二次函数中存在性问题(含复习资料解析)

1、2018年8月4日初中数学试卷、综合题(共9题；共135分)21.如图所不，抛物线 y=ax+bx+c的顶点为M ( - 2, - 4),与x轴父于A、B两点，且A ( - 6, 0),与y轴父于 点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)求 ABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由.2. (2017?乌鲁木齐)如图，抛物线 y=ax2+bx+c (awQ与直线y=x+1相交于A ( - 1, 0) , B (4, m)两点，且抛物(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P

2、作直线PD)±x轴于点D,交直线AB于点E. 当PE=2ED时，求P点坐标； 是否存在点P使4BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.y=ax2+bx+c (awQ的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D,点B的坐标为(3,3. (2017?赤峰)如图，二次函数(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;(2)点P是直线BD上的一个动点，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点 M,当点P在第一象限时，求线段 PM长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使4BDQ中BD边上的高为2 j- ?若存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由.4. (20

3、17?广元)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (- 3,0), B (-2,3) , C (0,3),其顶点为 D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求 m的值；(3)若P是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求 4APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点 E作EF/ ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由.5. (2017?巴中)如图，已知两直线 1i , l2分别经过点A (1, 0),点B ( - 3,

4、 0),且两条直线相交于 y轴的正 半轴上的点C,当点C的坐标为(0,的)时，恰好有1i112 ,经过点A, B, C的抛物线的对称轴与 h、吼x轴分别交于点 G、E、F, D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数解析式；(2)试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；(3)若直线12绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M,当4MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标.6. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (awQ的对称轴为直线 x=- 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3)两点，与x轴 交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线 BC和抛物线的解析式；(

5、2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点 M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=- 1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点 P的坐标.7. 如图，抛物线y=ax2+bx+c (aw。与x轴相交于A (- 1, 0) , B (3, 0),与y轴交于点C (0, 3)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当4BCP面积最大时，求点 P的坐标；(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q,使以点B, C, D, Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由

6、.28. (2017?临沂)如图，抛物线y=ax+bx-3经过点A(2, - 3),与x轴负半轴交于点 B,与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且/ BDO=/ BAC,求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点 N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.16 / 16答案解析部分一、综合题1.【答案】(1)解：设此函数的解析式为y=a (x+h) 2+k,.函数图象顶点为 M ( - 2, - 4),y=a (x+2) 2-4,又函数图象经过点 A ( -

7、6, 0),0=a (- 6+2) 2-4解得a=, -4，此函数的解析式为 y= 1r (x+2) 2-4,即y= 1r x2+x-3; (2)解：二,点C是函数y= x x2+x-3的图象与y轴的交点, 4.二点C的坐标是(0, - 3),又当 y=0 时，有 y= 1r x2+x- 3=0,一4解得 xi = - 6, x2=2,，点B的坐标是(2,0),则 S/abc= I |AB|?|OC|= X 8X3=12-"1i(3)解：假设存在这样的点，过点P作P已x轴于点E,交AC于点F.设 E (x, 0),则 P (x, : x2+x3),设直线AC的解析式为y=kx+b,.

8、直线 AC过点 A (- 6, 0) , C (0, 3),f-ft+i=O解得产一；1 -3 = fefe=-3，直线AC的解析式为y=- x x-3, I，点F的坐标为F (x, - x x-3), - 1则|PF|= 一x3 (.x2+x3) = -tx2-xx,144iS»AapcfSx apf+Sa CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|1 1=|PF|?|OA|= ,(- x - j x)X6= j x2 - jx=- j(x+3) 2+好, 1I414144当x=-3时，Saapc有最大值 北,4此时点P的坐标是P ( -3, - 1S ).4【考点】二次函数的

9、应用【解析】【分析】(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；(2)易求得点 日C的坐标，即可求得OC的长，即可求得 4ABC的面积，即可解题；(3)作PE± x轴于点E,交AC于点F,可将4APC的面积转化 为4AFP和4CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E (x, 0),则可用x来表示4APC的面积，得到关于 x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即 可解题.2 .【答案】(1)解：二点B (4, m)在直线y=x+1上， m=4+1=5,B (4, 5),把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可

10、得a-bic = ，解得口=_，(16a+4Hc = 5(6 = 425a + 5b + c = 0 c= 5，抛物线解析式为 y=-x2+4x+5(2)解：设 P (x, x2+4x+5),则 E (x, x+1) , D (x, 0),贝U PE=| x2+4x+5 (x+1) |=| - x2+3x+4| , DE=|x+1| , PE=2ED| -x2+3x+4|=2|x+1| ,当-x2+3x+4=2 (x+1)时，解得x=- 1或x=2,但当x=- 1时，P与A重合不合题意，舍去， P (2, 9)；当-x2+3x+4=-2 (x+1)时，解得x= T 或x=6,但当x=- 1时，

11、P与A重合不合题意，舍去， P (6, 7);综上可知P点坐标为(2, 9)或(6, - 7);设 P (x, x2+4x+5),贝U E (x, x+1)，且 B (4, 5) , C (5, 0),BE= , = |x 4| , CE= , = , BC=,x- +(x + i-5y 谊 11 届一5尸 + & +以 -眠+ 26 -sy +(5-oy当 BEC为等腰三角形时，贝U有 BE=CE BE=BC或CE=BC三种情况,当BE=CE时，则 广|x -4|= ,解得x=.，此时P点坐标为(.，中)；近 的一- &C + 2622 之当BE=BC时，贝Uj,解得x=4+

12、 或x=4 -,此时P点坐标为(4+ , - 4 Vmvl3 V13V13V138)当CE=BC寸，贝U=,解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时依:-肘+ 26V26点坐标为(0, 5);综上可知存在满足条件的点P,其坐标为8)或(0, 5)【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)由直线解析式可求得 B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解 析式；(2) 可设出P点坐标，则可表示出 E D的坐标，从而可表示出 PE和ED的长，由条件可知到关于 P点 坐标的方程，则可求得 P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出

13、 BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得 到关于E点坐标的方程，可求得 E点坐标，则可求得 P点坐标.3.【答案】(1)解：二抛物线的顶点 C的坐标为(1,4), 可设抛物线解析式为 y=a (x- 1) 2+4, ,点B (3, 0)在该抛物线的图象上，0=a (3 1) 2+4,解得 a=-1,，抛物线解析式为 y=- (x-1) 2+4,即y=- x2+2x+3, 点D在y轴上，令x=0可彳导y=3, .D点坐标为(0, 3), 可设直线BD解析式为y=kx+3,把B点坐标代入可得 3k+3=0,解得k= - 1, 直线BD解析式为y= - x+3(2)解：设 P点横坐标为 m (

14、m>0),则 P (m, - m+3) , M (m, - m2+2m+3),- PM= - m2+2m+3 - (- m+3) = - m2+3m= - (m- 口)2+ g ,当m=时，PM有最大值g -1 4(3)解：如图，过 Q作QG/ y轴交BD于点G,交x轴于点E,彳QHLBD于H,设 Q (x, x2+2x+3),则 G (x, x+3), .QG=| x2+2x+3 (x+3) |=| - x2+3x| , BOD是等腰直角三角形，/ DBO=45 ,/ HGQ=/ BGE=45 ,当ABDQ中BD边上的高为2 _时，即QH=HG=2 _ ,盘显QG=广"广=4

15、, 位位 | - x2+3x|=4 ,当-x2+3x=4时，4=9-16<0,方程无实数根，当W+3x= 4 时，解得 x=- 1 或 x=4,Q (- 1, 0)或(4, - 5),综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(-1 , 0)或(4, - 5)【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD解析式；(2)设出P点坐标，从而可表示出 PM的长度，利用二次函数的性质可求得 其最大彳1; ( 3)过Q作QG/ y轴，交BD于点G,过Q和QHXBDT H,

16、可设出Q点坐标，表示出 QG的长度， 由条件可证得4DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得 Q点坐标.4.【答案】(1)解：将A, B, C点的坐标代入解析式，得(te-2h+c=3c = 3解得”7 ，4 = -2c= 3抛物线的解析式为 y=-x2- 2x+3(2)解：配方，得y=- (x+1) 2+4,顶点D的坐标为(-1, 4) 作B点关于直线x=1的对称点B',如图1,则 B' (4, 3),由(1)得 D ( - 1, 4),可求出直线DB的函数关系式为y=- 1r x+ 了，1 L55当M (1, m)在直线 DN上时，MN+MD的值最小,则

17、m=- j X1 + ：； = «AC的解析式为 y=x+3,设 P (m, - m2-2m+3) , E (m, m+3), PE=- m2-2m+3 - (m+3) =- m2- 3mSa apc= PE?|xa|= :(- m2-3m)X 3= :(m+ ：) 2+ 蜀,一 1 I1 I E当m=- 1时，APC的面积的最大值是 1 £(4)解：由(1)、 ( 2)得 D ( 1, 4) , N ( 1, 2)点E在直线AC上，设E (x, x+3),当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F (x, -x2-2x+3), EF=DN一x2-2x+3 - (x+3)

18、=4- 2=2,解得，x=-2或x=- 1 (舍去)，则点E的坐标为：(-2, 1).当点E在线段AC （或CA）延长线上时，点 F在点E下方，则F （x, -x2-2x+3）, EF=DN,(x+3) - (- x2 - 2x+3) =2,即点E的坐标为：（ 一， 一）或（4 而：+Vi；综上可得满足条件的点E为E （ - 2, 1）或：（ 一， 一）或（ 一， 一）【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案 .（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B'

19、,连接B' D B'四直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出 m的值.PE的长，根据三角形的面积,（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得 可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案点F在点E上方； 当点E再线段AC（或CA） x的方程，继而求出点 E的坐标.（4）设出点E的坐标，分情况讨论； 当点E再线段AC上时, 延长线上时，点 F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于5.【答案】（1）解:设抛物线的函数解析式为点 A (1, 0),点B ( - 3, 0),点 C (0,_ 2, 一 y=ax +bx+c.与）在抛物线上,抛物线的函

20、数解析式为y=一x2一浦 x+（2）解：DG=DE理由如下:设直线li的解析式为y=kix+bi将 A (1, 0) , C (0,的)代入，解得y=-.设直线12的解析式为y=k2x+b2将 B ( - 3, 0) , C (0,有）代入，解得y= x+ -.抛物线与x轴的交点为A (1, 0) , B ( - 3, 0),，抛物线的对称轴为直线 x=- 1, 又点G、D、E均在对称轴上，G ( 1, 2) , D ( 1,),E ( 1,),DG=DE;(3)解：若直线V3幽型l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M,当4MCG为等腰三角形时，分三种情况:以G为圆心,GC为半径画弧交抛物

21、线于点M1、C,点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为(-2,以C为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3 ,点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与Mi重合; 作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5 ,点M4与点D重合，点D的坐标为(-1, 小)，M5与Mi重合;综上所述，满足条件的点 M只有两个，其坐标分别为(- 2，的)【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二 次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c.分另1J将A (1, 0) ,

22、B ( - 3, 0) , C (0,点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式(2) DG=DE.分别求出过 A (1, 0) , C (0, 3 )两点的直线l1的解析式为y=- 的x+ 的;过 B (-3, 0),c(0, 3)两点的直线i2的解析式为y=gx+仃；由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.(3)若直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M,当4MCG为等腰三角形时,分三种情况:以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点 M1 (-2,怖)；以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3; 作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5.(1)解：

23、依题意得:解之得:，抛物线解析式为y=-x2-2x+3:对称轴为x=-1,且抛物线经过 A (1, 0),把 B (-3, 0)、C (0, 3)分别代入直线 y=mx+n,得，-3机 + *=0 ',n 二 3M二1ti = 3，直线y=mx+n的解析式为y=x+3(2)解：设直线 BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得，y=2,M (-1, 2),即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时 M的坐标为(-1, 2) (3)解：如图：设 P (-1, t),又. B (-3, 0) , C (0, 3),BC2=18, PB2= (

24、-1+3) 2+t2=4+t2 ,PC2= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,若点B为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10 解之得：t=-2 ；若点C为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t 2 解之得：t=4, 若点P为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18 解之得：t1=,t2= if ;22综上所述P的坐标为(-1, -2)或(-1 , 4)或(-1 , 1) 或(-1 , ").T T【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题【解析】【分析】先把

25、点 A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可彳导a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a, b, c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出 m和n的值即可得到直线解析式；设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点 M 坐标；设 P(-1,t),又因为 B (-3,0) , C (0, 3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1) 2+ (t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出

26、符合题意t值即可求出点P的坐标.7 .【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a (x+1) (x-3),把 C (0, 3)代入得 a?1? (- 3) =3,解得 a=- 1,把 B (3, 0) , C (0, 3)代入得所以抛物线解析式为 y=- (x+1) (x-3),即y=-x2+2x+3 (2)解：设直线 BC的解析式为y=kx+m,3k+m = 0 '解得卜二-1 'm = 3m= 3所以直线BC的解析式为y= - x+3, 作PM / y轴交BC于M ,如图1,设 P (x, - x2+2x+3) , (0vxv3),贝U M (x, - x+3), PM=-x

27、2+2x+3- (-x+3) =-x2+3x,1 1 S*A pcB= ?3?PM= - xx + g=- :(x- ?) + "-, 22212 f当x=:时，ABCP的面积最大，此时 P点坐标为(：，1$) 抛物线的对称轴为直线 x=1,(3)解：如图2,当四边形BCDQ为平行四边形，设 D (1, a),则Q (4, a-3),把 Q (4, a- 3)代入 y= -x2+2x+3 得 a 3=16+8+3,解得 a=- 2,.Q (4, - 5)；当四边形BCQD为平行四边形时，设 D (1, a),则Q ( - 2, 3+a),把 Q (2, 3+a)代入 y=x2+2x+

28、3得 3+a=4 4+3,解得 a=- 8,.Q (- 2, - 5);当四边形BQCD为平行四边形时，设 D (1, a),则Q (2, 3-a),把 Q (2, 3-a)代入 y=-x2+2x+3 得 3-a=-4+4+3,解得 a=0,.Q (2, 3),综上所述，满足条件的 Q点坐标为(4, - 5)或(-2, - 5)或(2, 3).【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)设交点式y=a (x+1) (x-3),然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； (2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=- x+3,作PM/y轴交BC于M,如图1,设P ( x, - x2+2x+3)(0vxv3),则M (x, - x+3),利用三角形面积公式得到，Sapcb= 1 ?3?PM= - ： x2+ ,然后根据二次函数的111性质求解；(3)如图2,分类讨论：当四边形 BCDQ为平行四边形，设 D (1, a),利用点平移的坐标规律得到 (4, a-3),然后把 Q (4, a-3)代入y= - x2+2x+3中求出a即可得到Q点坐标；当四边形 BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行