复变函数与积分变换苏变萍、陈东立编第一章答案

1、复变函数与积分变换（苏变萍、 陈东立编）第一章答案复变函数与积分变换（苏变萍、陈东立编）复变函数部分习题解答第一篇复变函数第1章复数与复变函数1/1内容要点1 .复数的各种表示法代数表示法：z = %+iy.2 角表小法；6 = r （ cosC + isin 8 ）.指数表7E法：z = rd.3 .K数的代数运算及JI何意义复数的加减法：2 土 Z2 = （%1 ±沏）+ i（yi ± h）复数的乘法；ZZ2 =（町#2 - 丁1，2） +式盯门+#2力）复数的除法：其臂十学吗一产区六。）.Q #2 + ）2A + 了 2定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数

2、乘积的辐角等于 它们福角的和.定理2两个复数商的模等于它们模的商;两个复数商的辐角等于被除数 与除数的辐角差.4 .扩充复平面、平面点集5 .复变函数的概念及其几何意义定义1设是一个给定的复数集，如果有一法则/,对于每一个数zGD, 总有确定的复数卬和它对应.则称:是。上确定的复变数函数（茴称复变函 数）,记作协数集D叫做这个函数的定义域.6 .初等函数的定义及性质7 .2教学要求和学习注意点1.教学要求牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域的概念，理解复变函数的 概念，了解指数函数、对数函数、幕函数和三角函数的定义及它们的主要性质.重点：复数的运算，复变函数的概念.难点：初等函数中的多

3、值函数的理解.2学习注意点(1)下面的证明过程错在何处？题下；证明 若Z1Z2Z3 =0,贝IJ Z建2，上3中至少有一"十为零.证:设Y (A = 1,2,3),则方0和=门r2r3e1 9i 匕*却=0.，二1,2.口中至少有一个为零，金，的中至少有一个为零.答；证明过程的设是错误的，当7 = 0时/不具有指数会达式，正确的证明 为；若的#0,则公与二八勾五)二0，若 z? H。，则G二 zi即；) - 0,故 勺，22，与中至少有一个为0.<2)下面的解题过程错在何处？题目：求瑞的全部单根.解;忐= (23% = 2： = 6也"白士也.答：此解题过程在第二步到

4、第三步的推导时出错了，正确的是：在复数范围内J1(2* 二(23)6 =V2eTJ (A = 0,1,2).在实数范围内(2堀=2*(3)下面的解题过程错在何处？题目：设勤=-1 + i, z2 = - l，i.求 argZjZ2 .解：ArgZf z2 = Ai-g/j + AjfgQ232二+ t + 2kn3417 OJ二五兀 + 2km:,17秋?与司=方7T. 3 答：*.* -it < argz/2大，.，.a宅Z的二苣K 是错误的.7正确答案：由ArgZZ2=-jy+ 2后，得7argzj z2 3一万心-yLrii ( A = 0, ± 1, ± 乙(

5、4)证明：Ca) Ln(i2 ) = ( k + 看)瓶= (b) Lni22Ui.1 1uE； (a) V Ln(i2 ) = iarg(P ) +2 Air 4 7 K-A：K + -r卜，yl-ni = y ( y + 2 左 it) 5 =(L iri, 1.1二 Ln(j2 )-另5 (* = 07±l,土2,).(b) . Lni2 r Ln( - 1) = (2k + 1)疝，2Lni = 2( % + 2&n)i =(4亦 + l)7ri,.Lni2#2Lni.L3释疑解难1 .复方程?+4 +。= 0八0）的求根公式a = 3”中产-/ CI4讹为什么要求不

6、等于0.咨：因为关于复数方根w = z肾即/ = z）的定义中要求笫尹0,若z =0必有口二0 .而，川-4ac为复数方根的形式，因此公式中从-4必/。. 事实上，因为所以/ b $ 4农-心z +而)+F-=6若 d2 -4ac = 0,则，那么，那么2,证明：(a)若 lnz = lnr + ie(，)Ini2 二 21ni;(b)若 Inz = Inr + id( r > 0, 穴 < 夕 < 学五 InP 0 2hu.证：(8)'/ Ini2 = ln( - 1) = id, 21ni = 2(lnl il += nij(b) Ini2 = ln( - 1)

7、= Tti» 21ni = 2(Inlil + *ri) = 5E/. lm221ni.由(a)、(b)可知，辐角主值的定义范围可由复平面上原点引出的任一条射线 为越始边、终边来划分，随之相关的性质也可能发生变化.3 .证明：对任何非零复数治和幻ln( zl z2) = Inzj + ln22 +- 2km ( 4 = 0» ± 1) .证：因为当 Re(M)>0,Re(Z2)>0 时，ln( 2 22)= lnZ + In + 24:i (左=0) .当 Red > 0 或 R"。)>。时，fargz! +argz2> l

8、argz+ aigz? I w h,largzj +± 2n, I argzj +己隹上 I > 兀.In I Z 2工 I = Ini Z| I + In I z2 I ,ln(zz2)=+ biz2 + 2km (左=0, ± 1).当 Re犯)<0且 Re(Z2)V。时,Jargi + argz2昭句 + a %和1 Wtr,arg(ztz2) - ,La但 + arg22 ± 2k, largj +1 > it.nzz2 - In I I + in I 21 ,ln(zj2)=加句 + ln52 + 2及疝 ( = 0, ±1)

9、.综上所述，对任何非零复数有和M都有ln(zj z2) = 11nzi + lnz2 + 2kiu (左=0. ± ),4 .求证：三个复数与，与,均成为等边三角形顶点的必要与充分条件是：Z： + Z刍+Zg 句212+Zj-Zg 4力句.证：三角形Z/2为是等边三角形的必要与充分条件为：向量至绕为旋转 5 或-遂得向量丁丁,即23 Tl=(z2- 2i)ea T或 JJ乃-Zi75、zj-zi1再二才士 n - 不二± it2?"Z22了2一工122两边平方化简得结论.1.4典型例题例1将复数呼一化为三角表示式和指数表示式.解：r *2771 = 1-'

10、JI _"=血，a喀(l - i) = _于，:.二的三角表示式为：cos( - 十isin(-彳。的指数表示式为：eN -1 -T 1例2若(1十尸，试求九的值.解：由(l+i)“ = (l -i)"可得：湍， 8江. nn 君( mr - nirj22 1 cos + ism -屋)=2, cos + ism -j ,nn . - wk nn arc ,sin r = sin - = - - + Zkit.4444则得拉=4左(后为整数).例3判断Im(z)= l是否为区域？答：点集Izllm(z) = 11不是区域.因为此点集的每一个点都不是内点，依照 区域的定义知其

11、不是区域.例4判断lm«)手0是开区域还是闭区域，有界否？答：依平面点集部分有关开区域、闭区域、有界集和无界集的概念,Im(z)>0为无界的开区域,Im=0为Im(z) >0的边界，故I履z)0为无界的闭区域.例5如果复数a + ib是实系数方程的/ + &/"-' + an.j2 +4=0的 根，那么也是它的根.证：因为a0(z)n + 5(5)"" + an=a。( 2")+ 4 j ( z% t ) 4 + 冬 _ 云 + %=a。/ + ajT + + a. iz+ %=o,qz i- az + * + a4

12、_ jz + an =Cl,所以，若z = 4十讪为上述方程的根,则其共扼复数了二a -趣也为方程的根.例6为什么在复数范围内IcoszlslJsinzI1未必总成立？答：设z士”iy,则cosz = cxisjtchy - isinxshy,I cosz I = V（cosxchy）2 + （sinxshy）2=，（1 + sh2y）cos2A； + sin2xshJy=，cos2 x + sh? y .当 shy > 时，有 I cosz I > 1;当 yf 8 时，I cosz I f 8 ,所以，| cosz I w 1 未必 总成立.同理Isinzl wl也未必总成立.

13、例7证明：若z在圆周I z I=2上，那么-不 J j w v.证：；l24-4/ + 3l5： , Iz4-4?I -3|z4| - |4z2| -3 =3,1 I 1,i4-4z2 + 3）例8求（-血吐的所有的根、单根，并说明几何意义.解:所有的方报晨= 而J=标（和加 （及=0,±1,±2,）.单根；方甘，/e兽做若;几何意义：半径为次的圆内接等边三角形的三个顶点.E5习题选解I .1.4 证明：（a- 一一(b产=&.攵（町尹 0,22*0）；（Z3#0,Z4。）.町？24z2（b）红 = （22）| '）=亘.卫.II .5证明：（为+的）“ =

14、Sc-fc4，其中%，如为任意的复数，为正A-0整数.证：当口 = 1时，等式显然成立.设H二小时，(Zj4啦广=XCz人城成立，贝1当沱二加41时， m(勒+为严：(幻+切»*厂3i=0口m=X*产-2 +咨，* :。上区。/»一 1二Z尸+炉+ 'CzF产+以E*«0=”十，(C汐+ cA)d z产A = 0 m-k-zf+ SctrM+, + £二0一产+勿端M+i:+毅V =1rn+1=2Ams2 z2 .k =0故结论成立.1.1.7 证明：(a) z + 3i = 2 - 3i; (b) iz = -近；(c) (2 + i)2 =

15、3 - 4i;(d) (2i+5)(72-i)l =73I2z + 5L证：(a) 2 + 3i = Z + 3i = z - 3i;(b) iz = L-z = - iz;(c) (2+i)> =(有产=(2-i)2 = 3-4i;(d) 1(25 +5)(72- i)l = l&一山25+ 51 =百 +51 =V3l2z + 5L1.1.8 应用数学归纳法证明：当，%:2,3,时， . ' II 1 ' W 1(a) % + Z2+彳Z"=+狈+2/(b)如2'"与=句町/证：(a) ； Z1 4 Z2 =盯 + ±2设

16、引+狈+ 2成=勺+失+ Zg,而 ,一 尸 I 一 一“ """ 一G+攵+ Ze + 4力彳1 =町+Z2 + +焉+ 1=Z1+Z2十+、+2皿+ 1, 二结论成立.(b) Z a=Zj a z2.设/旬1=Z攻，而FlZ1Z2''Z1n.z瓶，1 = 21Z2 - Z 科中 I = *1 /2 7，结论成立.1.1.9 证明：嫄 lzlNlRe(z)l + IIm(z)l.证：丁 a;2 + y25s2l r 11 r I,2(，+ /) + 21 x I I y I + / ,.'.2 I Z |2 弄(I 力 I + I y I

17、 )2 , 75 I 工 I I Rc( z) I + I Im( z) L1.1.10 证明：当孙，与为非零复数时，(a)至一辿.(b)工= z? -.1'Z2Z3 匕1匕1ZJ - 1-二 72 1 * 11 + 1犯 牝 = = 至於1-今 X7 a 证X2(b)11ZU?R I 说 + 以 L I xl + yi lzi II IzJlJ JI证明：当Iz/Hlz/时,不等式成立.证:Lkl2 证明：当 Izl <1 时+<3证：I Im(l - z 4 z2) | = | Im(l - x + iy + x2 - y1 + 2xyi) |=I j + 2 的 Iw

18、iyl + 21411y1买3 ( I z I < 1).1,1J5证明；以沏为中心，R为半径的圆的方程lz-zol = R可以写成; I z 12 2Re(五o) + I z0 12V £，.证；*/ I Z -句 |2 =(4 - 劭)( - 气)=(Z - Z0)G -，0)=X - ZqZ - 2Zq + ZqZq=In|2-(50z + 忘0)+ I I2=z2 - 2Re(z?0) + I zQ12,， 以为为心，R为半径的圆的方程可以写为：I z 12 2Re(应°) + 12012 = R2,1.1.16证明：双曲线/-广税可以写成J卡尸 8 ,双曲线

19、，-尸=1可以写为：? + i2 = 2.1.1.18 就以下各种情况，分别求argz.(a) 2 =;(b) z =-r.;(c)”(J3-i)6.1 +V3i2-2i解：(a) z =一g+喙i,l+73i2227r， arg?二；zkxi11 .3冗arg" 一 1；(c) z = 3-i)6 = 26e6(T"E),. argz = k.14J9利用复数的三角表达式或指数表达式证明：(a) (-l+i)7= -8(l + i); (b) (l+73i)-10 - 2-H(-l+73i).证；(a) ( - 1+i)?=忖贝非+ 2m)笳=-8(l+i);(b) (1

20、 +后)7° = 2-1%(争 Er)'T")=2-久我= 27i( -1 *75i).1.1.20 证明：(a) 1 / 1=1;(b) 丁 =箕访;(c) 6其=/6/一 + 备)(咤2,3,),证：(a) I e" I = I cos3 + isin 1=1;(b) = cos J isinB = cos( - 8) + isin( 一 8)上 e“母；(c) v e%=e"F).设则/=户叫-L则 则eQ= (e巩e-i)e<二屋(+%)以，7e% = £'(4 + +°，(外=2,3,),1.1.21

21、当时，求 Argxr.（a） z - m = 1,2,）；（b） z 二 zf '.解：（a） ,/ z = z；=（，*斗）" 二r话吗， Argz = nArg?i;（b） '/3=zj = （、/】）一,=r1-Argz = - Argzi.1.1.22 证明：若 Re（z。> O,R®（Z2）>0,那么 a%（zz?） = argz| 十鼠碟功 证：二, Re（ zt） > 0, Re（ z2） >0,7t7C 7T打-y < 加gZ < y , - -y < at济2 < y，-TV V argZ +

22、 arg2 < F， arg（ Z &）=组gZi + Mgz2.1.1.23若？iZ2r0,证明：R/（NiZ2）= I司3劭I当且仅当 。1一 32 = 2岳比（A； = 0, ± 1, ± 2,这里仇=Argz1，% =人吆然.证：设 Zj 二 rjei , z2 = r2e,02，贝”Re（z.2）= Re（ r ”八 一%） = .qcosI，-%）,I Z I I I = n2 ,/.当 Re( 2攵2)= I 2 I I g I 时， cos(8 - %) = 1,8t - 62 = 2k穴(A = 0, ± 1, ± 2,.

23、反之，当斯-a=2版时，Re( ZZ2)= I Z I 1年1 ,/.结论成立，1.2,1求下面各复数的所有的方根、单根，并说明几何意义.(a) (2i)h(h) (1-折人(c) (-1)1;(<1) ( -16)1；(e) A;(f) ( -4& + 40i)上解：所有的方根；* = (2各+2小只二岳(-A(jt = 0, ± 1, ±2,).单根：缶机Me"几何意义：半径为血的圆的直径的两端点.(b)所有的，方根：(1-0造=&(c仔+ 2协分11 二企4(If =0, ± l, 士 2,).单根：梃c-凯丑或'.几

24、何意义：半径为式的圆的直径的两端点.(c)所有的方根：(-1)1消)= eb2ir，H， ” =。, ±1, +2,).单根:黄,e?e冕几何盍义：单位圆内接等边三角形的三个顶点.(<1)所有的方根：(-16廿=2ePmD=2/ 7小( = 0, 11, 土 2,).单根：2e机2品2爵,2e茅.几何意义：半径为2的圆内接正四边形的四个顶点.(e)所有的方根：81= (8e，")+=&e丁 (4 =0, ± 1 , 土 2,)，单根：Q 品争，通鲁1 ,存产,/2e招，&爵.几何意义：半径为虎的阿内接正六边形的六个顶点.(0所有的方根；(-4

25、衣+4扬片=2%+20)=2e(孥7)町(左二。，士 1, 士2,).单根：2e甲，2eW,2eB.几何意义：半径为2的圆内接等边三角形的三个顶点.1.2.2 (a)令。为实数，证明：a 一的二次方根为土 米.这里A =滔 + 1 且 a = firg( fl + i).(b)由a)及2( a、1 + cos a . 2/久、1 - cosa讦明:C8 1 1卜一(夏卜一士'We，】=± ( y A + a + I72证：(a) :+七5= ±77J1,A = V a2 + 1, a = arg( a + i)，结论成立，a/ 1 + cos a/ 4 4 a-83

26、 2 =上弋 2-2A ，.a； 1 - cos a, / 月一。5,n 2 = ±42一士7 24 '/.± V Ae2l = 士丁(，4 + * i、/ 力 _ 0v21.2.3 (a)证明,二次方程 az2 + bz + c = 0( a 求报公式是- 6 +、/ 6" - 4aez- 2a '）.w0）当为复常数时的这里y4ac产0.（b）试用（a）的结果求方程z2 + 2z + 1 证：（a）以2 +加 +，= o,4十 4 abz + 4 或=01/. （2az + />）" = 6? - 4。%,一-2aC（h）方程？

27、2 + 2z +（1 T）= 0的根为2+入/4-4（1-1）, rz -2= T +vi1.2.4 设工为非零复数，m = - n （九 （小尸二（证：（2加）-=“尸=阂”=>1.2.5 建立恒等式1 +z + /4,：1 4 co§8 + cos26 + + ccsn = 4-乙提示:关于第一个等式可记S 二 1 一 二个等式可在第一个等式中令证：设 S = 1 + Z4 z?4+，则S - zS = 1 即1 - i) = 0 的根.b2 - 4ac /0)，=-l + e(W，(i=0,l).为负整数)，利用Z=一证明： z-.T T _ f ! - r”v-Tr%同

28、?=1 ： ¥ 1 (n公1),并导出sin ( n -fj 0+ -(0<B<2n).2$in 7r + z? + / ,并考虑S - zS,关于第 13 15若记Z二一，则|1( R 4- I+ e'" + e8 + ' + e1 - e1 - cos( n + 1) - isin ( n + 1) (1 - eosO + i-ne)耳 + 1) 6 + cosrtt?1 + cos9 + cos2J + + cos/近=(1 - cos9 尸 + sin2 32 - 2cosccasnd - cosrtZ?cos6 + sin酒sin，d.

29、2 e48m L2cosW8in - + 2sm7近sm -cos - _L 乙 /彳.2。4sm 21 sin( 4 + J) 8 = 7+r Zsin 彳 乙1.3.2画出以下各种情形相应的闭区域的草图.(a) - rr < argz < k £#0)；(b) IRe(z) I < f zi ;(c) Re( I解：(外带截痕图LL11.1.2)；(d) Re") >0.(#W。)的复平面(图Ll.l); (b)整个复平面(图图LL2(c) (1-1)2 +产。1(图 L1.3)； (d) 1%| > yl(图 1.1.4);1.3.3及S

30、为由1/ <1和lz-21 <1两点集构成的开集，请说明为什么S 不是连通的.解：因为从n = 0到z = 2的任何一条折线都不完全属于5,由“连通”的定义 知，5不是连通的.yy1.4.2求函数g(?) =工十/一(z = # + iy)的定义域,并证明当工> 0" 7 < I时，g ( Z ) = /( 2 ),这里 f(z) = y*-"d£ + iVyM.J °n= 0解：函数g(z)的定义域为：4go且y/L /=a LL+£,"7=。 t二 X ; (X > 0,1 y I < 1),x

31、 I - y.当力 > 0 且 I)I < I 时,z) = g(z),1.4.3 写出函数(z) = ” + z4l 的 /(z) = xt(«,y)+iv(.z, 丁)形式.解：/(z) = ( x + iy尸 + 欠 + iy + 1-x' - 3"y' + % + 1 + i( y + 3/：y - /).1.4.4 设/(z)二42 - / 一2) + i(2x + 2町)，写出 /(z)关于 3 的表达式.解：/(= x2 - y2 4 2$ + Q.xi - 2y = ( + ij)2 + 2i(+ iy)-z2 + 212 .1.

32、5.2 求 z 的值 (a)B*=-2; (b) e2 = 1 +73i; (c) e2j"! = 1.解:(a) v e:2四+呵x - ln2, y = (2k +.*. z = ln2 + (2Zc + 1) nri (4=0,±l,±2-)；(b) v d，"=2e?”21，二. x = ln2, y =(2A + /)n,z = ln2 + ( 2Zf 4- -yj rci (fc=0, ±1, ±2,*);(c) 4/ 2z-i = Lnl=inl+ 2?ri,z =彳 + krci (k = 0, ± 1, &

33、#177;2,，15 3 证明：l/iw*/.证：丫 |/| = /八2中-，/: /+，1.5.4 证明：1广叼<1当且仅当Re(z)o. 证： le-2zl =e2xfJ. 当 RMz)二女 >0 时，Ie.叫 < 1.反之，要想Ie-1 <1,需夕=Re(z)>0.Ie-2zl <1 当且仅当 Re(z)>0.1.5.5 证明：(a) ez =7；(b) e" = e'z 当且仅当 n=Ltt (*=O, ±1, ±2,), 证：(a) /=/-'，= 1 (cosy - isiny) e“ (cos

34、y + isiny ) = ez, (b) / e'z 二 K,炉二 左，- z = z + 2krc,z ;左我 (k - 0, ± 1, ±2,*), 反之，当z = 4底时.eu=eixi = (-l)e"二 e"当且仅当？二夙(氐=0, 土 1，±2,).1.5.6 (a)若为纯虚数，z有什么限制？(b)证明：若 ez 为实数，则 Im(z) = Ejc (*±0,±1,±2,).证：(a)当e'=e*(cosy + isi”)为纯虚数时，cosy = 0,Im(z) =后兀+与 (4 二

35、0, 土 1, * 2,). 乙(b)设 z =，+ iy,则当 £* = eT(cosy + i质ny)为实数时, siny = 0> Im( z)二4次 (A = 0, ± 1, ± 2,).157 证明：(a) ln(l - i) = gln2-米； 乙*T(b) Ln( - 1 4-731) = Ini + 2( * * .i (k =0, t 1, ± 2,), ifli: (a) ln(l -i) = lnv2 i = :n2 ;(b) Ln( - 1 +73i) = Jn2 + iri +2kmJ二ln2 + 2( A + /)id

36、( i = 0, ± 1. ± 2,-1.5.11 证明：若 Re(zj) > 0, Re(z2)0,那么ln与 /2)= Ini + lnz2 证：由 1.1.22 知 Re(Ni)>0,Re(Z2)>0 时,如g(zU2)= argzi + argzi，In I zz2 I = Inlzi I + Ini z? I , inzyz2 =lnlz2l + iarg(z2)=Ini I + Ln I 2 + i(argzj + argz2) =InZ + lnz2 -In I zl I - In I 司 I + iArgi) 一 iArgz2 17 =Lx

37、i Z 一 Lji 2，结论成立.八、/ si 2 (b) ( - 1 ) n = e n "l.1.5,14 证明：当 n = 0, ±1, ±2,时,(a) (1 +i): = e(4+5ei,rl2;证：(a) (l + i)' =户(17=心也*& + 2gD=g(尹触x)J吟(b) ( - 1)n =，-1)= eT1 ("O,，=O, ±1, *2,),1.5.15 求值：(a)(l-i 尸;6)解：(a) (1 . i)4 = e4,Ln(j)h e&Q 版如2痴=e("-8H*2吗 (b)经(-

38、1 -后i)“二/心名-i-技)_ *】("筝+21)1.5.16 由 d =e。必证明；(-1 +731)2 = ±2-/2.证：( - 1 +V3i)l = e如(-】，)=.(血+字+2展)_巳冗皿上仙雷12 =12 及./.等式成立.1.5.17 证明：若zH,g为实数，那么=11nB=lzl;iif .paLriN _ A(Inl 11 m- iotjx + 2xi)F1L» ， U -v,二 1川二/皿” =z1.5.IS令c,d和z(z*O)为复数，若所有的寨均取主值,证明:(a) e = z”。；(b)zc证：(a)/.r-e = ecUe-cr&

39、quot;2=：e0 = b1 .c "MB ,(b)夫”二。415二&+因52 二广 J1.5.19 证明：e" = cosz + isinz,ll q _ 121Z q - ”证：'/ 右边=+ 于一 = e" =左边， 22i等式成立.1.5.20 (f)证明：2sin(为 4 Z2)3in(% - z2) = coGz? - cos2z , 证：” 2sin(zi + Z2)§in zi - z?)-2COf52z2 cos22iA 等式成立.1.5.20中的(a) (e),(g)可类似证之.1521 证明：isinz 产=sin% + si?,、并进而推出 Isioz。【8in”l . 证： ainz = sincosiy + cos化sin：y=sinxchy + icosArshy,I sinz Iz = (sin欠chy 产 十(cosxshy)1 = sinx + sh2y,I sinz I I sin% I 1 .5.22 证明；I shy I < I siuz I w cky; I shy I W I c谈3 I W chy.证：由上题sin2 at + ah2y = Isin I2 = ch2y - co