分式的运算及题型讲解

1、分式的运算及题型讲解§ 17.2分式的运算一、分式的乘除法1法则:（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。a c ac用式子表示：b，d bd（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。a . ca dad = =用式子表示:b db cbc2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要

2、化简到最简的形式。二、分式的乘方1法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。/-nna a 1 =用式子表示:lb丿bn （其中n为正整数，aM 0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示:2、注意事项：（1） “分子相加减”是所有的“分子的整体”相加 减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略， 但分母 是

3、多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简 分式或整式。（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，a c ad bc ad - bc土 =土 再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为 1然后进行通分。（3）当分子的 次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形 式参与运算，可使运算简便。四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方， 再乘

4、除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换 律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要 约分，保证运算结果是最简分式或整式。(2)X2例计算：（1）TO2 士a +2a 2(3)i 2一二x x-2x -2x【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例计算x +蛋分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解:原式=X 1(x 1)(x 2)x(x-2)(x-2)(x 2) = x 2x+ T22、分离整数技巧例计算x2 -3x 3x

5、2 -3x 2x2 -5x 7x2 -5x 61x2-4x 3分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解:原式=2(x -3x 2) 12(x -5x 6) 1x2-3x 2x2 -5x 61x2-4x 31 1 1= 1 + x2 -3x 2 -1- x2-5x 6- x2-4x 31 1(x1)(x2) - (x 2)(x3)-1 (x-1)(x-3)x-3_(x_1)_(x_2)- x=(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-2)(x-3) =- (xT)(x-2)(x-3)1233、裂项相消技巧例计算 x(x+1) + (x+1)(x

6、+3) + (x+3)(x+6)分析：此类题可利用1 _丄 n(n m) = m(n - m )裂项相消计算解:原式=（2 -的）+2 （靑131x 3 ) +3 ( x 3 - x 6 )1 6x 6 = x( x 6)x2 +3x+6 _ x2 + 5x+2练习：".一一一 .4、分组计算技巧例 计算土 +无-右-壮 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积 为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取 分组计算简捷。解：原式=（花-壮）+（詐-吕）4-412=a2-4 + a2 -1 = （a2 -4）（a2 -1）1111练习：+ 7? + x+ 2X+1 F+3x+

7、2 F +5、分式求值问题全解1) 字母代入法例 1.b=a+1,c=a+2,d=a+3, 求九丘十诜的值【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代 数式的化简b cLa d a b c b c d a d= 2 a a 3 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a a 3=a a 1 a 2 a 32a 3 3a 3 3a 6 2a 3=a a 3 a 1 a 2=2a 33(a 1)3(a 2)=1 1 13353【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用 一个字母表示时，第一个

8、要想到的方法就是字母 带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某 个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结 果就在于自己的分式化简能力了。2) 设值代入法例2.已知=-ya b二，求证:cxy yz zx ab bc ca2 x2 a【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得y=bx, z = £x'代入后分式的分子分母中有分式， aa化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到上ay、z连等，让它们都等于k贝V x=ak y=bkb cz=ck代入得xy yz zx = akbk bkck ckakab bc caab bc caab be ca 2 =kab bc ca2 =

9、k2 二a【探讨】当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件则(1) y = ax, z = cx(2) 设-= k 贝y x=ak y=bk z=cka b c(3) 设-y=Z=k则十二k其中a b0a b ca十b十c3）整式代入法例3.已知：丄-丄弋，求分式竺仝口的值.a baab b【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本 来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得呼=3，再将分式ab稍化简变为2(a-b) 3ab，可以发现分子分母中只有(a _b) _ab(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-ab -a = 3ab2a 3ab -2b _ 2(a -

10、b) 3ab _ - 6ab 3ab _ 3a-ab-b(a-b)-ab -3ab-ab 4【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简 代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代 数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。4) 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以 下五类题型来分析怎么变形再代入。例 4(方程变形).已知 a+b+c=O,a+2b+3c=0, 且abc工0,求也戶的值.【解析】对已知条件作形变往往要比对代数 式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而 且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想

11、要的结果这道题已知条件是两个等式，三个字母，所 以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条 件变形得到方程组:a+b+c=0b=-2cJi =>a+2b+3c=0a=c用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出 来ab bc ca -2c2 -2c2 c2 _ 3b2=4c2- 4例5 (非负变形).已知：a2 b2-8a 6b 25 = 0，求2a2 -ab -6b2a2 -4ab 4b2的值.【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以 化成平方的形式2 2 2 2a b -8a 6b 25 =(a-4) (b 3) =0其中(a- 4)2乏0(b+3)2 乏 0 所以(a-4)2=0 (

12、b + 3)2 =0得 a =4,b = -3再带入原式很容易求出解。例6 (对应变形).证明：若 a+b+c=0,则11+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2b c -a c a b a b c【解析】这题可以用整式代入法，比如用 -b-c代替a,但是代数式a的符号和位置在三个分式 中不同，如果用a2=（b，c）2代入得到的分母截然不 同，增大化简的难度。如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c代入b2 ca2中的a，得到-2bc用b=-a-c代入+a -b中的b，得到-2ac用c=-a-b代入a2+b2-c2中的c，得到-2ab原式=二 1=艷 = 0

13、-2bc -2ac -2ab -2abc例7 （倒数变形）.已知旦=玄,旦"上“，且abc"求证x = 2abcx+yx + zy+zbc + acab【解析】已知条件是 旦的形式，不能化简, x十y如果颠倒分子分母，将xyx y改写成=3丄的形式，使得x、y相互独立，简化 xy x y已知条件写出变化后的形式1 1 1=r 1 1 1=十-1 =(-)(-丄)-2 c y z x y x z x1 1 2十a b x2 丄 1 1x a b c=be ac - ababc则x = b，得证。例8 （归类变形）.已知a -；=b -e 1，且a、b、C互不相等，求 b c

14、al证:a2b2c2 = 1【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若 用a表示b、c,能不能求出b、c的代数式都是 问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元 化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式 来变形。这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式， 将整式归类，分式归类：a_b丄口，可以发现分式形式大致消失了, c b bc剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来, bc , caabab, b _c,ca 二beacab左边和左边相乘，右边和右边相乘得(a -b)(b -c)(c - a)=(b -c)(c -a)(a -b)所以 a2b2c2 =1【结论】给已知条件变形是用代入法的前提， 变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上 来化简：S消元的角度：方程变形、非负变形减少字母数量，方便化简化简结构的角度：对应、倒数、归类变形 -调整关系式结构，方便化简代入的方法多种多样，在此不可能列举出 来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适 当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外， 比如习题4,代数式并不是最简形式，可以先化 简代数式再代用条件，事办功倍。【练习】1、已知