复变函数与积分变换复习提纲二

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：z=x+iy, x, y是实数，x = Re（z）, y =Im（z）. i2 =1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2 .复数的表示i）模：z = qx2 +y2 ；2）幅角：在z #0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg （z ）（多值函数）；主彳1 arg（ z）是位于（-冗，冗 中的幅角。3 ） arg（z）与arctan y之间的关系如下： xy当 x0, arg z = arctan ；xyy _0,arg z = arctan -当 x0x ;yy 0,arg z = arctan奠x4）三角表示：z =|z（

2、cosH+isinH ）,其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。5）指数表示:z=|zei8,其中a = arg z0（二）复数的运算1 .加减法：若 z1 = k +iy1, z2 = x2 +iy2,则 z1 z2 = （x1 x2 ）+i （y1 y2 ）2 .乘除法：1)若乙=为 +iyI，z2 =x2 +iy2 ,则ZiZ2 =(kx2 -YiY2 )+i (X2Yi +x1y2 )；Zi_Xi+i y_(x1+ iyXX-i y_ x X y4yy X % X. 一 27 二/L 2 i272 Z2X2i % X i y-X12y冰 22x2y一、H一田一igrr2)若 Zi

3、 = Zi eZ2 = Z2 ey,则Z1Z2 = zj|z2 ei(七!五二亘电）Z2|z23 .乘哥与方根1） 若 z = z （cose +isin8） =|z ei,贝U zn =Zn （cos ne +i sin ne）=惘7哨。2）若 z = z （cose +isinO） =|z| ei9,则nL 1f+2knH+2kJ!）7z = z n cos+isin :（k =0,1,2 n-1）（有 n 个相异的值）1n n J（三）复变函数1 .复变函数：w=f（z）,在几何上可以看作把 z平面上的一个点集 D变到w平面上的一个点集 G 的映射.2 .复初等函数1）指数函数：ez =

4、ex （cosy+isin y ）,在z平面处处可导，处处解析；且（ez）=ez。注：ez是以2g为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz =ln z+i（argz + 2kn） （k=0,1,21）（多值函数）；主值：lnz = ln z+iargz。（单值函数）,一， 1.1Lnz的每一个王值分支ln z在除去原点及负实轴的 z平面内处处解析，且（lnz ）=一；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3)乘哥与哥函数：ab =ebLna(a=0)； zb=ebLnz(z00)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（zb j=bzb。iz-iziz-iz4）三角函数

5、:e -ee e , sin z , coszsin z =,cos z =, t gz =,ctgz =2i2cosz sin zsin z,cos z在 z 平面内解析，且 (sin z )= cosz,(cosz )=-sin z注：有界性sin z 1, cosz W1不再成立；（与实函数不同）z-zz-z一一 一，e -ee e4) 双曲函数shz =, chz =；22shz奇函数，chz是偶函数。 shz, chz在z平面内解析，且 （shz ）= chz,（chz ）= shz。（四）解析函数的概念131 .复变函数的导数1)点可导：f zo = limof Zo ；：Z -

6、f Zo.：z2)区域可导：f (Z向区域内点点可导。2.解析函数的概念1)点解析：f (z取Z0及其Z0的邻域内可导,称 f(Z)在Zo点解析;2)区域解析：f (Z产区域内每一点解析，称f ( Z )在区域内解析;3)若f(Z)在4点不解析，称Zo为f(Z)的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件2 .函数可导的充要条件 ：f (z ) = u(x,y )+iv (x, y )在z=x+iy可导u u(x, y 冽v(x,y堆(x, y)可微，且在(x,y )处满足C - D条件:

7、xFx此时,3 .函数解析的充要条件：f (z )=u(x, y )十iv(x, y粒区域内解析u u(x, y评口 v(x,y庭(x,y )在D内可微，且满足 C-R条件:.:u.:x:y此时f (Z尸四+i。 ex ex注意：若u(x,y),v(x, y附区域D具有一阶连续偏导数，则u(x, y ),v(x, y )在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f (Z) =u +iv 一定是可导或解析的。3.函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以f (z)=u(x,y )+iv

8、(x,y评式给出，如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f (Z)是以Z的形式给出，如第二章习题 3)(六)复变函数积分的概念与性质1.复变函数积分的概念:c是光滑曲线。nif(zJdz=nims f(3k_kz1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 .复变函数积分的性质1) f (z )dz = - ,f (z jdz (c,与c的方向相反)；2) cc f (z )+ Pg(z dz =(x f(z)dz+P fg(z )dz,a, P 是常数；ccc3) 若曲线 c由 c1 与 c2连接而成，则 f (z)dz = f (z)dz + ( f (z)dz。3

9、 .复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：f (z)dz= udxvdy+i vdx+udy ;(常用于理论证明)2)参数方法：设曲线c： z=z(t ) (a wt E P),其中ot对应曲线c的起点，P对应曲线c的终点,P则 f (z )dz= f fz(t z(t)dt。 c- ：(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f (z )在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则底 f z dz = 0c2 .复合闭路定理：设f(z )在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，G,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以G，c2，cn为边界的区域

10、全含于 D内，则nNrf (z)dz =工Nf (z)dz,其中c与ck均取正向； cckBrf(z)dz = 0,其中由c及c“(k=1,2，n)所组成的复合闭路。 r3 .闭路变形原理 ：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z )不解析的奇点。4 .解析函数沿非闭曲线的积分 ：设f(z )在单连域B内解析，G(z)为f(z )在B内的一个原函数，Z2则 f zdz=G Z2 -G z(Zi，Z2 B)说明：解析函数f(Z册非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f (z )在

11、区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于 D ,Zo为c内任意一点，则 z f(z)dz=2肃if (z。) c z - zo6 .高阶导数公式：解析函数f (z )的导数仍为解析函数，它的n阶导数为f z2二i . n尸dz = r fzo(n=1,2 )c(z-zo) n!其中c为f (z )的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于7 .重要结论:12 二 i,n = 0一 . .而1一z dz = 。( c是包含a的任意正向简单闭曲线)c (z-a)n10,n=o8.复变函数积分的计算方法1)若f(z枝区域D内处处不解析，用一般积分法f(z)

12、dz = J fz(tjz,(t)dt cJ.2)设f (z近区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理,c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有z2f z dz= f z dz = F z2 -F 乙cz13)设f (z肝区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点:W f(z %z = 2n i f (zo ) cz-zo. f(z)2i7+dz =、c(z-zo)(f(z)在c内解析) f n zo曲线c内有多于一个奇点:N f (z )dz =可f (z )dz ( g内只有一个奇点zk)Resf(z),zk(留数基本定理)若被积函数不能表示成 一f(Z)

13、则须改用第五章留数定理来计算。(z-zo)n1* (八)解析函数与调和函数的关系不做要求二 2：,：2?1.调和函数的概念：若二元实函数 中(x, y)在D内有二阶连续偏导数且满足J + J = 0 ,：:x y中(x, y)为D内的调和函数。2.解析函数与调和函数的关系解析函数f (z )=u +iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轲调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z) = u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。3.已知解析函数 f (z)的实部或虚部，求解析函数f (z)=u+iv的方法。1)偏微分法：若已知实

14、部 u= u(x,y),利用C-R条件，得且，空; 一 ：:y对vL =工两边积分，得v =3dy - g x 二 y 二 x二x(*)再对(*)式两边对x求偏导，得I fdy l+g(x)二 x:x:x(*)由CR条件，二 y.：v/日-：u,得=：x Z史dy +g(x),可求出 g(x);.xex代入(*)式，可求得- u ,虚部v = dy - g xFx2)线积分法：若已知实部=u (x, y ),利用 C-R 条件可得 dv = dx + dy = - - dx + dy , 改：y：yFx故虚部为v =x,yxo，yo -y出 dy c ;.x(xo,yO)与(x,y )是解析区

15、域中由于该积分与路径无关，可选取简单路径(如折线)计算它，其中 的两点。3)不定积分法：若已知实部 u =u(x,y ),根据解析函数的导数公式和 C-R条件得知,u . .:v Fu . .:u f z = - i =-i Fxfy ；:xFy将此式右端表示成 z的函数U （z）由于f z）仍为解析函数，故f （z）= U （z pz + c（ c为实常数）注：若已知虚部 v也可用类似方法求出实部 u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列4 =an +ibn （ n =1,2）收敛于复数a =a+bi的充要条件为liman=a,limbn=b（同时成立）n $ 二n .2）复数列C（

16、n收敛U实数列an, bn同时收敛。2 .复数项级数00cooO1）复数项级数 z ctn（an =an+ibn）收敛的充要条件是级数 z an与工bn同时收敛；n=0n=0n=02）级数收敛的必要条件是 lim an = 0。 n 二注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）哥级数的敛散性00oO1 .哥级数的概念：表达式g孰（2-20）“或 Cnzn为哥级数。 n =0n =02 .哥级数的敛散性QO1 ）哥级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果哥级数 工cnzn在4 #0处收敛，那么对满足n=0z z0的一切z ,级数必发散。2）哥级数的收敛域一圆域哥

17、级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法： 收敛圆的半径称收敛半径。比值法 如果lim 也=八# 0 ,则收敛半径R 1-； n T Cn I,根值法 lim 沟=九# 0 ,则收敛半径 R = 1 ； n 如果人=0 ,则R =必；说明在整个复平面上处处收敛；如果人=8 ,则R =0 ；说明仅在z = z0或z = 0点收敛；qQ注：若哥级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。(如cn cnz2n)n=03.哥级数的性质qQqQ1)代数性质：设工anzn,Z bnz9收敛半径分别为 R与R2,记R = min(电，0 n 0n =

18、0则当z R时，有Z (o(an + Pbn)zn =3 anzn 十bnzn(线性运算)n=0n =0n=0QOoooo(工 anzn)(工 bnzn) = (anb0 +an Jbi +a0bn)zn(乘积运算)n=0n=0n z0cO2)复合性质：设当之r时，f (盯= a、n,当z R时，t = g(z懈析且g(z，r ,n z0oC则当 z R时，fg(z= ang(zn。n =0qQ3)分析运算性质：设备级数 %zn的收敛半径为R#0,则 n =0QO其和函数f (z )=Z anzn是收敛圆内的解析函数； n =00O在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 f (z )= nan

19、zn_1z Rn=0oO在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；f (z )dz =&zn+z R0n=0 n 1(十一)哥函数的泰勒展开1.泰勒展开： 设函数f(z )在圆域z-zj f C、Zo ),于 n!00是 f Z = Cnn=oz - Zo2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。(十二)哥函数的洛朗展开od1 .洛朗级数的概念：z cn(z-zo n ,含正哥项和负哥项。n 二二2 .洛朗展开定理：设函数f (z )在圆环域R z-zj R2内处处解析，C为圆环域内绕 4的任意qQ一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f

20、 (z)=2：- cn(zzo f ，且展开式唯一。n 二3 .解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4 .利用洛朗级数求围线积分：设f (z )在r |z-zo R内解析，c为r zzo| R内的任何一条正向简单闭曲线，则 N f (z dz = 2冗(二。其中 j为f (z)在r z-z)| R内洛朗展开式中C的系数。z-z0说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（z _ Z0）的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义：f （Z在4点不解析，但在Z0的0|z Zo 6内解析。2。孤立奇点的类型：一， 一一，八21）可去奇点：展开式中不含 Z Z0的负哥项；（2）=5+01（2 20）+02（2 4 ） +2）极点：展开式中含有限项 Z-Z0的负哥项；c-m（Z-Zo）mc，m）-严c 12-00 G（Z-Zo） C2（Z-Zo）（z-Zo）g Z（Z-Zo）m，其中 g（Z） = c +cn时,z = a是一的m n级零点； ,z当m n时