等边三角形试题解题技巧

1、点击等边三角形试题解题技巧在中考数学中，以等边三角形为载体的试题屡见不鲜。这类试题灵活多样，趣味性强。下面就等边三角形试题常用解题方法作一总结，希望能给同学们以启迪。1以等边三角形为载体进行尺规作图例1如图1所示， ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E,使CE CD , (1)用尺规作图的方法，过 D点作DM BE ,垂足是M (不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：BM EM ?d分析：这里同学们用到如下两个重要知识点：经过直线外一点作已知直线的垂线。等腰三角形的三线合一的性质。解：(1 )作图如图2所示，(2)因为 ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD平分/ ABC

2、 (三线合一)，所以/ ABC=2 / DBE。因为 CE=CD ,所以 / CED= / CDE。因为/ ACB是三角形 CDE的一个外角，所以/ ACB= / CED+ / CDE。所以/ ACB=2 / CED o因为三角形 ABC是等边三角形，所以/ ABC= / ACB ,所以2/ DBE=2 / CED,即/ DBE= / CED,所以 BD=ED。因为DM BE,所以BM=EM。2、以等边三角形为载体构作新等边三角形例2如图3所示，在边长为 4的正三角形 ABC中，AD BC于点D,以AD为一边向右作正三角形 ADE。(1 )求4 ABC的面积S;(2)判断AC、DE的位置关系，

3、弁给出证明。图3分析：要想求三角形 ABC的面积，只要求得 AD的长即可。根据三角形的内角和定理或等腰三角形的三线合一可以证明AC与DE是互相垂直的。1解：(1)因为三角形 ABC等边三角形，且 AD BC,所以BC=AB=4 , BD=DC= BC=2 。2在直角三角形 ABD中，根据勾股定理，得AD= AB2 BD2、42 222 3。所以 S 1 BC AD 1 4 2 34 3。2 2（2） AC、DE的位置关系是：AC DE o因为三角形 ABC等边三角形，且 AD，BC,所以/ BAD= / DAC=30 。 因为三角形ADE等边三 角形，所以/ ADE=60 。在三角形 ADF

4、中，/ AFD= 180 - / DAC-Z ADE=180 -30 -60 =90 o 所以 AC，DE。点评：此题还有其它的证明方法，请同学们自己动手加以证明吧。3、以等边三角形为载体求两个三角形的面积之比例3如图4所示，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是BC, AC AB上的点，DE AC,EF AB,FD，BC则公DEF的面积与公ABC的面积之比等于（）A. 1 : 3 B. 2 : 3C. 3 : 2 D. 3 : 3分析：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60 。在等边三角形问题中是经常用到的。因为三角形 ABC是等边三角形，所以 Z A= Z B= Z C=60，因为

5、DE AC , EF AB , FD BC,所以 Z A+ Z AEF=90 ,Z FED+ Z AEF=90 ,所以 Z A= Z FED o 同理可证 Z B= Z EFD , Z C= Z EDF o所以 EFD是等边三角形，所以 ABC s EFD，所以2 2Sa EFD : Sa abc = EF : AB。因为 EF=DE=DF , Z A= Z B= Z C=60 ,Z BDF= Z CED= ZAFE=90 ,所以 BDF A CEDA AFE ,所以 BD=CE=AF , BF=CD=AE , 因为 Z A= Z B= Z C=60 ,所以 Z BFD= Z AEF= Z C

6、DE=30。设 BD=CE=AF=x ,则BF=CD=AE=2x ,所以 EF=DE=DF=B 3x , AB=BC=CA=3x ,所以 Saefd : Sa abc = (? 3X)2 : 3x2=1 : 3。因此A选项是正确的。解：选 Ao 4、以等边三角形为载体求边上线段的长例4如图5所示，等边 ABC的边长为3, P为BC上一点，且BP= 1, D为AC上一点，若ZAPD= 60 ,贝 U CD 的长为（）A.B.-C. 1D.分析：根据等边三角形的三个内角都相等，且都等于60 ,得到/ B=Z C=60 O因为/ APC是三角形 ABP的外角，所以/ APC = / B+Z BAP=

7、60 + Z BAP根据角的和的定义，得到/ APC =Z APD+Z DPC因为Z APD= 60。，所以Z APC=60 +Z DPC所以60+ / DPC=60 +/ BAP 即/ BAP=Z CPD 且/ B=Z C=60。BA所以 BAP八 CPD,所以CPBPo 因为 AB=BC=3 BP=1，所以 PC=3-1=2，所以 CDBP CP 1 2_2CD=-=解选5 AB 33以等边三角形为载体求中线上的线段长Bo中线AD与中线BE相交于点一贝U CA长度例5如图6,在边长为1的等边 ABC中,分析：因为三角形ABC是等边三角形，AD是中线、BE是中线，且边长为1AE=EC=BD=

8、CD=,且/ AEC2 ADC=90。在直角三角形 ADC中，根据勾股定理21,所以得：AD= AC2 CD212 （于乎o因为 / EA0=/ DACAD%所2AE AC1所以 AE3A ADC所以 。因为 AC=1, AE=-,AD AC2以 ACACAE 2 AD6、巧用等边三角形的面积不变性求线段的和例6如图7,AABC是等边三角形，点 D是BC边上任意一点，DEL AB于点E, DF AC于点F.若BC=2,贝 U DE+DF=_1x3分析：如图8所示，设点M是边BC的中点，有三角形 ABC是等边三角形，且 BC=2则AB=AC=BC=2 BM=1 。在直角三角形 ABM中，根据勾股

9、定理，得：AM=.、AB2 BM 2. 22 123。连接 AD。则 SA ABC = SA abd + S八 acd。即444-BC AM =- AB DE +- AC DF。所以 DE+DF=AM= 3。解：DE+DF= 3。 222点评：此题的结论是可以推广的。设等边三角形的高为h,点D是BC边上任意一点，DE AB于点E, DF AC于点F.则DE+DF=h用文字叙述为：过等边三角形一边上任意一点，向 其余两 边分别引垂线，则两垂线段的和是一个定值。这个定值就是等边三角形的高。7、以等边三角形为载体证全等、求角度。例7如图9所示，已知 ABC为等边三角形，点 D E分别在BC AC边上

10、，且AE=CD AD与BE相交于点F. (1)求证： ABEAA CAD求/ BFD的度数。分析：熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键。(1)证明：因为乙 ABC为等边三角形，所以 AB=AC / BAE=Z ACE= 60 。因为 AE=CD 所以 ABEAA CAD(SAS ;(2)因为 ABEAA CAD所以/ ABE= Z CAE因为/ BFD是三角形 ABF的外角，所以/ BFD=Z ABF+ Z BAF= Z CAE + Z BAF=/ BAE = 60 。8、巧用隐含在菱形中的等边三角形求边长例8如图10,在菱形ABCD中,/ A= 60 , E、F分别是A

11、B AD的中点，若EF=2,则菱形ABCD】勺边氏是010分析：由菱形的性质得 AB=AD因为/ A 60 ,所以三角形 ABD是等边三角形。(有一个角 是60的 等腰三角形是等边三角形)所以AB=AD=BD因为E、F分别是AB AD的中点，根据三角形中位线定理，得BD=2EF因为EF=2,所以BD=4即菱形的边长为4。解：菱形ABCD的边长是4。9、矩形与等边三角形联手巧计算例9如图11,四边形ABCD是矩形， PBCD八QCD都是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 在矩形内.求证：(1)/ PBA=/ PCQ=30 ; ( 2) PA=PQ图口分析：熟练应用矩形的性质和等边三角形的性质，是

12、解题的关键要素。解：(1)因为四边形 ABCD是矩形， PBMH A QCD都是等边三角形，所以/ ABC/ DCB=90 , / PBC 玄 PCB=60。所以/ PBA=/ ABC-/ PBC=90 -60 =30 ; / PCQ/ DCB-/ PCB=90 -60 =30 ;所以 / PBA=/ PCQ=30 ;(2)因为四边形 ABCD是矩形， PBC和 QCD都是等边三角形，所以 AB=CD=C,Q PB=PC 有(1)知/ PBA=/ PCQ 所以 PABAA PQC( SAS ,所以 PA=PQ10、巧用圆锥的主视图是等边三角形求圆锥的侧面积例10如图12所示的圆锥主视图是一个等

13、边三角形，边长为2,则这个圆锥的侧面积为一(结果保留n)o分析：如图13所示，连接锥点和底面圆的圆心。因为圆锥主视图是一个等边三角形，所以三角形ABC是等边三角形。因此 AB=2, OB=1所以圆锥的母线长为 2,底面圆的半径为1,所以圆锥的侧面积为：nX r X l =1X 2Xn =2 n。解：这个圆锥的侧面积为 2 n。11、以等边三角形为载体探究三角形旋转题例11如图14所示，若公ABC AA ADE为等边三角形，M, N分别EB, CD的中点，易证：CD=BEAM是等边三角形。(1)当把 ADE绕A点旋转到图15所示的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

14、(2)当公ADE绕A点旋转到图16所示的位置时， AMN1否还是等边三角形？若是，请给出证明，弁求出当 AB=2AD时， ADEWa ABC及 AMN勺面积之比；若不是，请说明理由分析：把握旋转的性质是解题的关键。旋转的三要素：旋转中心：图形所绕的固定点。 旋转方向：分为顺时针和逆时针两种方向。旋转角：图形所转动的角。旋转的性质：旋转不会改变图形的形状；旋转不会改变图形的大小。也就是说旋转变化前后的两个图形是全等的。变化的是图形的位置。对应点与旋转中心的连线所成的角都相等，都等于旋转角。解：（1）CD=BE理由如下：因为 ABC和公ADE为等边三角形，所以 AB=AC AE=AD/ BACM

15、EAD=6d。因为 / BAE =/ BAC-Z EAC =60 -Z EAC / DAC =/ DAE- Z EAC =60 / EAC 所以/ BAE/ DAC 所以 ABE八 AACD 所以 CD=BE(2) AAMN是等边三角形.理由如下： 因为 ABEB AACD所以/ ABE/ ACD因为M1 1N 分别是 BE CD 的中点， 所以 BMd BE= CD=CN 因为 AB=AC Z ABE/ ACD 所以 ABM 2 2 也AACN 所以 AM=AN Z MABZ NAC 所以 Z NAMZ NACZ CAM/ MABZ CAM/ BAC=60所以 AMN是等边三角形. 设AD=a贝U AB=2a因为AD=AE=DJE AB=AC 所以C