傅里叶变换地基本性质

1、实用文档3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、 线性傅里叶变换是一种线性运算。若fi(t)- Fi(j )f2(t卜F2(j )则af1(t) bf2(t)， aF1(j ) bF2(j )(3-55)其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(jw)o解 因1 1f (t) =U(t)=二-sgn(t)2 2由式(3-55)得F( j

2、 ) n"U(t) ；=1 ；1)- 1&gn(t)；二2 二(), 1 -2- =：、.(,)， 2222 j j 二、对称性若f (t)、F (j )F(jt)、 2二f (一 ,)(3-56)证明 因为标准文案实用文档一1 二一 j tf (t)=F( j )ej td . 2二二有2 f (t)=二 F(j )ej td .2-.f(-t)= i-F(j .)eJ td- .将上式中变量切换为x,积分结果不变，即2 f (_t)=F(jx)e-jxtdx再将t用缶代之，上述关系依然成立，即2二f (- )= i-F(jx)e-j xdx最后再将x用t代替，则得2-f(

3、-)=：下3把年出=1F(jt)所以F(jt)， 2f(-)证毕若f(t)是一个偶函数，即f(-t) = f，相应有f(N)=f(。)，则式(3-56)成为F(jt)， 2二f( )(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2冗。式中的一表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如f (t) =、(t)， F( j ) -1F( jt)=卜 2二f( ) 二2二、.()例3-7若信号f (t)的傅里叶变换为标准文案实用文档Fj)=，ZAco <2/2O A T /2试求f (t)解 将F(j中的切换成t,并考虑F(j为缶的实

4、函数，有F(jt) = F(t) =ZnA0该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为w f1GJ VT(t)/ = 2nA Sa( )根据对称性F(t”2二f(-，)f(- ) = ASa(-2)再将中的一切换成t,则得c tf(t) = ASa(-)f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。-/20 /2图 3 - 20三、折叠性若f(t)、 F(j )f(t)、F( j ,)= F(j )-F(j )If (t)为实函数f (t)加虚函数(3-58)四、尺度变换性观看动画若f(t)，F(j ,)，1, ， 一，一f(at)修-F(j-) (a为大于零的实常数)(3-59)a a证明

5、因a>0,由，f(at)= f f (at)e_j03dt-D0令x =at ,则dx =adt,代入前式，可得，f(x)=r f(x)e,物adx=1F(j?)证毕fa a a函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a0F (j 一)倍，而 a则表示F(j6)沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。f (t)= <t ：二 /4t /4例3-8已知，求频谱函数F(jcc)解前面已讨论了f0(t) ='Et ：二./ 2t . /2的频谱函数，且根据尺度变换

6、性，信号f(t)比f0(t)的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数1F(广)-Fo(J-)=E一 Sa()24两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。Afo(t)Af-./20/2-./4 0 /4朴0山)2二/图 3 - 214二/五、时移性若f(t)、 f(J )f(t -t0)- F(J ')eJ t0(3-60)此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f(t)平移时间t。，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变H0。f(t)=例3-9 求E00 二 t :二.t <o,t 的频谱函数F(j0)。F(j ,)=E Sal.一卜./2解：根

7、据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若f(t) F(j )f (t)e j0二F 力士：q o 1(3-61)证明f (t)e j 0t ；= R f (t)e j 0te tdt 三 f (t)e-j( '0)tdt = Fj。，二，0)证毕频移性说明若信号f乘以e勺期，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e勺山，这就使频谱中的每条谱线都必须平移后。,亦即整个频谱相应地搬移了®。位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号c°s

8、74;0t或 sin 80t,即1f(t)cos -0U- Fj(一 - '0) !- Fj( f)L2f (t)sin 0t，j：Fj( 0)1Fj(一 ,。止2七、时域微分性若f(>F(j )则d Jn工(j )n F( j )(3-62)dt证明 因为1 二i tf (t)=F( j )ej d 2 二两边对t求导数，得df(t) 1 二j t.j F(j )e d -dt 2-所以df(t)(j )F(j )dt同理，可推出j)nFj) 证毕dt例3-10求f (t)小的频谱函数F (。解：因为、,1由时域微分性F(j ) =(j )n例3-11图3-22所示信号f (t

9、)为三角形函数标准文案ijT0求其频谱函数F(jW)o解:将f(t)微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为,121f (t) = 、：(t - ) -： (t) - 、(t -)由微分性if (t) ； = (j .)2 ：f (t)； = - (ej - - 2 - e-j )=2 bos；二：1所以«t)=2(C0S '(j )22 .sin ( ' /2)(，./2)2c 2 / '、二 Sa ()2八 f(t)-1八-0-1/f (t)(1/ )t(-2/ )(b)(c)图 3 - 22八、频域微分性f(t)、 F(j )dF( j )

10、tf(t)j -tnf(t)、- (j)ndnF(j )(3-63)例3-12求f=tU的频谱函数F(解：因为U (t)"'” )1+j 根据频域微分性tU (t)一d1H( ) j九、时域积分性若f(t)， F(j )tF(i )f (t)dtj 二F(0)、( )(3-64)二二j .例3-13根据"t)1和积分性求f (t) =U (t)的频谱函数解：因为、(tK 1又tU (t)=.二、(x)dx根据时域积分性1U(tA 二()j 例3-14求图3-23所示信号f(t)的频谱函数F(j8)。解：”融对1求两次微分后，得''11f (t) =

11、、(t . /2) 一一 c.(t 一 . /2)且''1 j.t./21 . /2. 2 .f (t) -e -e = j sin()2由时域积分性f (t); J-f (x)dx，2sin()二0、( ,)二22 sin(20i)=Sa(万)t -'2.八1_.f(t)= f(x)dx,sin()；Sa(0)、(，)-二、() Sa()二j 2j 2(a)(b)图 3 - 23N(t)(1/ )f-/20/2(-1/ )(c)十、频域积分性若f(t)， F(j )111一二f (0)、(t) 一 f(t卜F( jx)dx (3-65)jtj -=例3-15已知f5平

12、，求Fj)解：因为sin(t)=1-(ejt-e)-2!(.；：.一1)一(，1) I -(一1) 一- 1)1根据频域积分性sin(t)1 j 二 L (x 1) -、(x -1) dx -二 U (门1) - U ( -1)1十一、时域卷积定理若F« )f2(t) F2(j )f1(t) f2(t).F1(j )F2(j )(3-66)证明Ff1(t)*f2(t)=EM，( )f2(t - )d - e，tdt=口1Cf2d)e网出出二qQqQ匚力F2(j0)e4%7 =F2(j8)匚hH 口气丁 =F2( j8 )F( j® ) 证毕例3-16图3-24(a)所示的三

13、角形函数tf(t) = 1 一一t ：,0t可看做为两个如图324(b)所示门函数GT(t)卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(j -).Z(t)0(a)：1 1> t-/2 0/2 t(b)解:图 3 - 24Sin(亍)G (t) ,2-TCOTV所以例3-17 一个信号f(t)的希伯特变换f (t)是f和可的卷积，即解：因为则对称性,1f2 f,(t-)小 2sgn(t)' j '2c，、八，、12二 sgn(一 ') - 2：sgn( )jtj sgn( ')t由时域卷积定理,1f(t) = f (t)jsgn( )F(J )二 tF(j )

14、- jsgn( )F(j -)十二、频域卷积定理若fi(t卜 Fi(j )f2(t> F2(j )则 1 L、 L、fi(t)f2(t) Fi(j -) F2(j )(3-67)2 二或fi(t)f2一Fi(j2：f)F2(j2：f)例3-18利用频域卷积定理求f(t) =tU(t)的傅里叶变换F(j)解：因为、,'(小由对称性 ''jt - 2 、 (- ) - - 2 、(，)有. _0' 一t- j2二, ()IU(t)，二() j 所以根据频域卷积定理f(t) = tU(t)有F (j ) = Ij2二、.(，)：, J： ( ) = 2二I j

15、., 、, 、1., 、，、，1、j 叱(,)、() 二 j 二(，)c ()(_)_'1F(j )= j-()-() GO十三、帕塞瓦尔定理 若fl-Fi(j )f2(t)，F2(j )则二 ：1 二fi(t) f 2(t)dt = F1(j )F2(j )d .(3-68)一：2 二可推广产 21 户2(Jf1(t) dt =LF1(j6) d8(3-69)若f1(t)为实函数，则二二121" - _ 2_f；(t)dt =h .F12(j )d (3-70)-2 二一若f1(t) , f2(t)为实函数，则二1 二一 L(t) f 2(t)dt =h ,T1(j )F2

16、(j )d (3-71) 一2二-:_ 2一 0 Sa ( )d 例 3-19 求、)。解：因二一2 , 、,2 二1Sa (.)d ; 2Sa(，)2 Sa( )d .f42二二又2Sa( > G2(t)由帕塞瓦尔定理可得二 . 2Sa ( )d =一 G2(t)G2(t)dt，二'一二2 二二十四、奇偶性若 f(t) F(j0)= Fej% =R + jX ，则(1)当f(t)为实函数时，则F(6) = F(j。)=F(-6)：R®) = R(。)：(3-72)：() -(-)X( ) =-X(-，)若f (t)为实偶函数，即f=f(-0 ,则-柞;(实偶函数)(3

17、-73)X( ) = 0f(t)为实奇函数，即f二一”引，则F(j -) = jX( )R( ) =0(虚奇函数)(3-74)当f(t)为虚函数,即f=jx时，则F()二F(-)：()=一(-)R(0) = -R(-«)X( ) =X(-)(3-75)傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性af1(t) +bf2(t)aF1(js)+bF2(js)2.对称性F(jt)2nf (-a)3.折叠性f(-t)F(-j«)4.尺度交换性f(at)18-F(j-) aa5.时移性f (t ±t°)F(j«)e±oi06.