第十一章第5节对坐标的曲面积分

1、2一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)上上侧和侧和下下侧侧内内侧和侧和外外侧侧左左侧和侧和右右侧侧3n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面4莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:5曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .有向曲面的投影问题有向曲面的投影问题: :面面在在xoys ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块 .,cos,cos)(.,cos)()(面垂直面垂直即曲面与即曲面与时时

2、当当即取曲面下侧即取曲面下侧时时当当即取曲面上侧即取曲面上侧时时当当xoysxyxyxy0000 .)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xys)( 曲曲面面 s :面面上上的的投投影影有有向向曲曲面面在在 xoy.其它坐标面上的投影其它坐标面上的投影类似可定义有向曲面在类似可定义有向曲面在6二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域a a, ,求求单单位位时时间间流流过过a a的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ).

3、.av0n aavnvava 0cos 流量流量7( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxrjzyxqizyxpzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxrzyxqzyxp都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo 8xyzo is ),(iii ivin0 把曲面把曲面分成分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表 第第i小

4、块曲面的面积小块曲面的面积),), 在在is 上任取一点上任取一点 ),(iii , , 1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv单位法向量为单位法向量为 .in0求解方法求解方法9xyzo is ),(iii ivin0,),(),(),(),(krjqipvviiiiiiiiiiiii 该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,、近似、近似2通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的 流流量量的的近近似似值值为为 ).,(nisnviii2103. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量niiiisnv1010iiiiiiiiin

5、iiiiisrqp cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp)(,()(,()(,( 14.4.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 ,),(),(),(krjqipviiiiiiiiii kjiniiii coscoscos0 , , niiiisnv1)(,()(,()(,(limxyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp 10 xyiiiinixziiiiniyzniiiiisrsqsp)(,(lim)(,(lim)(,(lim 10101011定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数

6、在上函数在上有界有界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面is( (is同时又表同时又表示第示第i块小曲面的面积块小曲面的面积),),is在在xoy面上的投面上的投影为影为xyis )(, ,),(iii 是是is上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如果当各小块曲面的直径的最大值如果当各小块曲面的直径的最大值0 时时, , nixyiiiisr10)(,(lim 存在存在, , 则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxr在有向曲面在有向曲面上上对坐标对坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面第二类曲面积分积分) ) 三、概念及性质三、概念及性质12记记作作 dxdyzyxr)

7、,(, ,即即 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义niyziiiispdydzzyxp10)(,(lim),( nizxiiiisqdzdxzyxq10)(,(lim),( 13存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxrzyxqzyxp在在 有有 向向 光光滑滑 曲曲 面面 上上 连连 续续 时时 , , 对对 坐坐 标标 的的 曲曲 面面 积积 分分 存存在在 . . 组合形式组合形式:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),(记记物理意义物理意义:dxdyzyxrdzdxzyxqd

8、ydzzyxp),(),(),( dxdyzyxr),(dydzzyxp),(dzdxzyxq),(记为记为为闭曲面时为闭曲面时当当,.),(),(),(),(指定一侧的流量指定一侧的流量单位时间流体流向单位时间流体流向密度为密度为的流体中的流体中表示在速度为表示在速度为1kzyxrjzyxqizyxpv14性质性质: 2121. 1rdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydz dxdyzyxrdxdyzyxrdzdxzyxqdzdxzyxqdydzzyxpdydzzyxp),(),(),(),(),(),(. 215四、计算法 设积分曲面是由设积

9、分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyd, ,函数函数),(yxzz 在在xyd上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxr在在上连续上连续. . ),(yxfz xydxyzoxys)( 化为二重积分化为二重积分基本方法基本方法:16 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizs 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizrsr1010)(,(,(lim)(,(lim xyddxdyyxzyxrdxdy

10、zyxr),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyis 取下侧取下侧若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(17则有则有给出给出由由、如果、如果,),(zyxx 2yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则有则有给出给出由由、如果、如果,),(xzyy 3zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意(1)(1)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .:计算公式计算公式则有则有给出给出由由、如果、如果,),(yxzz 1xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(”。”。”下

11、侧为“”下侧为“取上侧为“取上侧为“”。”。”后侧为“”后侧为“取前侧为“取前侧为“”。”。”左侧为“”左侧为“取右侧为“取右侧为“。）组合积分应分别积分）组合积分应分别积分（2分块积分。分块积分。）分块曲面或闭曲面应）分块曲面或闭曲面应（318例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 19 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyddxdyyxxy221xyddxdyyxxy2212xydrdrdrr 2212c

12、ossinxyddxdyyxxy)(221152取内侧？取内侧？问题：若问题：若xyz2 1 202例例,)(zdxdydydzzx2计计算算其中 是旋转抛物面 )(2241yxz)(20 z取下侧。 解： zdxdy先先求求)(:2241yxz在xoy 面投影域为 822 yxdxy:取 的方向为下侧， zdxdydxdyyxxyd)(224122032041drrd 8,)(dydzzx2再再求求其中： 24yzx把 分成两部分： 21214yzx :取前侧； 224yzx :取后侧。 24222zyydyz:dydzzxdydzzxdydzzx21222)()()(dydzzyzyzd)

13、(224dydzzyzyzd)(224yzddydzyz242dzyzdyy22222412242222222232831dyy )(220232832dyy )( dycos)cos(sin2283222232022043128 dcos 8 1688)(原原式式23例例3. 计算积分其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 由被积表达式及积分曲面的对称性知原式dxdyxz)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧13dxdyxz)(yxddxdyxa)(23ydxdxz2)(ydxdxayxd)(2yxddx

14、dya333axzydxdyxzdzdxzydydzyx)()()(24五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyd, , 函函数数),(yxzz 在在xyd上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxr在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(xyd),(yxfz xyzodsn25曲面的法向量的方向余弦为曲面的法向量的方向余弦为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz

15、 ),(yxfz xyzoxyddsndxdyyxzyxzdsyx),(),(221,1yxzzn26对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyddxdyyxzyxrdszyxr),(,cos),( 所所以以dszyxrdxdyzyxr cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立) )dszyxpdydzzyxp cos),(),(类似可得类似可得dszyxqdzdxzyxq cos),(),(27dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系:由此知由此知dsdydz cosdsdzdx cosdsdx

16、dy cos也有也有 coscoscosdxdydzdxdydzds28向量形式向量形式 dsasdadsnasdan或或其中其中cos,cos,cos, nrqpa为为有向曲面上点有向曲面上点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量, ,dxdydzdxdydzdsnsd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,na为向量为向量a在在n上的投影上的投影. .dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( 29例例4. 设 ,:221yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算dszi cos2解解: dszi cos2dxdyz2rdrrd)(210201 2

17、yx1zo1nyxddxdyyx)(22130例例5 5 计计算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋转转抛抛物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及 2 z之之间间的的部部分分的的下下侧侧. . 解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(231 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyddxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyddxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 32 把把对对坐坐标标的的曲曲

18、面面积积分分 dzdxzyxqdydzzyxp),(),(dxdyzyxr),( 化化 成成对对面面积积的的曲曲面面积积分分, ,其其中中 是是平平面面 63223 zyx在在 第第一一卦卦 限限的的部部分分 的的上上侧侧 . . :练习练习答案：答案：dsrqp)5325253( . . 33六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”34228511p习题习题)(),)()(24432335莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:36典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带37典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带38典型典型单侧曲面单侧曲面