生证券可取多头或空头，因此其值可由于标的资产和衍生证券可取多头或空头，因此其值可正可负，这样，若组合内标的资产和衍生证券数量配合正可负，这样，若组合内标的资产和衍生证券数量配合适当的说，整个组合的值就可能等于适当的说，整个组合的值就可能等于0。v值为值为0的证券组合处于的证券组合处于Delta中性状态。中性状态。 Delta()1niiiw 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母vGamma用于衡量

42、该证券的用于衡量该证券的Delta值对标的资产价格值对标的资产价格变化的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价变化的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格的二阶偏导数，也等于衍生证券的格的二阶偏导数，也等于衍生证券的Delta对标的资对标的资产价格的一阶偏导数。产价格的一阶偏导数。v无收益资产看涨期权和欧式看跌期权：无收益资产看涨期权和欧式看跌期权： Gamma()标的资产价格标的资产价格S对对Delta的影响的影响22fSS 210.52 ()deSTt 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母v证券组合的证券组合的Gamma值就等于组合内各种衍生证券值的值就等于组合内各种衍

43、生证券值的总和：总和：vGamma值为零的证券组合处于值为零的证券组合处于Gamma中性状态。中性状态。v证券组合的证券组合的Gamma值可用于衡量中性保值法的保值误值可用于衡量中性保值法的保值误差。差。这是因为期权的这是因为期权的Gamma值仅仅衡量标的资产价格值仅仅衡量标的资产价格S微小变动微小变动时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产价格的关系曲时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产价格的关系曲线是一条曲线（非线性关系），因此当线是一条曲线（非线性关系），因此当S变动量较大时，用变动量较大时，用估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有估计出的期权价格的变动量与期权价格的实

44、际变动量就会有偏差。偏差。 Gamma()1niiiw 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母v衍生证券的衍生证券的Theta用于衡量衍生证券价格对时用于衡量衍生证券价格对时间变化的敏感度，它等于衍生证券价格对时间变化的敏感度，它等于衍生证券价格对时间间t的偏导数：的偏导数：v无收益资产看涨期权：无收益资产看涨期权： Theta()期权到期时间变化对期间价值的影响期权到期时间变化对期间价值的影响ft 210.5()2()22()dr TtSerXeN dTt 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母v无收益资产的衍生证券价格无收益资产的衍生证券价格f必须满足必须满

45、足BS微分微分方程：方程： Delta、Gamma、Theta之间的关系之间的关系222212fffrSSrftSS 2212rSSrf 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母vVega用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格波的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格波动率的偏导数，即动率的偏导数，即 v当我们调整期权头寸使证券组合处于当我们调整期权头寸使证券组合处于 中性状态时，中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的新期权头寸会同时改变证券组合的 值，因此，若值，因此，若套期保值者要使证券

46、组合同时达到套期保值者要使证券组合同时达到 中性和中性和 中性，中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。至少要使用同一标的资产的两种期权。 Vega()波动率变化对期权价值的影响波动率变化对期权价值的影响f 第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母v衍生证券的衍生证券的RHO用于衡量衍生证券价格对利用于衡量衍生证券价格对利率变化的敏感度，它等于衍生证券价格对利率变化的敏感度，它等于衍生证券价格对利率的偏导数：率的偏导数：v标的资产的标的资产的rho值为值为0。因此我们可以通过改。因此我们可以通过改变期权或期货头寸来使证券组合处于变期权或期货头寸来使证券组合处于rho中性中性状态。

47、状态。 Rho()利率变化对期权价值的影响利率变化对期权价值的影响frhor 第六章第六章 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第一节第一节 证券价格的变化过程证券价格的变化过程第二节第二节 布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型第三节第三节 期权定价中的希腊字母期权定价中的希腊字母第四节第四节 B-S公式的实证研究和应用公式的实证研究和应用第四节第四节 B-S模型的实证研究和应用模型的实证研究和应用一、一、B-S模型的实证研究模型的实证研究v对于精确度问题，我们可以运用对于精确度问题，我们可以运用B-S期权定期权定价公式计算出期权价格的理论值，然后与市价公式计算出期

48、权价格的理论值，然后与市场上的期权价格进行比较。发现：场上的期权价格进行比较。发现：倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格；高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格；改变波动率的估计的方式会提高改变波动率的估计的方式会提高B-S期权定价公期权定价公式在预测实际价格时的表现。式在预测实际价格时的表现。第四节第四节 B-S模型的实证研究和应用模型的实证研究和应用一、一、B-S模型的实证研究模型的实证研究B-S公式的缺陷：公式的缺陷：v交易成本的假设；交易成本的假设；v波动率为常数的假设；波动率为常数的假设；v不确定的参数；不确定的参数；v资产价格的连续变动资产价格的连续变动 交易成本交易成本v规模效应和交易成本差异化规模