高考数学复习点拨 解析几何中向量法解题的基本技巧与策略探求

1、解析几何中向量法解题的基本技巧与策略探求平面解析几何是利用坐标法去研究平面曲线的性质，这与向量的坐标形式有很大的相似性，同样，对于解析几何中图形的重要位置关系（如平行、垂直、相交、三点共线等）和数量关系（如距离、角等），向量都能通过其坐标运算来进行刻画，把几何中错综复杂的位置关系的演化变为纯粹的向量的代数运算，问题就显得更为简单。因而向量在解析几何中的应用就显得较为广泛。一、利用向量的定比分点的坐标形式解题例1 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率的取值范围。解：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系xo

2、y设双曲线方程为（a>0,b>0）离心率，C（asec,btan）则D（asec,btan），A（ea,0），B（ea,0）由 即（2ea,0）=2（2 asec,0）得2ea = 4asec sec=（1） 设E（x,y） 由 即 解得 E（x,y）在双曲线上 a2（=b2a2化简得： （2）由（1）、（2）解得： 由题设得 解得 评析：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。二、利用直线的方向向量求解题例2、已知常数，向量经过原点O以

3、为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解：=（1，0），=（0，a）， +=（，a）， 2=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得：（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.评析：求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。三

4、、利用共线向量的性质解题例3、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。评析：解析几何中平行、共线问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。四、利用向量的数量积的坐标形式解题.例4、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，求

5、直线和椭圆C的方程。 解： 椭圆离心率为，所以椭圆方程为，设方程为：，由消去得 （1） （2） 所以,而所以 ,所以（3）又， 从而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为评析 ：向量数量积的坐标形式能很好地将向量与解析几何融为一体，体现了向量的工具性。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，将向量形式转化为代数形式。五、利用向量夹角的坐标形式解题例5、已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，若点P坐标为，为的夹角，求tan。解：记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 由已知有：即 即点P的轨迹方程为：；又。因为 0， 所以 即评析：求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。六、利用向量的垂直关系解题例6、已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，求椭圆的离心率 。解：设