正态分布的定义与表格

1、Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部本资料来源Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由德国数学家高斯（德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855）发现，所以亦称高斯分布。）发现，所以亦称高斯分布。 正态分布现大正态分布现大量应用于误差分析，及质量管理上量应用于误差分析，及质量管理上 ,可以这样说，可

2、以这样说，没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布，没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布，就没有现代化企业。就没有现代化企业。 Carl Friedrich GaussPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？ 对于连续型随机变量，一般是对于连续型随机变量，一般是给出它的给出它的概率密度函数概率密度函数. Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 一、正态分布的定义一、正态分布的定义如果连续随机变量的概率密度为如果连续随机变量的概率密度为 ：),

3、(2NX记作记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 22Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点分布的密度函数有什么特点. Prepare by H.PJPrepare by H.P

4、J慧通天下品质部慧通天下品质部 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2NPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 能不能根据密度函数的表达式

5、，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221 容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方; ;Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到处达到最大最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f () 21)(f

6、Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴轴. . 即即f (x)以以x轴为渐近线轴为渐近线. . xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标. .x = 拐点坐标为拐点坐标为,在在 内是凸的内是凸的,其它范围内是凹的。其它范围内是凹的。2121,e,Prepare by H.

7、PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 根据对密度函数的分析，也可初步画根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图出正态分布的概率密度曲线图. .拐点极大值点Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部二、正态曲线（二、正态曲线（ normal curve ）图形特点图形特点：1. 钟型钟型2. 中间高中间高3. 两头低两头低4. 左右对称左右对称5. 最高处对应最高处对应于于X轴的值轴的值就是均数就是均数6. 曲线下面积曲线下面积为为17. 标准差决定标准差决定曲线的形状曲线的形状Prepare by H.P

8、JPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 )1 , 0 (2N)8 . 0 , 1(2N)2 . 1 , 1 (2N决定曲线的位置，决定曲线的位置，决定曲线的决定曲线的“胖瘦胖瘦”Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部（4）服从正态分布的总体特征）服从正态分布的总体特征产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。 它的特征：它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在

9、产生系统误差的明显因相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素。素。 一般地一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被这个随机变量就被认为服从正态分布认为服从正态分布。Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 用上海用上海99年年降雨量的数据画出了年年降雨量的数据画出了频率直方图频率直方图.从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布

10、雨量近似服从正态分布.Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图的数据画出的频率直方图.红线红线是是拟合的拟合的正态密正态密度曲线度曲线 可见，某大学男大学生的身高应服从正可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布态分布.Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 人的身高高低不等，但中等身材的人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这

11、从一且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点的特点.Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 请大家想一想，实际生活中以及请大家想一想，实际生活中以及工作种具有这种特点的随机变量还有工作种具有这种特点的随机变量还有哪些呢？哪些呢？Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 除了我们在前面遇到过的年降雨量外除了我们在前面遇到过的年降雨量外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，如零在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和

12、张力；某地区成件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布. .Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 正态分布由它的两个参数正态分

13、布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布态分布.标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部dtexxt2221)(二、标准正态分布二、标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 标

14、准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. .它的依据是下面的定理它的依据是下面的定理： 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设定理定理1Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值

15、表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. .三、正态分布表三、正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当-x0时时xxPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品质部慧通天下品质部 利用下表，可求出标准正态总体在任一区间利用下表，可求出标准正态总体在任一区间内内 取值的概率。取值的概率。21, xx 12xxp即，可用如图的即，可用如图的蓝色蓝色阴影部分表示。阴影部分表示。公式：公式：Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天