信号与系统第4章3ppt课件

1、 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为分析频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之号内在的频

2、率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。波、调制和频分复用等重要概念。 频域分析频域分析 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利对于

3、周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。定理。主要内容 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 第第4章章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 4.1 信号的正交分解信号的正交分解4.2 傅里叶级数傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 能量谱

4、与功率谱能量谱与功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.9 取样定理取样定理 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.1 信号的正交分解信号的正交分解 4.1.1 信号的正交分解 数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式。这就是信号的分解,用下式描述:1( )( )niiif tct(i,n为整数为整数) （4.1-1） 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当上述函数集中任意两个函数当上述函数集中任意两

5、个函数i(t), j(t)之间之间,在区间在区间(t1,t2)内满足：内满足： 式中式中Ki为常数，则称此函数集是在区间为常数，则称此函数集是在区间(t1,t2)内的正交函内的正交函数集。数集。 例如例如,三角函数集三角函数集 1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt,在区间在区间t0,t0+）(式中式中T=2/)组成正交函数集组成正交函数集,而且而且是完备的正交函数集。这是因为是完备的正交函数集。这是因为210( )( )tijtiijtt dtkij（ki为与之有关的常量且不为零） （4.1-2） 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 (4.1-3)

6、TttnmTnmTnmdttntm000,0, 2/, 0)cos()cos( TttnmTnmdttntm000, 2/, 0)sin()sin( Tttndttntm00,m0)cos()sin(对于所有的对于所有的即三角函数集满足正交性式即三角函数集满足正交性式4.1-2）,因而是正交函数集。因而是正交函数集。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 19世纪初叶世纪初叶,法国数学家吉法国数学家吉傅里叶证明傅里叶证明:任何正常的任何正常的周期为周期为T的函数的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即代数和。

7、即 通常称通常称4.2-1式为傅里叶级数。式中，式为傅里叶级数。式中，=2/T称称为基波角频率为基波角频率, an和和bn为傅里叶系数。为傅里叶系数。(4.2-1) 11021210)sin()cos(2sin2sinsincos2coscos2)(nnnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatf 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 (4.2-2) (4.2-3) 如果已知如果已知f(t),则可通过下面三式分别求出则可通过下面三式分别求出an,bn和和a0的值。为简便，我们把积分区间取为的值。为简便，我们把积分区间取为(-T/2,T/2)，因此，因此有：有： 222 ,

8、1 , 0,)cos()(2TTnndttntfTa 222 , 1 , 0,)sin()(2TTnndttntfTb 220)(2TTdttfTa(4.2-4) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 根据三角函数的运算法则根据三角函数的运算法则,式式(4.2-1)还可写成下式：还可写成下式：(4.2-5) (4.2-6) (4.2-8) (4.2-7) 001022( )cos()12tannnnnnnnnnf tcAntccAabab20Antn a020A 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 式式(4.2-5)说明，任何满足狄里赫利条件的周期函说明，任何满足狄里赫利条件

9、的周期函数都可分解为直流和许多余弦分量。数都可分解为直流和许多余弦分量。 其中第一项其中第一项 A0/2 是常数项，即周期信号中所包是常数项，即周期信号中所包含的直流分量；含的直流分量； 式中第二项式中第二项 为基波或一次谐波，为基波或一次谐波，其角频率与周期信号相同。其角频率与周期信号相同。A1是基波振幅，是基波振幅，1是基是基波初相角；波初相角； 式中第三项式中第三项 称为二次谐波，它的称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍。一般而言，频率是基波频率的二倍。一般而言， 称为称为n次谐波，次谐波，An是是n次谐波的振幅，次谐波的振幅， n是初相角。是初相角。)cos(11 tA)2cos(2

10、2 tA)cos(nntnA 1、函数绝对可积、函数绝对可积2、具有有限个间断点、具有有限个间断点3、具有有限个极值点、具有有限个极值点 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2.1 信号的傅里叶级数正交分解信号的傅里叶级数正交分解 由于傅里叶级数具有正交性及完备性由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信故任何周期信号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解,在对信号进在对信号进行分析时将会表现出很大的优势。行分析时将会表现出很大的优势。 例例41 试将图试将图4.2所示的方波信号所示的方波信号f(t)展开为傅里展开为傅里叶级数。叶级数。0T2T

11、2T2T T11tf (t)图4.2 方波信号的傅里叶级数 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 解解 我们将信号分解成傅里叶级数我们将信号分解成傅里叶级数,并分别计算并分别计算an,bn及及a0。 22020202022( )cos(2)22( 1)cos(2)1 cos(2)2121 sin(2)sin(2)220TTnTTTTaf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnfTnfcos(2nft)dt 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 0,2,4,6,41,3,5,nnn22020202022( )sin(2)22( 1)sin(2)1 sin(2

12、)2121 cos(2) cos(2)222(1)TTnTTTTbf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnftTnfnnsin(2nft)dt)cos1 (2 nn 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 222( )04111( )sin2sin6sin10sin2351,3,5,TTcf t dtTf tftftfftnna0 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当f(t)为为t的奇函数时，则有的奇函数时，则有f(t)cos(nt)为为t的奇函数，的奇函数， f(t)sin(nt)为为t的偶函数，因而有：的偶函数，因而有：4.2.2奇偶函数的傅里叶

13、系数奇偶函数的傅里叶系数 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 当当f(t)为为t的偶函数时，由于的偶函数时，由于f(t)cos(nt)为为t的偶函数，的偶函数，f(t) sin(nt)为为t的奇函数。因而有的奇函数。因而有 即当即当f(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分量及量及cos(nt)分量，分量， 而无而无sin(nt)分量。分量。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.2.3 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数直接导出。指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数直接导出

14、。因为因为cos=(e j+e-j)/2，将这一关系应用于式，将这一关系应用于式(4.2-5)，并，并考虑到考虑到An是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数，即的奇函数，即An=A-n，n=-n，则式，则式(4.2-5)可写为可写为 : 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 dtetfTFATtttjnnn 00)(22一般来说一般来说Fn亦为一复数，即亦为一复数，即 nnjnjnnneFeAAF 2121, 2, 1, 0,)(122 ndtetfTFTTtjnn(4.2-10)ntjnneFtf)(4.2-9) 信号与线性系统分析第

15、4章 连续系统的频域分析 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.1 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号的复振幅周期信号的复振幅 一般为一般为n的复函数，因的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以幅频谱，另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图；为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图； 而相而相位频谱则为以位频谱则为以为横坐标，以相位为纵坐标所得到的为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图。谱线图。 在信

16、号的复振幅在信号的复振幅 为为n的实函数的特的实函数的特殊情况下，其复振幅殊情况下，其复振幅n(Fn)与变量与变量(n)的关系也可以的关系也可以用一个图绘出。用一个图绘出。 )(nnFA)(nnFA 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例 4.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出试画出f(t)的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。 解解 ：根据：根据 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分别为二、分别为二

17、、 三、六次谐波频率。且三、六次谐波频率。且有有 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 8 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A20100211 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图图 4.3-1 例例 4.3-1 信号的频谱信号的频谱振幅谱；振幅谱； (b) 相位谱相位谱 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 0)(Etf22,222TttTt当当图图 4.3-3 周期矩形脉冲信号周期矩形

18、脉冲信号 otT2T2TT222 TEf (t) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 2, 1, 0,2 nnSaTEFn 取样函数定义为取样函数定义为 xxxSasin)(这是一个偶函数，且这是一个偶函数，且x0时，时，Sa(x)=1；当；当x=k时，时，Sa(k)=0。 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即 因此可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅立叶级数展开式因此可写

19、出该周期性矩形脉冲的指数形式傅立叶级数展开式为：为： ntjnntjnnenSaTEeFtf2)( 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-4 Sa(x)函数的波形 Sa(x)2323x1oFnTE324o图 4.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 由图由图 4.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。代表一个正弦分量，所以此频谱称为

20、不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。的增大而逐渐减小。 当当n时，时，|Fn|0。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-6 不同值时周期矩形信号的频谱(a) =T/5; (b) =T/1

21、0 f(t)to22T(a)FnE2o542Tf(t)toT(b)Eo102FnEE 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.3-7 不同T值时周期矩形信号的频谱(a) T=5; (b) T=10 f(t)to 2T(a)FnEo52Tf(t)toT(b)Eo10FnEE2222T22T244 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。 在信号的传输过程中，应要求传输系统能将信号中的主在信号的传输过

22、程中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将因而，常常将=0 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为带宽度。记为 2)/(2sradB 或 )(1HzBf 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.3.3 周期信号的功率周期信号的功率 周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。

23、为了方便，往往将周期信号在周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1电阻电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为 dttfTPTT)(1222 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 )cos(2)(10nnntnAAtf 由于：由于：所以：所以：2120222212)(1nnTTAAdttfTP因为：因为：nnAF21221202222)(1nnnnTTFFFdttfTP 信号与线性系统分析第4章 连续系统

24、的频域分析 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 4.4.1 傅里叶变换傅里叶变换 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 对于非周期信号，重复周期对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量小量d，而离散频率，而离散频率n变成连续频率变成连续频率。在这种极限情况下，。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为且为一个连续函数，通常记为F(j)，即，即 nnFTF 2 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 dejFeFtftjtjnnnT)(21lim)( 非周期

25、信号的傅里叶变换可简记为非周期信号的傅里叶变换可简记为 一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对应满足绝对可积，可积， 即要求即要求 dttf)( 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.4.2 非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数 由非周期信号的傅里叶变换可知由非周期信号的傅里叶变换可知: dejFtftj)(21)(频谱函数频谱函数F(j)一般是复函数，可记为一般是复函数，可记为 )()()()()( jjeFejFjF 习惯上将习惯上将F()的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F()并不是

26、幅度并不是幅度!)，而将，而将()曲线称为相位频谱，它们都是曲线称为相位频谱，它们都是的的连续函数。连续函数。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出: )()(sin)(cos)()()( jXRtdttfjdtttfdtetfjFtj 式中：式中： tdttfXtdttfR sin)()(cos)()()()()()()( jXReFjFj 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 4.4.3 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 例例 4.4-1 图图 4.4-1(a)所示矩形脉冲一般

27、称为门函数。其宽所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为度为， 高度为高度为1，通常用符号，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。来表示。试求其频谱函数。 解解 门函数门函数g(t)可表示为可表示为 可得：可得： 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.4-1 门函数及其频谱(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例 4.4-2 求指数函数求指数函数f(t)的频谱函数。的频谱函数。 0)(atetf00t

28、t)0(图 4.4-2 单边指数函数e-t及其频谱(a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱 F()(b)ot1(a)o1f (t)et (0) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 ajtjtjttjeajjedteedtetfjF arctan220)(11)()()(其振幅频谱及相位频谱分别为其振幅频谱及相位频谱分别为 arctan)(1)(22 F解解 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例 4.4-3 求图求图 4.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。所示双边指数函数的频谱函数。 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 图 4.4-3 双边指数

29、函数及其频谱(a) 双边指数函数； (b) 频谱 F(j)(b)ot1(a)o2etet0)f (t) 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例 4.4-4 求图求图 4.4-4(a)所示信号所示信号f(t)的频谱函数。的频谱函数。图 4.4-4 例 4.4-4 图(a) 信号f(t); (b) 频谱 X()(b)o1of(t)t1(a)et et0) 11 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 atateetf)(00tt(a0)解解 图示信号图示信号f(t)可表示为可表示为2200211)(ajjjdteedteejFtjttjat 信号与线性系统分析第4章 连续系统的频域分析 例例 4.4-5 求单位冲激函数求单位冲激函数(t)的频谱函数。的频谱函数。 图 4.4-5 信号(t)及其频谱(a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱 F(j)of (t)t(a)o1