第二章第十二节曲面上的杜邦指标线曲率线

1、第二章 曲面论 第十一节曲面上的曲线七、曲面上的主方向、主曲率和曲率线法曲率的最大值和最小值所满足的方程为TEG -F2)kn2 +(LG -2MF +NE)kn (LN M 2) =0 ,(2)其判别式为- (LG -2MF NE)2 -4(EG -F2)(LN -M2)2= (NE -LG)-F(ME -LF )2 + 4()(ME -LF)2 0 ,故当且仅当NE -LG =ME - LF =0时，判别式为零, 即(3)L= M = NE F G，满足（3）式的点称为脐点 否则称为非脐点.所以在一个非脐点，判别式 0,方程(2)总有两个不相等的实 根，曲面在这一点总有两个不相等 的法曲率

2、，且分别是法曲率的最大 值和最小值。法曲率取到的极值称为主曲率.。在脐点，若令L =%E,M =%F,N =%G ,则任意方向的法 曲率k.=常数，都为主曲率，而方程 (2)变为(kn -%)2 =0,但这个关系无非表 示任意方向的法曲率相等.对于L= M = N = 0的脐点， 称为平点。我们把L,M,N不同时为零的脐点 称为圆点。容易证明球面上的每一点都是圆点将kn=L22M：U代入方程式，E .， -2F . -. G得到f ( ) = -(EG - F 2)( L 2 2M N )22_2(LG -2MF NE)(L 2 2M N)(E 2 2F G)-(LN 一 M2)(E 九 2

3、+ 2F 九 + G)2 = 0 ,经过计算，此方程可化为g(九)=(ME - LF)九2 +(NE-LG)九 + NF - MG2 =0 )事实上，利用待定系数法，经计算可知，f(0)=g(0), f = g, f “(0) = g(0),厂(0)=g(0), f (0)=g(0),于是有f(Q=g(Q。故得使法曲率取到最值的方向为(ME - LF)，+ (NE - LG)九 + NF - MG = 0,此式还能写成如下形式：1 -九九2E F G =0 oL M N将=dV代入，则有(dv)2 -dudv (du)2EFG =0)LMN(ME LF)(du)2 +(NE LG)dudv +

4、(NF -MG)(dv)2 =0) (4)这给出曲面上的两族曲线，曲线上的方向使法曲率达到最值。再给出另一种推演方法如下在法曲率取到极值的方向dudv处,dkn (L 2 2M，N)(E 2 2F . G) -(L 2 2M - N)(E 2 2F G) -2 、-、2d (E- 2F G)2222(L 2M N) (E 2F - G) -(L 2M N)(E 2F， G) = 0_2 _2_(L 九+ M)(E 九 +2FZ+G)-(LZ +2M 九 + N)(E九 + F ) = 0 ,2, L 2M N L Mk-=二= 一E2 2F G E F ，(3)化简后，得到(ME -LF)K2

5、 + (NE LG)九 + NF MG = 0 ,此式还能写成如下形式：1 -九九2E F G =0 oL M N其判别式为:=(NE - LG)2 -4(ME - LF )(NF -MG)二 (NE - LG) -2F(ME -LF)2 4(EG；1) (me _ LF)2 _ 0所以当且仅当NE -LG =ME - LF =0时，判别式为零，即、=M。 E F G所以在一个非脐点，判别式 a。，方程(3)总有两个不相等的实根 曲面在这一点总有两个不相同的方 向，法曲率在这两个方向分别达到 最大值和最小值。曲面上使法曲率达到极值的切 方向，称为主方向。曲面上一条曲线，如果曲线在 每点处的切方

6、向都是曲面的主方向 则称此曲线为曲面上的一条曲率 线.在脐点处，方程(5.9)变成恒 等式，即任意方向都为主方向.g du” 将二dv代入，则有(dv)2 - dudv (du)2EFG =0)LMN(ME LF)(du)2+(NELG)dudv + (NF MG)(dv)2 = 0) (4)这方程确定了曲面上两族曲率 线，组成曲面上的曲率线网。定理5.2曲面在非脐点处，两个 主方向互相垂直.要证明这个定理，只要应用以下 引理于方程(4).引理5.3曲面上一点由方程P( du)2 +2Qdudv + R(dv)2 = 0所确定的两个切方 向互相垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0,这里E,F

7、,G是曲面的第 一类基本量.II证明 两个方向du：dv( dr =，du+dv) 和6u：6V(ar=$u+%v )正交的充要条件是Edu u F (du v dv u) Gdv v = 0换一种写法即(5)du u du u、一-E+ F(+ )+ G = 0dv & v dv 8 v?将已知的二次方程写成du、2 “duP()+2Q +R=0 .dv dv则它的两个根，记为曳，要，均应满足 dv v上述方程，由根与系数的关系知，du , u R du u 2Q,， ， -f- ， ，,dv v P dv v P 将上式代入(5)式，即得引理.对方程(4),有 ER-2FQ , GP= E

8、(NF -MG) - F(NE - LG) +G(ME - LF ) = 0 ,所以曲面在非脐点处，两个主方向互相垂直.【注1】定理5.2只说明在非脐点处 两个主方向垂直,但任意两个垂直的方向却不是主方向.另一方面， 在脐点处，任意方向都是主方向， 因此主方向未必垂直，而任意两个 垂直的方向都是主方向.共辆方向定义设A为n阶实对称矩阵，如果有两个n维向量S和Sz,（写成列向 量），满足STAS2=0,（1）则称向量S与5对于矩阵A共轲。如果A为单位矩阵，则式（1）即 成为sTSz=o,这样两个向量的点积 （或称皿）为零，此二向量在几 何上是正交的，它是共血的一种特 例。设A为对称矩阵，若一组非

9、零向量6川| ,满足sTASj =0 (i w j )(2)则称向量系ss,i“,Sn为关于矩阵A 共轲。共扼向量的方向称为共轲方向。几何意义设人=Nj为二阶对称矩阵，x=方程XTLX =1为以原点为中心的平面二次曲线。连结曲线上任意两点的线段叫 作弦；过中心的弦称为直径。平行于一条直径AB的弦的中心的轨 迹CD,亦构成直径，称AB与CD互为共 轲直径，两直径分别所在的两直线 的方向，称为曲线的共轲方向。设X =惟是一条直径所在的直线 的方程，是直线的方向；X =怛+Xi是平行于直径的弦所在 的直线的方程，Xi是曲线上的点，则此弦与曲线的交点X2 = ti + Xi , 满足(ti Xi)TL

10、、MMz(tiXi)N士1,2 2 T ti ：ti2： TL M、MNL、M2 + 2tlec2tjXiXiTX1=1 )X0,共轲直径的方向ii0 W(X2 + Xi)=/+Xi,将Xi -2巾代入，则得到2ti: TLMM 1II 1=0 nja则有设两共轲直径的斜率分别为(1，一)即得 L M(l1%) NT2 = 0曲面上两个方向du：dv( dr = rUdu十r;dv) II!和6u:6v ( / = $ U +巾V称为共轲方向，如果(du, dv)LM Y6u n JevLdu u M (du v dv u) Ndv v = 0对 dn = nudu + nvdv ,占 H =

11、 % u + % v ,有dn 6 = -(Ldu6 u + M (du6v + dv u) + Ndv v) o曲面上两个方向 1Ldu : dv 闻=Rdu + Rdv)和 i.I6U： 6V (/ u +V)称为曲面上的共物方向，如果有dn与r = 0,或者Ldua u + M (dud v+ dv u)+ Ndv v= 0。换一种写法，即.du u du u、八 八L十M (十尸G = 0dv 6 V dv 6 V前面已证，曲面上的两主方向正 交，现证两主方向共轲。事实上，将方程(5)的两根du,：u写出， dv v再由根与系数的关系知，L曲* M (曲)G dv v dv vi=L(

12、NF -MG) -M (NE -LG) + N(ME LF ) =0 ,ME - LF所以曲面上两个主方向du:dv(d, =，du + rvdv)和 m6VIII(3 = u + V是曲面上的共辆方 向。这样一来，曲面上使法曲率分别 达到最大值和最小值的两个方向，必互相垂直，且互为共轲方向， 即dg 1= 0,dn 日=0。n d6 r = 0 。主方向的判别定理(罗德里格斯(Rodrigues )定理)，如果?向 (d)=(du：dv)是主方向，则dndr ,其中&是曲面沿方向(d)的法曲率。反g,如手对于方向(d),有 濡d#,则(d)是主方向，且K, %是曲面沿方向(d)的法曲率。证明

13、先证定理的前半部分：设(6)=(6u:6v)是垂直于(d)的另 一个主方甲由nF= 1,两边微分得n dn= 0 o这关系式说明dn在切平面 上，于是4)dn= dr r,产两边点乘并注意dn 5 r = 0 (这由：方向和的 共轲性，以及dr 5 r = 0 (这是由于 这两个方向的正交性)，得到c M F = 0,因此“ =0,由此dn = dr ,4 在把呼电两边点乘d得dn dr = dr dr ,由此得再证定理的前后半单分： 设方向(d)满足dn = dr , 现在要证明它是主方向。假节方事直于(d), 把等式dn = dr的两边点乘r,得cdn 5 r = 0,这表示方向(d)和是

14、共聊j的。 因此(d)和(6)不仅正交，而且共物， 所以它们都是主方向knII由dn = dr ,可得2.5.2 Euler 公式现在我们考察在曲面的一个 非脐点，法曲率随方向而变化的规 律，并可以看到，主曲率就是法曲 率的最大值和最小值.首先我们证明这样一个事实.定理5.4不含脐点的曲面片上， 参数曲线的方向是主方向当且仅当F = M = 0.证明 必要性首先因参数曲线 的切方向是主方向，而主方向必正 交，因此F = 0,同du #0,dv =0及du =0,dv =0适哈王万向 的微分方程,故得|E MR：-0 因 F = 0,E# 0,G# 0,由上式得 M = 0.充分性若F = M

15、= 0, 则主方向的微分方程可化为(NE- LG)dudv= 0因为 NE - LG 0 (否则 L : M : N=E : F: G与没有脐点的已知条 件不符)，这时主方向的微分方程 即为dudv = 0,与参数曲线的微分 方程相同，这就证明了参数曲线方 向是主方向.例如在旋转曲面y 4 , , 、 ，、，、-:r = (x(t)cos9 , x(t)sin 9 , z(t)上子午线和平行圆构成了曲率线 网。F = M = 0 o定理5.5在曲面工Gu,v）上选取曲 率线网为曲纹坐标网。设du:dv是曲面上一点P处的任意 一个切方向，它与u-曲-线的夹角记为e , ki,k2表示曲面在P点处

16、的 主曲率，则有kn = k1 cos29 + k2sin2 , 这个公式称为Euler公式，它表明 了法曲率随方向而变化的变化规 律.证明 首先若P是脐点，则因脐点处，任意方向都是主方 向，因而任意方向的法曲率都是主 曲率，同时在脐点处，9M噂E F G故在脐点处任意方向的法曲率都相 同，即kn在脐点处为常数，换句话说，在脐点处，kn = ki = k2 , Euler公式自然成立.下面我们假设P是非脐点来证明 之.设P为曲面上一个非脐点，根据连 续性，曲面必包含P在内的一整片 在这片曲面上完全没有脐点.在这 片曲面上选取参数曲线的方向作为 主方向，则由定理5.4,F = M = 0,曲面的

17、第一、第二基本形式化为2222I = E(du)十G(dv) , II = L(du) +N(dv)于是在P点，各个切线方向的法曲 率公式为k _ II _ L(du)2 +N(dv)2一 ：一 E(du)2 G(dv)2 设k2分别为对应于主方向dv = 0 和du = 0的主曲率，则LNkl = k2 = EG根据曲面上两条曲线夹角的公式，容易计算得到COS2 gE2(du)22，Sin2”G*22E(du) G(dv)E(du) G(dv)于是1, 二 L(du)2 N(dv)2 L E(du)2 NG(dv)2kn222222E(du)2 G(dv)2 E E(du)2 G(dv)2G

18、 E(du)2 G(dv)222 .=K cos 日 +kzSin 日 o定理5.6曲面在非脐点处的主曲 率是曲面在这点沿所有方向的法曲 率中的最大值和最小值.证明设ki*2是两个主曲率，不妨设kik2否则可交换坐标U和v ), 由Euler 公式 kn = k1 cos2 8+ k2 sin2 e )显然k1 =k1 cos2 日 +k1 sin2 日 Mk1 cos2 日 +k2 sin2 日 0时，即椭圆点处，无(实)渐近方向，当LqN。M020时，即双曲点处，有两个(实)渐近方向 当L0N0M02=0时，即抛物点处，有一个(实)渐近方向。若曲面上一条曲线在每点处的切方向都是曲面的渐近方

19、向，则称此曲线为曲面的渐近曲线 .例如，平面上任何正则曲线都是渐近线，而球面上无渐近线.一般地，曲面上渐近曲线的微分方程是2_2L(du) +2Mdudv+N(dv) =0。推论曲面上法曲率为 0的曲线是渐近曲线，特别地直线是渐近 曲线.定理1曲面上曲率处处不为 0的曲线是渐近曲线的充分必要条 件是曲线在每点处的密切平面与曲面在该点处的切平面重合证明 必要性由公式kn=kcosB ,当kn - 0时，注意到k * 0八冗一T 3因此8 = 因止匕n _L P ,2即得曲线在每点处的密切平面与曲面在该点处的切平面重合充分性若曲面上曲线c的密切平面与曲面的切平面重合，则7 / n,而_1_2，故1

20、_1_甘，即日= /(n,B)=,2因此沿C有kn = kcose = 0 ,换句t说，C 为渐近曲线定理2在只含双曲点的曲面上，参数曲线网成为渐近网的充分必要条彳是L = N = 0 O证明：若曲面上的点都是双曲点 ，则每点处有两个渐近方向 那么整个曲面上就有两族渐近曲线，这两族渐近曲线构成的网称为曲面上的渐近曲线网，简称渐近网.必要性由参数曲线网的微分方程 dudv=0及渐近线的微分方程，若u-线为渐近线，则L(du)2=0,即L = 0；同样若v -线为渐近线，则 N(dv)2 = 0 , 即N = 0.因此当参数曲线网成为渐近线网时 ，必有L = N = 0 o充分性 若L = N =0 ) 则渐近网的微分方程为2Mdudv = 0.注意到M *0 (否则曲面上含平点),因此dudv=0,即渐近网是参数曲线网.,【例3】证明：正