《平面向量》测试题及答案

1、平面向量、选择题A. AB与AC共线B . DE与CB共线C. AD与AE相等D. AD与BD相等2.下列结论正确的是().1 .在厶ABC中，AB= AC, D, E分别是AB, AC的中点，则().A .向量AB与BA是两平行向量B .若a, b都是单位向量，则 a= bC.若AB = DC，则A, B, C, D四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3 .平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3, 1), B( 1, 3)，若点C满足OC = ： OA + ' OB，其中：，疋R，且:+'= 1,则点C的轨迹方程为(A.3x+ 2y11 =

2、 0C.2x y= 04.已知a、b是非零向量且满足兀A.-B.71B . (x 1) + (y 1) = 5D. x+ 2y 5= 0(a 2b)丄a, (b 2a)丄b,贝U a与b的夹角是(5 :5 .已知四边形 ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A, C)，则AP =(A. X AB + AD ) , X (0,1)B. X AB + BC ),入 (0,C. X AB AD ) , X (0,1)D. X AB BC ), X (0,6. ABC 中,D, E, F分别是AB , BC, AC 的中点，贝U DF =(7.A. EF +若平面向量EDEF DE C. EF

3、 + ADD. EF + AFa与b的夹角为60° | b| = 4, (a+ 2b) (a 3b) = 72,则向量 a的模为C. 6D . 12&点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC OA，则点O是厶ABC的().A .三个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的交点D.三条高的交点9.在四边形ABCD中,AB = a + 2 b, BC = 4a b, C D = 5a 3b,其中a, b不共线,C.三条中线的交点则四边形ABCD为(A 平行四边形B 矩形C.梯形菱形1 0.如图，梯形ABCD中，| AD |= |BC |,

4、 EF / AB / CD则相等向量是A. AD 与 BCB. OA与OBC. AC 与 BDD . EO 与 OF> .二、填空题11 .已知向量 OA = (k, 12) , OB = (4, 5) , OC = ( k, 10)，且 A, B, C 三点共线，则k=.12. 已知向量 a= (x+ 3,x2 3x 4)与 MN 相等，其中 M( 1,3) ,N(1,3)，则 x=13. 已知平面上三点 A, B, C 满足 | AB | = 3, | BC | = 4, | CA | = 5,则 AB BC + BC CA+ CA AB的值等于14. 给定两个向量 a= (3, 4

5、) , b= (2, 1)，且(a + mb)丄(a b)，则实数m等于.15 .已知A, B, C三点不共线，O是厶ABC内的一点，若 OA + OB + OC = 0，贝U O是厶ABC 的16. 设平面内有四边形 ABCD 和点 O, OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,若 a + c= b+ d,则四边形ABCD的形状是 .三、解答题17. 已知点 A（2, 3） , B（5, 4） , C（7, 10），若点 P 满足 AP = AB + 入AC （入 R），试求 入为何值时，点P在第三象限内？18. 如图，已知 ABC, A(7, 8) , B(3, 5)

6、 , C(4, 3) , M, N, D 分别是 AB, AC, BC 的中点，且MN与AD交于F，求DF .A（第18题）19. 如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB, BC的中点，求证：AF丄DE（利用向量证（第19题）20. 已知向量 a = (cos 0, sin 0)，向量b=(彳3 , - 1)，求| 2a b|的最大值.参考答案向.、选择题1 . B解析：如图,AB 与 ACAD与AE不平行,AD与BD共线反2. A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对.若AB = DC ,可能A, B, C, D四点共线，故C不对.两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同,故D也不

7、对.3. D 解析：提示：设 OC = (x, y), OA = (3, 1), OB = ( 1, 3)，、卫 OA = (3、丄:) , ' OB = ( ', 3 -)，又:OA + '- OB = (3: :+ 3 -),n任x = 3a Pn(x, y) = (3a ot+ 3 ,丿门，又+0= 1,由此得到答案为D .y =a + 3P4. B 解析：T (a 2b)丄a, (b 2a)丄b,(a 2b) a = a2 2a b= 0, ( b 2a) b= b2 2a b= 0,1 a2= b2,即 | a| = | b| . | a| 2= 2| a|

8、b| cos 0= 2| a12cos 0.解得 cos 0=.2n a与b的夹角是一.35. A解析：由平行四边形法则，AB + AD = AC，又AB + BC = AC，由 入的范围和向量数乘的长度，氏(0, 1).DF = DE + EF = EF + AF .6. D解析：如图，T AF = DE ,7. C 解析：由(a+ 2b) ( a 3b) = 72，得 a2 a b 6b2 = 72.而| b| = 4, a b= | a| b| cos 60 = 2| a| , |a|2 2| a| 96= 72,解得 | a| = 6.hII & D 解析：由 OA OB =

9、OBOC = OC OA，得 OA OB = OCOA,即 OA ( OC OB) = 0,故BC OA = 0, BC丄OA，同理可证 AC丄OB , O是厶ABC的三条高的交点.9. C 解析： AD = AB + BC + C D = 8a 2b = 2 BC ， AD / BC 且 | AD |工 | BC |. 四边形ABCD为梯形.10. D解析：AD与BC , AC与BD , OA与0B方向都不相同，不是相等向量.二、填空题11. -.解析：A, B, C三点共线等价于 AB , BC共线，3AB = OB OA = (4, 5) (k, 12) = (4 k, 7),BC =

10、OC OB = ( k, 10) (4, 5) = ( k 4, 5),又A, B, C三点共线，25(4 一 k) = 一 7( 一 k一 4)，k= 一 _ .312. 1解析： M( 1, 3) , N(1, 3),MN = (2, 0)，又 a= MN ,x= 1.|X+cos/ CAB =竺= 2解得尸一1或IX 3x 4= 0?= 1 或 x=|ca|13. 25.解析：思路 1：v |AB= 3, |bc = 4 , CA = 5 , ABC为直角三角形且/ABC = 90° ° 即 AB 丄 BC , AB BC = 0 ,AB BC + BC CA + C

11、A AB=BC CA + CA AB- > - * _ |_ 2=CA ( BC + AB ) = ( CA)2 = CA = 25.思路 2：v AB = 3 , |bc = 4 , |CA = 5，/ ABC= 90°,IBCIcos/ BCA=ICA根据数积定义，结合图（右图）知AB BC = 0,BC CA = | BC CA cos/ ACE = 4 x 5 x ( 一 ) = - 16,CA AB =阴 |ab|3cos/ BAD = 3X 5x ( ) = 9.51-N »丄 AB BC + BC CA + CA AB = 0169=- 25.1423

12、.解析：a+ mb= ( 3 + 2m, 4 m), a b= (1, 5).3/ (a+ mb)丄(a b), ( a+ mb) (a b) = (3+ 2m) x 1 + (4 m) x 5= 0= m=23315.答案：重心.解析：如图，以OA , OC为邻边作AOCF交 AC 于点 E,则 OF = OA + OC，又 OA + OC = OB , OF = 2OE = OB . O 是厶 ABC 的重心.16答案：平行四边形.解析：t a+ c= b+ d,. a b= d c,. BA = CD .四边形ABCD为平行四边形.三、解答题17.疋一1.解析：设点 P 的坐标为(x,

13、y)，则 AP = (x, y) (2, 3) = (x 2, y 3).AB + AAC = (5, 4) (2, 3) + 入(7, 10) (2, 3):=(3,1 ) + "5, 7)=(3+ 5 人 1 + 7 ".AP = AB + 入AC ,-(x 2, y 3) = ( 3+ 5入 1 + 7 ".x =5 + 5丸$ =4+7k要使点P在第三象限内，只需号+5丸0彳+7九0解得入V 1.718. DF =(丄,2).4A（第18题）解析：A(7, 8) , B(3, 5) , C(4, 3),AB = ( -4, - 3) , AC = ( 3,

14、 5).又D是BC的中点， AD =丄(AB + AC) = 1( 4 3, 3 5)2 21 7=丄(一7， 8)=(上,4).2 2又M , N分别是AB, AC的中点，F是AD的中点,1 177DF = FD =AD =丄(一-,4)=(上,2).22241119.证明：设 AB = a, AD = b,贝U AF = a+ b, ED = b a. 22(第19题)11121 23AF ED = (a+ b) ( b a) = b a + 一 a b.4又 AB 丄 AD，且 I AB = |AD| , a 2= b2, a b= 0.AF ED = 0,. AF 丄 ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20 .分析：思路 1: 2a b= (2 cos 0 . 3 , 2sin 0+ 1),| 2a b| 2= (2cos 0 3 ) 2+ (2sin 0+ 1) 2= 8+ 4sin 0 4,3 cos 0.n